2021-2022学年河北省保定市唐县一中高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案解析）

2021-2022学年河北省保定市唐县一中高一（下）月考数学试卷（6月份）

1.  已知复数z满足，则(    )

A.  B.  C. 2 D. 1

2.  为调整学校路段的车流量问题，对该学校路段时的车流量进行了统计，折线图如图，则下列结论错误的是(    )

A. 9时前车流量在逐渐上升 B. 车流量的高峰期在9时左右
C. 车流量的第二高峰期为12时 D. 9时开始车流量逐渐下降

3.  在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为(    )

A.  B. 2 C.  D. 4

4.  设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是(    )

A. 若，，且，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，且，则

5.  如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC和DE所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在中，，，，点D为边BC上靠近点B的三等分点，点E为边AC的中点，则(    )

A. 7
B.
C. 2
D.

7.  已知，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知三棱锥中，，，，，面ABC，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为(    )

A. 16
B. 28
C. 64
D. 96

9.  已知，，是三个平面向量，则下列叙述错误的是(    )

A. 若，则
B. 若，且，则
C. 若，，则
D. 若，则
 

10.  在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有(    )

A. 若，则
B. 若，则一定为等腰三角形
C. 若，则一定为直角三角形
D. 若，则一定为锐角三角形
 

11.  在对某中学高一年级学生身高单位：的调查中，随机抽取了男生23人、女生27人，23名男生的平均数和方差分别为170和，27名女生的平均数和方差分别为160和，则(    )

A. 总样本中女生的身高数据比男生的离散程度小
B. 总样本的平均数大于164
C. 总样本的方差大于45
D. 总样本的标准差大于7
 

12.  已知函数，将图象上每一点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数的图象，则(    )

A. 的图象向左平移个单位后对应的函数是偶函数
B. 在上单调递减
C. 当时，取最大值
D. 直线与图象的所有交点的横坐标之和为
 

13.  如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD的面积为______.

14.  已知，则______.

15.  已知非零向量，，满足，与的夹角为，，则向量在向量上的投影向量的模为______.

16.  已知三棱柱，侧棱底面ABC，E，F分别是AB，的中点，且，，，过点E作一个截面与平面平行，则截面的周长为__________.
 

17.  已知向量，，，且，
求与；
若，，求向量与的夹角的大小．

18.  已知函数其中，若的一条对称轴离最近的对称中心的距离为
求解析式；
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，且恰是的最大值，试判断的形状．

19.  某校100名学生期中考试化学成绩单位：分的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是
求图中a的值；
根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分及中位数；
若这100名学生化学成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．

20.  西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图，A，B是邛海水面上位于东西方向相距公里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点西北方向的D点有一艘渔船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距公里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30公里/小时．求：
观测点B与D点处的渔船间的距离；
点的救援船到达D点需要多长时间？

21.  如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，，，，，，
求证：
求证：平面DCE
若二面角的大小为，求直线DF与平面ABCD所成的角．

22.  已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，又平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上，

证明：平面平面PAD；
试探究F在棱PC何处时使得平面

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：复数z满足，
，

故选：
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：由折线图知，9时前车流量在逐渐增加，选项A正确；
车流量的高峰期在9时左右，选项B正确；
12时是车流量的第二高峰期，选项C正确；
12时左右车流量又有些回升，所以9时开始车流量逐渐下降错误，选项D错误．
故选：
根据题意由折线图，对应分析题目中的命题是否正确即可．
本题考查了折线图的应用问题，也考查了数据分析和处理能力的数学核心素养．
 

3.【答案】B 

【解析】

【分析】
由条件求得，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
【解答】解：中，，，三角形的面积，，
是等腰三角形，
故，
再由正弦定理可得，
三角形外接圆的半径，
故选：  

4.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
在A中，m与n平行或异面；在B中，或；在C中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得；在D中，m与n相交、平行或异面．
【解答】

解：在A中，若，，且，则m与n平行或异面，故A错误；
在B中，若，，则或，故B错误；
在C中，若，，，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得，故C正确；
在D中，若，，且，则m与n相交、平行或异面，故D错误．
故选：

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成角，圆锥的性质，属于基础题．
底面圆的圆心为O，由得异面直线AC和DE所成角等于直线OE与直线DE所成角．

