2021-2022学年山西省运城市高一（下）段考数学试卷（5月份）（含答案解析）

2021-2022学年山西省运城市高一（下）段考数学试卷（5月份）

1.  在复平面内，复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  已知直线平面，直线平面，则下列结论一定成立的是(    )

A. a与b相交 B. a与b异面 C.  D. a与b无公共点

3.  一个正方体的六个面上分别有字母A，B，C，D，E，F，如图所示是此正方体的两种不同放置，则与E面相对的面上的字母是(    )

A. A B. D C. D或A D. D或F

4.  某学校在校学生有3000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且a：b：：3：4，全校参加登山的人数占总人数的为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取(    )

A. 15人 B. 30人 C. 45人 D. 60人

5.  设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

6.  在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点G，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，高是底面半径r的倍，点A，B是底面圆周上的两点，若是等腰直角三角形，则O到平面SAB的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影，，，满足，由C点测得B点的仰角为，与的差为；由B点测得A点的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差为(    )

A. 180m B. 200m C.  D.

9.  为了了解某市初三毕业生身高情况，从毕业生中随机抽查了1000名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是(    )

A. 总体指的是该市初三毕业的全体学生
B. 个体指的是每一名学生的身高
C. 样本指的是1000名学生
D. 样本是指1000名学生的身高

10.  在中，若，则角B的值可以为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  已知向量，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 的夹角为
C. 在上的投影向量为
D. 在上的投影向量为

12.  如图，在直三棱柱中，，，，点E是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的是(    )

A.
B. 的最小值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 存在点E，使得异面直线与AE所成角为

13.  i是虚数单位，若，则______.

14.  为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱底面是正六边形，侧面是全等的矩形和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的侧棱长为，正六棱柱的高为2，则此组合体的体积为______.

15.  在中，若，则角B的最大值为______.

16.  已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面为等腰直角三角形且，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为______.

17.  在锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求C；
若，且，求

18.  某超市调查顾客的购买力，随机查阅了10位使用现金的顾客的消费额和12位使用银行卡的顾客的消费额，获得如下数据单位：元：
现金消费
银行卡消费
分别估计该超市使用现金与使用银行卡的顾客的平均消费额；
在所有购物的顾客中，如果有的顾客使用现金，估计该超市的顾客的平均消费额．

19.  如图，在直三棱柱中，，点D为AB的中点．
求证：平面；
求证：平面平面

20.  已知O是坐标原点，，，点P满足
求；
若，A，B，C三点能构成三角形，求实数m的取值范围．

21.  如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，，，M是PB的中点．
证明：平面MAC；
求二面角的正切值．

22.  已知的内角A，B，C所对的边分别为
若，的面积为为边BC的中点，求中线AD的长度；
若E为边BC上一点，且，BE：：b，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：对应的点位于第一象限．
故选：
利用共轭复数的性质、复数的四则运算法则、几何意义即可得出结论．
本题考查了共轭复数的性质、复数的四则运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：直线平面，直线平面，
根据线面垂直的定义得到，
故选：
根据线面垂直的定义能作出判断．
本题考查命题真假的判断，考查线面垂直的定义等基础知识，是基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：一个正方体的六个面上分别有字母A，B，C，D，E，F，
如图所示是此正方体的两种不同放置，

根据两个不同放置的图形，可知E的对面不是B，C，
若E面与D面相对，则A面与B面相对，这时D面位置与第一种放置矛盾；
若E面与F面相对，则A面与C面相对，或C面与D面相对，
这时与第一种放置矛盾，
故与E面相对的是A面．
故选：
利用正方体的结构特征直接求解．
本题考查正方体的结构特征等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：可知全校参加跑步的人数为，
因为a：b：：3：4，，
所以，
按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，
故应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为
故选：
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：对于A，由可知存在直线，使得，
故当m为内与a垂直的直线时，显然，，故A错误；
对于B，设，则当m为内与a平行的直线时，，，故B错误；
对于C，设，则当m为内与与a平行的直线时，，故C错误；
对于D，由，可得，又，故，故D正确．
故选：
根据空间线面位置关系的性质与判定判断．
本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：如图，过点F作交DE于O，

则O是DE的中点，且，
，，
，，
又，

故选：
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，高是底面半径r的倍，
则高，则，
即，
解得

故选：
由，可求出O到平面SAB的距离．
本题考查了点到平面的距离计算，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：过C作，过B作，
故，由题意得，，
所以，
在中，由正弦定理可得，，
因为，
即，所以
故选：
由已知结合锐角三角函数定义先求出CH，然后结合正弦定理可求．
本题主要考查了正弦定义及锐角三角函数定义在求解实际问题中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
 

9.【答案】BD 

【解析】解：为了了解某市初三毕业生身高情况，从毕业生中随机抽查了1000名学生的身高进行统计分析，
则总体是某市初三毕业生身高的全体，故A不正确；
个体是是每一名学生的身高，故B正确；
样本是抽查的1000名学生的身高，C不正确，而D正确，
故选：
由题意，根据简单随机抽样，准确理解有关概念，从而得出结论．
本题主要考查简单随机抽样，用样本的数字特征估计总体的数字特征，准确理解有关概念，是解题的关键，属于基础题．
 

10.【答案】BC 

【解析】解：因为，由余弦定理得，
因为，
，又，
或
故选：
由已知结合余弦定理及同角基本关系进行化简可求，进而可求
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

