2021-2022学年北京市顺义一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京市顺义一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案解析），共13页。

2. 函数f(x)=cs22x−sin22x的最小正周期是( )
A. π2B. πC. 2πD. 4π
3. 化简式子cs72∘cs12∘+sin72∘sin12∘的值是( )
A. 12B. 32C. 33D. 3
4. 已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a−b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5. 为了得到函数y=cs(12x−π6)的图像，只需要将函数y=cs12x图像上所有的点( )
A. 向左平移π3个单位长度B. 向左平移π6个单位长度
C. 向右平移π3个单位长度D. 向右平移π6个单位长度
6. 在△ABC中，若a2+c2=b2−3ac，则∠B=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
7. 设点A,B,C不共线，则“ AB与 AC的夹角是锐角”是“ |AB+AC|>|BC|”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=12，∠BAD=60∘，E为CD的中点，则AC⋅BE=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
9. 如果平面向量a=(2,1)，b=(1,3)，那么下列结论中正确的是( )
A. |b|=3|a|B. a//b
C. a与b的夹角为30∘D. a在b上的投影向量的模为102
10. 已知O为坐标原点，点P在以(0,1)为圆心，半径为1的圆上，A(−2,0)，则AO⋅AP的最大值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 63
11. 若tanα=−2，则tan(α+π4)=______.
12. 已知向量a=(−4,3)，b=(6,m)，若a⊥b，则m=______，若a//b，则m=______.
13. 向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，则cs=______.
14. 在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为CD的中点，若EF=3FB，AF=λAB+μAD，则λ+μ=______.
15. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水车从点A(3,−33)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水车旋转到P点，设点P的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<π2)，
①φ=−π3；
②当t∈(0,60]时，函数y=f(t)单调递增；
③当t=100时，|PA|=6；
④当t∈(0,60]时，f(t)的最大值为33.
则上面叙述正确的是______.
16. 已知向量a与b的夹角θ=3π4，且|a|=3，|b|=22.
(1)求a⋅b，(a+b)⋅(a−2b)；
(2)求|a+b|；
(3)a与a+b的夹角的余弦值．
17. 已知向量a=(−1,3)，b=(1,2).
(Ⅰ)求a⋅b；
(Ⅱ)求|2a−b|及a在b上的投影向量的坐标；
(Ⅲ)(a→−mb→)⊥a→，求m的值．
18. 已知α∈(0,π2)且tanα=34.
(1)tan2α，sin2α，cs2α；
(2)若β为锐角，且cs(α+β)=513，求sinβ.
19. 设平面向量a=(3sinx,cs2x−12)，b=(csx,−1)，函数f(x)=a⋅b.
(Ⅰ)求f(x)的单调增区间；
(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；
(Ⅲ)若锐角α满足f(α2)=14，求cs(2α+2π3)的值．
20. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，csC=35，CD=7，AC=5.
(1)求AD的长；
(2)若AB=8，求角B的大小.
21. 在△ABC中，a=73c，sinC=3314.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)cs⁡B和b的值．
条件①：b−a=1；
条件②：ccsA=−32.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A：因为0×1=0×0，所以向量e1，e2共线，故A错误，
选项B：因为−1×(−6)=2×3，所以向量e1，e2共线，故B错误，
选项C：因为3×(−4)=4×(−3)，所以向量e1，e2共线，故C错误，
选项D：因为2×(−34)≠1×2，所以向量e1，e2不共线，故D正确，
故选：D.
利用向量共线定理对应各个选项逐个判断即可求解．
本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量共线定理的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二倍角的余弦公式，余弦函数的周期性，属于基础题．
利用二倍角的余弦公式化简f(x)，再求出f(x)的最小正周期即可．
【解答】
解：因为f(x)=cs22x−sin22x=cs4x，
所以f(x)的最小正周期T=2π4=π2，
故选：A.

3.【答案】A
【解析】解：cs72∘cs12∘+sin72∘sin12∘
=cs(72∘−12∘)
=cs60∘
=12.