【解答】

解：设底面圆的圆心为O，半径为连接EO，
因为O，E分别为BA，BC的中点，所以，
因为D为弧AB中点，所以，又平面平面ABD，所以平面
所以，又，所以为等腰直角三角形，所以
因为，所以异面直线AC和DE所成角为，故余弦值为
故选：

6.【答案】D 

【解析】解：如图建立平面直角坐标系：

所以，，，
所以，，
所以，
故选：
对建立平面直角坐标系，得出点的坐标，再计算，即可得出答案．
本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：将两边平方，得①；
将两边平方，得②；
①+②得，所以
所以
故选：
将条件中的两个等式两边平方，相加得的值，再利用二倍角公式求的值．
本题三角恒等变换中的平方和关系、和差角公式、二倍角公式，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：三棱锥中，，，，，面ABC，
以AB，AC，AP为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，
三棱锥的外接球的半径，
设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，
则，解得，
此三棱锥的外接球的内接正方体的体积
故选：
以AB，AC，AP为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的半径，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，则，解得，由此能求出此三棱锥的外接球的内接正方体的体积．
本题考查三棱锥的外接球的内接正方体的体积的求法，考查三棱锥及外接球、球的内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量平行、向量垂直、向量模的运算性质，属于中档题．
对A：举反例即可进行判断；
对B：当与，与垂直时，满足条件，但结论不一定成立；
对C：取，即可进行判断；
对D：利用向量垂直性质，结合模的运算即可进行判断．

【解答】

解：对A：当，时，满足，但，故A错误；
对B：当与，与垂直且时，满足，但结论不一定成立，故B错误；
对C：取，则，，但与不一定平行，故C错误；
对D：当时，即，则²²²²²，²²²²²，即时，，故D正确；
故选：

10.【答案】AC 

【解析】解：选项A中，由，可得，根据正弦定理得，即选项A正确；
选项B中，结合正弦定理及，知，所以，所以或，
即或，所以为等腰或直角三角形，即选项B错误；
选项C中，由余弦定理及，知，化简得，即选项C正确；
选项D中，由余弦定理知，，所以角C为锐角，但角A，B不确定，所以选项D错误．
故选：
选项A中，结合“大角对大边”与正弦定理，可判断；
选项B中，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角公式，可判断；
选项C中，利用余弦定理化角为边，再结合勾股定理，可判断；
选项D中，由余弦定理可得角C为锐角，但角A，B不确定．
本题主要考查三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】BC 

【解析】解：因为方差越小，数据的离散程度越小，所以总体样本中女生的身高数据比男生的离散程度大，A错误；
由已知可得样本的平均数为，B正确；
设23名男生的身高分别为，，…，，27名女生的身高分别为，…，
则…，…，
…，…，
，
，
同理，
故总体方差…，
，
，
，C正确；
由C可知标准差约为，D错误．
故选：
对于A，利用方差的性质即可判断；
对于B，利用平均数的计算公式即可判断；
对于C，利用方差计算公式即可判断；
对于D，利用标准差公式即可判断．
本题主要考查了方差及平均数的计算，属于基础试题．
 

12.【答案】AD 

【解析】解：由已知：函数图象上每一点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，可得，
对于A：函数向左平移个单位，得到，显然，
故为偶函数，A正确；
对于B：因为，故，显然在上不单调，亦即函数在上不单调，B错误；
对于C：当时，是最小值，C错误；
对于D：令，即，，
令或，
解得或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故所有的交点的横标之和为：，故选项D正确．
故选：
首先利用三角函数的平移变换求出函数的解析式，根据三角函数的性质可判断A；求出 整体的范围，即可判断B；将代入解析式中求值，即可判断C；令，求出内的所有的根，即可判断
本题考查三角函数的据图求式问题，同时考查了三角函数的图象与性质间的联系，属于中档题．
 

13.【答案】4 

【解析】解：根据题意，由直观图知，四边形是平行四边形，且边、分别在轴、轴上，，
故四边形ABCD是平行四边形，，，，则ABCD是边长为2的正方形，
所以四边形ABCD面积为
故答案为：
根据题意，分析原图的性质，进而计算可得答案．
本题考查斜二测画法的应用，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，属于中档题．
因为，利用二倍角公式求得的值．
【解答】
解：因为 ，

，
故答案为  

15.【答案】1 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于基础题．
由向量的数量积的可得向量在向量上的投影为，，即可得出答案．

