2021-2022学年浙江省台州市书生中学高一下学期3月阶段性测试数学试题（含答案解析）

2021-2022学年浙江省台州市书生中学高一下学期3月阶段性测试数学试题

1.  下列命题中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  在下列向量组中，可以把向量表示出来的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.  已知中，，则(    )

A. 1 B.  C.  D.

4.  设、是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的
(    )

A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5.  已知向量满足，且则向量与向量的夹角是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  对于任意两个向量和，下列命题正确的是(    )

A. 若，满足，且与同向，则
B.
C.
D.

7.  若的内角A，B，C的对边分别为a，b，面积，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是(    )

A. 1 B.  C. 2 D. 4

9.  在中，三个内角分别为A，B，C，下列结论正确的是(    )

A.
B. 若，则
C.
D. 若，则

10.  已知向量，，则(    )

A.
B. 与向量共线的单位向量是
C.
D. 向量在向量上的投影向量是

11.  在中，角A，B，C所对的边分别为，则下列结论正确的是(    )

A. 若，则
B. 已知中，，则有两解
C. 若是钝角三角形，则
D. 若则面积的最大值为

12.  设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则点M是边BC的中点
B. 若，则点M在边BC的延长线上
C. 若，则点M是的重心
D. 若，且，则的面积是面积的

13.  若，，则__________.

14.  已知向量、是两个非零向量，且，则与的夹角为__________.

15.  外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，，则c的值为__________.

16.  如图所示，三个边长为4的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有100个不同的点，记，，则__________.

17.  已知向量，，

若，求的值；

若，且，求的值．

18.  如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，

求的值；

用，表示；

求的值．

19.  已知海岛B在海岛A北偏东，A，B相距10海里，游船甲从海岛B以1海里/小时的速度沿直线向海岛A行驶，同时游船乙从海岛A沿着北偏西方向以2海里/小时的速度行驶.

问经过多长时间，游船甲在游船乙的正东方向；

求游船甲从海岛B驶向海岛A的过程中，甲、乙两船间距离的最小值.

20.  已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且
若，的面积为3，求b与c；
若，求

21.  已知向量，，函数，

若的最小值为，求实数m的值；

是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加法运算、减法运算，属于基础题．
根据向量的减法运算，可判断根据相反向量的和应为零向量可判断根据向量的数乘判断根据向量的加法判断

【解答】

解：起点相同的向量相减，则其结果应是指向被减向量，即，故A错；

，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即，故B错；

0与向量的数乘应是零向量，即，故C错；

根据向量的加法法则，，故D正确.

故选：

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．
根据向量的坐标运算及，计算判断即可．

【解答】

解：根据，
选项A：，则，，无解，故A不能；
选项B：，则，，解得，，，故B能；
选项C：，则，，无解，故C不能；
选项D：，则，，无解，故D不能．
故答案选：

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.
根据三角形内角和求出C，再根据正弦定理求出

【解答】

解：因为，所以，

由正弦定理可得，

故选：

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于中档题．
根据向量平行的应用，考查充分条件和必要条件的判断.

【解答】

解：若“”，
则平方得，
即，
即，
则，
又，夹角范围为，即，即，同向共线，
则存在实数，使得，
故“存在实数，使得”是“”的必要条件；
反之当 时，满足，但不成立，
故“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件，
故选

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于一般题.
求向量夹角通常用夹角公式：⟨⟩，还要注意角的范围先求出，再根据求与的夹角.

【解答】

解：

，
设向量与向量的夹角是，

则，，

，即向量与向量的夹角是

故选：

6.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查向量的减法法则，数量积，属于基础题.
根据向量的定义判断A，根据向量减法的三角形法则判断BD，根据向量数量积公式判断

【解答】

解：向量不能比较大小，所以A不正确；

B.根据向量减法法则可知，，当与反向时，等号成立，故B正确；

C.，当与共线时，等号成立，故C不正确；

D.当向量与不共线时，根据向量减法法则可知，故D不正确.

故选

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，属于基础题．

取，代入已知式子化简变形即可．

【解答】

解：，

，
，
又，
，

又由得，，
由正弦定理得，

即，

故选：

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查利用向量的数量积求向量的模，属于一般题.
由题意可得，对两边平方化简可得，然后利用基本不等式可求出的最大值.

【解答】

解：由题意可得，

因为，，

所以，

，

所以，

因为，所以，所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以的最大值是2，

故选：

9.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的诱导公式、正弦定理及变形，属于基础题.
结合三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理等知识逐一判断即可确定正确选项.

【解答】

解：，故A选项正确.

，故C选项错误.

若，则，所以，故B选项错误.

对于D选项，在中，因为A，B，，，
若，则或
而与矛盾，所以，所以D选项正确.

故选：

10.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查了向量坐标的减法、加法、数乘和数量积的运算，单位向量的定义及求法，投影及投影向量的求法，向量垂直的判定，考查了计算能力，属于基础题．
根据题意对各选项逐项判定，即可求出结果.