故选：A.
由已知利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简得解．
本题主要考查了两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属于基础题．
由(a−b)⊥b，可得(a−b)⋅b=0，进一步得到abcs−b2=0，然后求出夹角即可．
【解答】
解：∵(a−b)⊥b，
∴(a−b)⋅b=a⋅b−b2
=abcs−b2=0，
∴cs=b2ab=12，
∵∈[0,π]，
∴=π3，
故选B.

5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的平移，需要学生牢记“左加右减”准则，属于基础题．
根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．
【解答】
解：∵y=cs(12x−π6)=cs12(x−π3)，
∴把函数y=cs12x的图像向右平移π3个单位可得到函数y=cs(12x−π6).
故选：C.
6.【答案】D
【解析】解：因为a2+c2=b2−3ac，
所以由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=−3ac2ac=−32，
因为B∈(0,π)，
所以B=5π6.
故选：D.
由已知利用余弦定理可得csB=−32，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
“AB与AC的夹角为锐角”⇒“|AB+AC|>|BC|”，“|AB+AC|>|BC|”⇒“AB与AC的夹角为锐角”，由此能求出结果．
【解答】
解：点A，B，C不共线，
若“AB与AC的夹角为锐角”，则AB⋅AC>0，
|AB+AC|2=|AB−AC|2+4AB⋅AC
=|BC|2+4AB⋅AC>|BC|2，
∴“AB与AC的夹角为锐角”⇒“|AB+AC|>|BC|”，
若|AB+AC|>|BC|，则|AB+AC|2>|AC−AB|2，
化简得AB⋅AC>0，而点A,B,C不共线，
故 AB与AC的夹角为锐角，
∴“|AB+AC|>|BC|”⇒“AB与AC的夹角为锐角”，
∴设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充分必要条件．
故选C.

8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法和数乘的几何意义，数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
画出图形，可得出AC=AB+AD,BE=AD−12AB，代入AC⋅BE进行数量积的运算即可．
【解答】
解：如图，∵AD=1,AB=12,∠BAD=60∘，
又AC=AB+AD，BE=BC+CE=AD−12AB，
∴AC⋅BE=(AB+AD)⋅(AD−12AB)=−12AB2+AD2+12AB⋅AD=−18+1+18=1.
故选：C.

9.【答案】D
【解析】解：对于A，|a|=22+1=5,|b|=1+32=10，|b|≠3|a|，选项A错误；
对于B，由于2×3−1×1=5≠0，故a,b不平行，选项B错误；
对于C，cs=a⋅b|a||b|=2+35×10=22，又∈[0,π]，则a与b的夹角为π4，选项C错误；
对于D，a在b的投影向量的模为a⋅b|b|=2+310=102，选项D正确．
故选：D.
求出a与b的模可判断选项A；根据向量平行的条件可判断选项B；利用向量的夹角公式可判断选项C；由投影的计算公式可判断选项D.
本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：设P(x,y)，依题意，x2+(y−1)2=1，
∵AO=(2,0),AP=(x+2,y)，
∴AO⋅AP=2x+4，
由图象可知，−1≤x≤1，
∴2x+4∈[2,6]，即AO⋅AP的最大值为6.
故选：C.
设P(x,y)，则AO⋅AP=2x+4，易知x∈[−1,1]，由此可得AO⋅AP的最大值．
本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合思想及运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】−13
【解析】解：∵tanα=−2
∴tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−2+11−(−2)=−13
故答案为：−13.
根据tanα的值和两角和与差的正切公式可直接得到答案．
本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．要记准、记熟公式．
12.【答案】8−92
【解析】解：向量a=(−4,3)，b=(6,m)，
若a⊥b，则a⋅b=−24+3m=0，解得m=8，
若a//b，则−4m=3×6=18，解得m=−92，
故答案为：8；−92.