11.【答案】AC 

【解析】解：因为，
所以，，
所以，
故，A显然正确；
设为的夹角，则由向量夹角公式可得，B显然错误；
在上的投影向量为，C显然正确；
在上的投影向量为，D显然错误．
故选：
利用向量的坐标运算以及向量垂直定义，向量夹角公式，投影向量的定义求解逐一判断即可．
本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量垂直、向量夹角公式以及投影向量，属于中档题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：在直三棱柱中，，，，点E是侧棱上的一个动点，
对于A选项：如图②，连接CE，由题可知平面ABC，平面ABC，，
又，，平面，
平面，，故A正确；
对于B选项：将矩形沿翻折到与矩形在同一个平面，如图①，
则，故B正确；
对于C选项：由A项可知平面，为直线与平面所成角，
如图所示，，故C错误；

对于D选项：，为异面直线与AE所成角或其补角，如图②，
设，，则，则若或时，
在中，由余弦定理得，，经验证，时符合题意，故D正确．

故选：
对于A选项，易知，平面，由线面垂直的性质得；
对于B选项，将矩形沿翻折到与矩形在同一个平面，由三点共线和基本不等式即可求解；
对于C选项，为直线与平面所成角，利用锐角三角函数可得；
对于D选项，由，可得为异面直线与AE所成角或其补角，则假设或时，结合余弦定理验证即可．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
则
故答案为：
根据复数的模即可求出．
本题考查了复数的模的运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由正六棱柱的高为2知底面正六边形的边长为1，又正六棱锥的侧棱长为，
所以正六棱锥的高为，所以底面正六边形的面积为，
此组合体的体积为
故答案为：
根据棱柱与棱锥的体积公式即可解出．
本题考查了棱柱与棱锥的体积公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，结合正弦定理得：，
由余弦定理，得当且仅当时取等号，
因为，在上单调递减，
所以的最大值为
故答案为：
由已知得，由余弦定理可得，可求B的最大值．
本题考查正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用，以及不等式的运用，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面为等腰直角三角形且，
如图所示：设球心为O，所在圆面的圆心为，则平面ABC，
因为为等腰直角三角形且，所以是AC中点，
所以当三棱锥体积最大时，P为射线与球的交点，
所以，
因为，设球的半径为R，所以，
所以，解得：，
所以球的表面积为

故答案为：
设球心为O，所在圆面的圆心为，根据球的几何特征可知，当三棱锥体积最大时，P为射线与球的交点，即可根据三棱锥的体积公式求出球的半径R，从而得其外接球的表面积．
本题考查了三棱锥外接球表面积的计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：由已知及正弦定理可得
因为，故，
所以在锐角中，
由余弦定理，，得，
所以 

【解析】由已知可得可求C；
由余弦定理得，可求
本题考查三角形中的数量关系的计算，正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力，属中档题．
 

18.【答案】解：由题意可得：
用现金的平均消费额为：元；
用银行卡平均消费额为：元；
所以该超市使用现金的顾客平均消费额为45元，使用银行卡的顾客的平均消费额为76元．
由题意，使用现金的顾客比例为，那使用银行卡的比例为，
所以估计该超市的顾客平均消费额为：元 

【解析】根据平均数的公式计算即可；
使用现金的顾客比例为，那使用银行卡的比例为，由此得出该超市的顾客的平均消费额．
本题考查了求平均数的计算，是基础题．
 

19.【答案】证明：连接交于点
，O分别是AB，的中点，，
平面，平面，
平面；
底面ABC，
，D为AB的中点，

，
平面，
平面，
平面平面 

【解析】利用线面平行的判定定理即可证明；
先证明平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论．
本题考查线面平行，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设，因为O是坐标原点，，，所以，，
又因为，所以，所以，解得，
所以；
若因为，所以，又因为，，所以，
，若A，B，C三点能构成三角形，则与不共线，所以，
解得：，所以m的取值范围是 

【解析】设，根据题意可求得点P坐标，然后可求得；
根据A、B、C三点不共线可求得m范围．
本题考查线性坐标运算及平面向量共线定理应用．考查数学运算能力，属于基础题．
 

21.【答案】证明：设AC与BD交于O，连接OM，
底面ABCD为正方形，是BD的中点，又M是PB的中点．
，又平面MAC，平面AMC，
平面MAC；

过A在平面PAD内作直线AM垂直AD，平面平面ABCD，平面平面，
平面ABCD，故AD，AB，AM两两垂直，
，，，
以AD，AB，AM为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，
设平面DCM的一个法向量，
则，令，则，，
平面DCM的一个法向量，
又平面ABCD的一个法向量可取，
，，
二面角的正切值为 

【解析】设AC与BD交于O，连接OM，可证，可证平面MAC；
过A在平面PAD内作直线AM垂直AD，以AD，AB，AM为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的正切值．
本题考查线面平行的证明，以及二面角的求法，属中档题．
 

22.【答案】解：由，根据正弦定理可得，
得，
得，，，，，即
的面积为，，为边BC的中点，，
，
又由余弦定理可得，
，即，中线AD的长度为
：：b，E为边BC上一点，，
，，即，，
又，，，所以，
，
当且仅当，即取等号，
故的最小值为 

【解析】由已知结合正弦定理可得，可求A；D为边BC的中点，，利用向量的运算与余弦定理可求AD；
由已知得，进而得，运算可得，利用基本不等式可得的最小值．
本题考查三角形中的数量关系的计算，考查正弦定理余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，转化思想的应用，属中档题．