2021-2022学年浙江省台州市温岭中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案解析）

2021-2022学年浙江省台州市温岭中学高一（下）月考数学试卷（3月份）

1.  下列命题中真命题为(    )

A. 若且，则
B.
C.
D. 为非零向量，若，则

2.  在锐角三角形ABC中，已知，则的取值范围为

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，与夹角为，则在上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  中，点D在边AB上，CD平分，若，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  在中，已知，，则(    )

A.  B.  C. 或 D.

7.  已知向量，，满足对任意，恒有，则(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知锐角外心为O，面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，若，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知O为坐标原点，点，，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

10.  在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则(    )

A.  B. 2 C.  D. 3

11.  在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则可能的整数值为(    )

A. 3 B. 1 C. 0 D.

12.  设点P是边长为2的正方形ABCD内部及边界上的动点，则的取值可能为(    )

A.  B. 2 C.  D.

13.  若向量，满足，，，则______.

14.  在中，内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且若，则的面积是______.

15.  在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则______.

16.  如图，中，，，AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于D，E两点，且，则______.

17.  已知两个向量，
求与垂直的单位向量；
当实数k取何值时，向量与方向相反？

18.  已知菱形ABCD的边长为1，，点E为边BC的中点，F为边CD上动点，
求；
当点F使得时，求的值．

19.  在中，已知
求的值；
若，M为AC中点，，求的值．

20.  海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为，，
救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？
若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？

21.  在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足
求B；
求的取值范围．

22.  在中，设，若，AD与BC交于点M，
用表示；
在线段AC，BD上分别取E，F，使EF过M点，设，，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：对于选项A，若且，当时，则，当当时，与关系无法确定，即选项A错误；
对于选项B，若，中至少有一个零向量，则命题显然成立，当，中都为非零向量时，若，则，则，，则，若，当或，显然，当或时，，若与不共线，则，即假设不成立，即，即选项B正确；
对于选项C，取，、不共线，则，，即选项C错误；
对于选项D，，则，则或，即选项D错误；
故选：
由平面向量数量积运算，结合共线向量逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了共线向量，属基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题考查了锐角三角形内角和定理及其性质、余弦函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
在锐角三角形ABC中，，，可得，于是，即可得出．
【解答】
解：在锐角三角形ABC中，，，
，，
又，
，

故选  

3.【答案】D 

【解析】解：在上的投影为，
在上的投影向量为
故选：
根据已知条件，结合平面向量的投影公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的投影公式，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：为角平分线，
，
，
，

故选：
由中，点D在边AB上，CD平分，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．
本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：：CD
 

5.【答案】B 

【解析】解：将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，
得到的图象对应的解析式为：，
再将图象向右平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，
得到的图象对应的解析式为：，
曲线由余弦曲线右移一个单位而得，
曲线经过点和，且在区间上函数值小于0，
由此可得，B选项符合题意．
故选：
首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：，然后将曲线的图象和余弦曲线进行对照，可得正确答案．
本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数的图象变换公式等知识点，属于基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：在中，，
，
，
，或舍去，
，

故选：
由条件利用同角三角函数的基本关系求得和的值，再利用诱导公式、两角和差的余弦公式求得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：由向量，，满足对任意，恒有，
则，
即，
由题意有，
即，
即，
则，
故选：
由平面向量数量积运算可得，对任意恒成立，则，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：由，得，即，
因为A为三角形内角，
所以，
因为锐角外心O在三角形内部，，
设M，N分别为AB，AC的中点，
，
又，
所以①，
同理，得②，
①②联立得，
化简得，当且仅当时取等号，
解得或，
由①②得，
所以，
所以，即
故选：
由已知结合余弦定理及三角形面积公式先求出A，然后结合向量数量积的定义及性质进行化简，再由基本不等式可求．
本题主要考查了余弦定理，向量数量积的定义及性质，基本不等式求解最值的综合应用，属于中档题．
 

9.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的坐标运算，向量的模，数量积的坐标运算，属于中档题．
根据平面向量的模及数量积的坐标运算，分别对各个选项验证即可得正确选项．

【解答】

解：对A选项，，，，故选项A正确；
对B选项，，，故选项B正确；
对C选项，，，，故选项C错误；
对D选项，，，，故选项D正确．
故选

10.【答案】BC 

【解析】解：由正弦定理知，，
所以，所以，
由余弦定理知，，
所以，化简得，，解得或
故选：
先利用正弦定理求得的值，再由余弦定理，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