由向量垂直的性质，可得a⋅b=−24+3m=0，然后求出m即可；由向量平行的性质，可得−4m=18，然后求出m即可．
本题考查了向量垂直和平行的性质，考查了方程思想，属于基础题．
13.【答案】−22
【解析】解：根据题意，设正方形网格的边长为1，如图建立坐标系，
则a=(3,1)，b=(−1,−2)，
故|a|=9+1=10，|b|=1+4=5，a⋅b=−3−2=−5，
故cs=a⋅b|a||b|=−22；
故答案为：−22.
根据题意，设正方形网格的边长为1，建立坐标系，表示出a、b的坐标，进而求出a、b的模以及a⋅b的值，由此计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标表示方法，属于基础题．
14.【答案】98
【解析】解：∵E为CD的中点，EF=3FB，
∴BF=14BE=14(BC+CE)=14AD−18AB，
∴AF=AB+BF=78AB+14AD，
∵AF=λAB+μAD，
∴λ=78，μ=14，∴λ+μ=98.
故答案为：98.
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
15.【答案】①③
【解析】解：由题意，R=32+(−33)2=6，T=120，所以ω=2πT=π60；
又点A(3,−33)代入f(x)可得−33=6sinφ，解得6sinφ=−32；
又|φ|<π2，所以φ=−π3.故①正确；
因为f(t)=6sin(π60t−π3)，当t∈(0,60]时，π60t−π3∈(−π3,2π3],所以函数f(x)先增后减，②错误；
当t=100时，π60t−π3=4π3，P的纵坐标为y=−33，横坐标为x=−3，所以|PA|=|−3−3|=6，③正确．
t∈(0,60]时，点P到x轴的距离的最大值为6，④错误；
所以说法正确的是①③．
故答案为：①③．
求出圆的半径R，利用周期求出ω，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质判断求解即可．
本题考查了y=Asin(ω+φ)的解析式和性质的判断，求了解析式是解答本题的关键，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵向量a与b的夹角θ=3π4，且|a|=3，|b|=22，
∴a⋅b=|a||b|cs3π4=3×22×(−22)=−6；
(a+b)⋅(a−2b)=a2−a⋅b−2b2=32−(−6)−2×(22)2=−1；
(2)|a+b|=a2+2a⋅b+b2=9−12+8=5；
(3)cs=a⋅(a+b)|a||a+b|=9−63×5=55.
【解析】(1)直接利用数量积公式计算即可；
(2)利用模长公式直接计算即可；
(3)利用向量的夹角公式直接计算即可．
本题考查平面向量的数量积运算以及向量的模及其夹角，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵a→=(−1,3)，b=(1,2)，
∴a⋅b=−1×1+3×2=5；
(Ⅱ)2a→−b→=2(−1,3)−(1,2)=(−3,4)，
∴|2a−b|=5；
a在b上的投影向量的坐标为a⋅b|b|⋅b|b|=51+22⋅(1,2)=(1,2)；
(Ⅲ)∵(a→−mb→)⊥a→，
∴a2−ma⋅b=0，即10−5m=0，解得m=2.
【解析】(Ⅰ)直接利用数量积公式计算即可；
(Ⅱ)利用模长公式及投影向量公式计算即可；
(Ⅲ)依题意，a2−ma⋅b=0，由此可解得m的值．
本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为tanα=34，所以tan2α=2tanα1−tan2α=247，
sin2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=2×34(34)2+1=2425，
cs2α=sin2αtan2α=725.
(2)因为α∈(0,π2)，且β为锐角，所以α+β∈(0,π)，
由cs(α+β)=513，知sin(α+β)=1213，
因为α∈(0,π2)且tanα=34，所以csα=45，sinα=35，
所以sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα=1213×45−513×35=3365.