【解答】

解：A选项，，，，，A选项正确；

B选项，设与向量共线的单位向量，则，解得，或，故或，B选项错误；

C选项，，，则，故，C选项正确；

D选项，向量在向量上的投影向量是⟨⟩，D选项错误；

故选：

11.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，基本不等式的应用，三角形面积公式，正切函数的单调性，属于一般题.
利用正弦定理，可判定A正确；结合正弦定理求得，可判定B错误；不妨设A为锐角，分C为钝角和C为锐角两种情况，结合正切函数的性质，可判定C正确；利用余弦定理和基本不等式，以及面积公式，可判定D正确.

【解答】

解：对于A选项，由，可得为外接圆半径，可得，所以A正确；

对于B选项，在中， ，

由正弦定理知，即，

因为，可得，所以只有一解，所以B错误；

对于C选项，由是钝角三角形，不妨设，

当C为钝角时，可得，此时，符合题意；

当C为锐角时，可得，即，且，

由函数在上为单调递增函数，可得，即，所以，所以C正确；

对于D选项，因为，由余弦定理，

即，

当且仅当时，等号成立，所以，即bc的最大值为4，

所以面积的最大值为，所以D正确.

故选

12.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查向量在平面几何中的应用、向量的加减与数乘混合运算，属于中档题．
利用向量的加法与数乘混合运算即可判断A；利用向量的减法运算即可判断B；利用向量的加法运算结合重心的性质即可判断C；利用向量的加法与数乘混合运算结合图形即可判断

【解答】

解：若，则点M是边BC的中点，故A正确；
若，则，所以，
所以点M在边CB的延长线上，故B错误；
若，则，
所以点M是的重心，故C正确；
如图所示，若，且，

则，
设，则点M为线段AN的中点，
所以的面积是面积的，故D正确．
故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量线性运算的坐标表示，属于基础题.
根据向量的坐标运算，得到，即可求解.

【解答】

解：由题意，向量，，

根据向量的坐标运算，可得

故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题．
设出两向量的夹角，利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解.

【解答】

解：设与的夹角为，

设，所以，

则，

即，

即，又因为，

所以，即与的夹角为

故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.
根据正弦定理可求得；利用余弦定理构造关于c的方程，解方程可求得结果.

【解答】

解：已知外接圆半径，，
由正弦定理可得，

又因为，所以利用余弦定理可得，

解得或舍去

故答案为

16.【答案】7200 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
以A为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，得到的坐标，然后求得直线的方程，根据在直线上，得到，运用向量的数量积的坐标运算即可.

【解答】

解：如图所示：

以A为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，

则，

直线的方程为，

设，则，即，

所以，

所以

故答案为：

17.【答案】解：因为，所以，

即，则；

因为，所以，

即，因为，所以，

所以，即

【解析】本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、向量平行共线关系的坐标表示，属于基础题．
先利用向量垂直的条件得到，再利用同角三角函数基本关系进行求解；

先利用向量平行的条件得到，再利用二倍角公式结合角的范围进行求解.

18.【答案】解：由题意，得

；

由平面向量加法的平行四边形法则，

且BD，AC相交于点O，M为BO中点，

所以

，

即；

由，得，

且，

由，得，

则

，

，

所以

【解析】本题考查利用向量的数量积求向量的夹角、利用向量的数量积求向量的模、用基底表示平面向量，属于中档题.
利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解；利用平面向量加法的平行四边形法则和数乘运算进行求解；
先利用模长公式、数量积运算求出、、，再利用夹角公式进行求解.
 

19.【答案】解：设经过小时，游船甲在游船乙的正东方向．

如图所示：

游船甲与海岛A的距离为海里，游船乙与海岛A距离为海里，

，，

在中，由正弦定理得，即，

解得

故经过小时，游船甲在游船乙的正东方向．

由题设，，，

由余弦定理得：，

即

，

当时，海里

故甲、乙两船间距离的最小值为海里．

【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解决距离问题，属于一般题.
设经过小时，游船甲在游船乙的正东方向，分别到达E，F点，然后在中，利用正弦定理求解；

由得，，然后在中利用余弦定理求解.

20.【答案】解：由，
得，
故，即，
由A为三角形内角得，
因为，
的面积为，
故，；
因为，
故，
即，
所以，
因为，，
则或，
故或 

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式及三角形面积公式的综合应用，属于中档题．
由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求A，然后结合三角形的面积公式即可求解b，c；
由已知结合两角和与差的三角函数公式进行化简可求，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．
 

21.【答案】解，

，

 ，

，，

 ，令，

，，对称轴为，

①当即时，当时，，舍，

②当即时，当时，，，

③当即时，当时，，舍，

综上，

令，即，

或，，有四个不同的零点，

方程和在上共有四个不同的实根，

，，

【解析】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度.
求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；
由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可.
求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式求最值；③型，可化为求最值；④形如可设换元后利用配方法求最值.