【解答】

解：向量在向量上的投影为，，
所以向量在向量上的投影向量的模为1，
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查面面平行的判定定理等基础知识，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，是中档题．
取AF的中点G，分别在，BC上取点H，M，使，，连接EG，GH，HM，推导出平面，平面，从而可得平面平面依次求出四条边的长度，由此能求出所求的截面周长．

【解答】

解：如图，取AF的中点G，分别在，BC上取点H，M，使，，

连接EG，GH，HM，又F，G分别是，AF的中点，
又，，，，
四边形为平行四边形，，，
平面平面平面
，，，，
平面平面
平面又，MH，平面EGHM，平面平面
又平面ABC，，E，F分别是AB，的中点，，，
，，
，
，

在中，，，，

，，
平面EGHM的周长为，
即所求的截面周长为
故答案为：

17.【答案】解：由得，，
所以，即，
由得，，
所以，即
由得，，
所以，，，
所以，
所以向量，的夹角为 

【解析】利用向量共线的坐标运算，求出x，然后利用向量垂直，数量积为0，求解y，即可得到结果．
求出向量与，然后求解向量与的夹角即可．
本题考查向量共线以及向量垂直条件的应用，向量的数量积的求法，夹角的求法，是中档题．
 

18.【答案】解：由于函数，
的对称轴离最近的对称中心的距离为，
，
，
故，
；
由于，由正弦定理得，
，
，，
，
，
，
；
，
，
根据正弦函数的性质可知，是的最大值1，
此时，即，
，
为等边三角形． 

【解析】利用三角恒等变换化简函数，根据正弦型函数的性质求周期即可得解；
利用正弦定理及三角恒等变换可得，再由正弦型函数的性质及题意知求出B，即可判断三角形的形状．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：依题意，，解得，
这100名学生化学成绩的平均分为：分，
化学成绩在区间内的频率为，在区间内的频率为，则化学成绩的中位数，
则有，解得，
所以这100名学生化学成绩的中位数为
由频率分布直方图知，化学成绩在的人数分别为：5人，40人，30人，20人，
由数表知，数学成绩在的人数分别为：5人，20人，20人，25人，
所以数学成绩在之外的人数为：人 

【解析】利用给定的频率分布直方图的各小矩形面积和为1，计算作答．
利用频率分布直方图计算平均数、中位数的方法求解作答．
求出化学成绩在各分组区间内的人数，再按给定人数比的关系即可计算作答．
本题考查了频率分布直方图，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：在中，，，则，
，
由正弦定理，公理
在中，，，，

由余弦定理得，
救援船所需时间为小时 

【解析】求出的三个内角，利用正弦定理可求出BD的长；
利用余弦定理求出CD，结合救援船行驶的速度可求得所需的时间．
本题考查有关三角形知识的运算，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】证明：四边形ABCD为矩形，
，
又，AB，平面ABF，，
平面平面ABF，

，平面CDE，平面CDE，
平面
四边形ABCD是矩形，
，又平面CDE，平面CDE，
平面CDE，
又AB，平面ABF，，
平面平面CDE，平面ABF，
平面
如图

过F作FN与AB的延长线垂直，N是垂足，连结
，，
就是二面角的平面角，
，
，，
，，，
平面ABF，平面ABCD，
平面平面ABCD，又平面平面，，
平面ABCD，
是直线DF与平面ABCD所成的角，
，
直线DF与平面ABCD所成的角为 

【解析】本题考查了线面垂直，线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．
由，得出平面ABF，故；
由，得平面平面CDE，于是平面CDE；
过F作FN与AB的延长线垂直，N是垂足，连结则可证明平面ABCD，于是为所求角，利用勾股定理求出FN，DN计算即可得出的大小．
 

22.【答案】证明：底面ABCD是菱形，，
是等边三角形，
是AD的中点，
平面ABCD，平面ABCD，

又，平面PAD，平面PAD，
平面PAD，
又平面BEF，
平面平面
解：

连结AC交BE于M，连结
平面BEF，平面PAC，平面平面，


又∽，


在棱PC靠近P的三等分点时，平面 

【解析】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的性质，属于中档题．
根据，可得平面PAD，故而平面平面PAD；
连结AC交BE于M，连结FM，根据线面平行可得，于是