【解析】(1)由二倍角公式可得tan2α的值，结合二倍角公式与同除余弦可化切的思想，可求出sin2α的值，再由cs2α=sin2αtan2α，得解；
(2)易得sin(α+β)=1213，csα=45，sinα=35，根据β=(α+β)−α，利用两角差的正弦公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握二倍角公式，两角差的正弦公式，同除余弦可化切的思想是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=3sin⁡xcs⁡x−cs2⁡x+12=32sin⁡2x−12cs⁡2x=sin⁡(2x−π6)，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ],k∈Z；
(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，(2x−π6)∈[−π6,5π6]，
∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，即函数f(x)的值域为[−12,1]；
(Ⅲ)f(α2)=sin⁡(α−π6)=14，则cs(α+π3)=cs[π2−(π6−α)]=sin(π6−α)=−14，
∴cs(2α+2π3)=2cs2(α+π3)−1=2×(−14)2−1=−78.
【解析】(Ⅰ)利用数量积公式结合辅助角公式即可得到f(x)，再由三角函数的性质即可得到单调递增区间；
(Ⅱ)x∈[0,π2]，则(2x−π6)∈[−π6,5π6]，由此可得值域；
(Ⅲ)依题意，cs(α+π3)=cs[π2−(π6−α)]=sin(π6−α)=−14，再由二倍角公式得解．
本题考查平面向量的数量积以及三角恒等变换，三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)在△ADC中，csC=35，CD=7，AC=5.
利用余弦定理AD2=AC2+CD2−2⋅AC⋅CD⋅csC=52+72−2×5×7×35=32，
解得AD=42.
(2)利用余弦定理cs∠ADC=AD2+CD2−AC22⋅AD⋅CD=22，
所以sin∠BDA=sin∠ADC=1−cs2∠ADC=22，
在△ABD中，利用正弦定理ABsin∠BDA=ADsinB，
整理得sinB=42×228=12，又AD故∠B=π6.
【解析】(1)直接利用余弦定理求出结果．
(2)利用余弦定理和正弦定理求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
21.【答案】解：选择①：b−a=1.
(1)在△ABC中，因为a=73c，sinC=3314，所以由正弦定理得sinA=acsinC=32.
因为b−a=1，所以a(Ⅱ)因为a=73c，所以a>c.所以0因为sinC=3314，所以csC=1−sin2C=1314.
所以csB=cs[π−(A+C)]=−cs(A+C)=sinAsinC−csAcsC=32×3314−12×1314=−17.
法一：
所以sinB=1−cs2B=437.
由正弦定理得b437=a32，即7b=8a.
因为b−a=1，所以b=8.
法二：
因为b−a=1，所以a=b−1.因为a=73c，所以c=37a=37(b−1).
所以b2=a2+c2−2accsB=(b−1)2+949(b−1)2−2(b−1)×37(b−1)×(−17).
所以49b2=64(b−1)2.所以7b=8(b−1).所以b=8.
(或15b2−128b+64=0.即(15b−8)(b−8)=0，所以b=815或b=8.
因为b−a=1，所以b=815(舍)，所以b=8.)
选择②：ccsA=−32.
(Ⅰ)在△ABC中，因为a=73c，sinC=3314，
所以由正弦定理得sinA=acsinC=32.
在△ABC中，ccsA=−32，所以π2(Ⅱ)因为a=73c，所以a>c.所以0因为sinC=3314，所以csC=1−sin2C=1314.
所以csB=cs[π−(A+C)]=−cs(A+C)=sinAsinC−csAcsC=32×3314+12×1314=1114.
法一：
所以sinB=1−cs2B=5314.
因为ccsA=−32，所以c=−32−12=3.
由正弦定理得b5314=c3314，所以b=5.
法二：
因为ccsA=−32，所以c=−32−12=3.所以a=73c=7.
所以b2=a2+c2−2accsB=49+9−2×7×3×1114=25.所以b=5.
【解析】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于基础题．
选择①：b−a=1.
(1)在△ABC中，由a=73c，sinC=3314，结合正弦定理得sinA.由b−a=1，得a(Ⅱ)由a=73c，推出0选择②：ccsA=−32.
(Ⅰ)在△ABC中，因为a=73c，sinC=3314，结合正弦定理得sinA.由b−a=1，得a(Ⅱ)因为a=73c，推出0