11.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量基本定理的应用，辅助角公式，三角函数最值的应用，属于中档题．
建系后利用坐标对应关系，结合圆的三角换元，表示出，利用三角函数最值即可求解．

【解答】

解：以A点为坐标原点，建立直角坐标系，

则，，
所以，
圆C的半径为，
所以圆，
所以圆上点，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，其中，
所以，
所以，
即，
所以可能的整数值为：1，2，3，
故答案为：

12.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量数量积的取值范围的问题，属于中档题．
建立平面直角坐标系，设出，，，表达出，结合，求出最值，得到答案．

【解答】

解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，，，
设，则，，
则，
则，
故当时，取得最小值
当或，且时，取得最大值
故的取值范围是
故选

13.【答案】 

【解析】解：由，
则，
又，，
则，
则，
故答案为：
由平面向量数量积运算及向量模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算及向量模的运算，属基础题．
 

14.【答案】24 

【解析】解：，，结合正弦定理得
，即
、B是三角形的内角
或，可得或
，得a、b的长度不相等
不成立，只有，可得
因此，是直角三角形
设，，可得
，于是且，
由此可得的面积是
故答案为：24
由题意得，结合正弦定理化简得，所以或由于a、b不相等，得，因此，可得是直角三角形．根据和，利用勾股定理算出且，即可得到的面积．
本题给出的边角关系，叫我们判断三角形的形状并求三角形的面积，着重考查了利用正弦定理解三角形、诱导公式和二倍角正弦的公式等知识，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理，二倍角公式，两角和差公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
利用正弦定理将中的边为角，并结合两角和的正弦公式，可得角A的值，代入中，再结合二倍角公式，辅助角公式，即可得解.
【解答】
解：由正弦定理及，
知，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
又，所以，
所以，
若，则，而，不存在此三角形；
若，则，即，
又，所以
故答案为：  

16.【答案】 

【解析】解：在中，
，
则，
在中，
由正弦定理得：，
解得，
即，
则，
在中，由余弦定理可得：
，
故答案为：
先在中，由正弦定理，求得，然后在中，由余弦定理求解即可．
本题考查了解斜三角形，重点考查了正弦定理及余弦定理，属基础题．
 

17.【答案】解：根据题意，设要求向量为，且，
向量，，则，
则有，解可得或，
则要求向量为或；
若与方向相反，设，，
必有，解可得，
又由，则；
故 

【解析】根据题意，设要求向量为，且，分析可得关于x、y的方程组，解可得答案；
设，，由向量平行的性质可得，解可得答案．
本题考查向量数量积的运算，涉及向量垂直、平行的判断，属于基础题．
 

18.【答案】解：
；
记，
则，
设，则，
，
，则，
解得，
所以 

【解析】用表示后计算，并把模平方转化为数量积运算；
记，设，用表示题中涉及的向量，由求得之，然后由数量积运算律计算．
本题考查平面向量基本定理，数量积的运算，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为，
所以，
解得，
；
由得，设，
中，由余弦定理得，，
解得或，
当时，有，
所以，
所以，
当时，有，
所以，
所以
故或 

【解析】由已知结合两角和的正切公式可求，然后结合同角基本关系可求；
由已知先求出，然后结合余弦定理先求出AM，进而可求BC，再由余弦定理可求．
本题主要考查了和差角公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：测得角度数据为，，；

，
所以：；
所以，
故能及时赶到． 

【解析】直接利用正弦定理的应用求出结果．
直接利用余弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：因为，
所以，
因为，
所以，即，
由正弦定理得，
所以，
由得，
由B为三角形内角得；
，
由题意得，解得，
所以，
所以
故的取值范围为 

【解析】由已知结合三角形面积公式，与心里即正弦定理进行化简可求，进而可求B；
结合及二倍角公式，和差角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数性质可求．
本题主要考查了余弦定理，和差角公式，辅助角公式及三角形面积公式，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：连接OM，
由B，M，C三点共线，A，M，D三点共线，
，
因为，
，
，
，
；
由E，M，F三点共线，p，q均大于零，
，
，
，
，
，
当且仅当时，取等号．
即的最小值为 

【解析】利用平面向量基本定理，即可解出；
利用平面向量基本定理，即可解出；
本题考查了平面向量基本定理，学生的数学运算能力，属于基础题．