2021-2022学年山西省运城市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山西省运城市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 若全集，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知函数，，则的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数为上的偶函数，则实数(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

4. 某社区服务站将名抗疫志愿者分到个不同的社区参加疫情防控工作，要求每个社区至少人，则不同的分配方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

5. “”是“函数有且只有两个零点”的(    )

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 已知函数，，则如下部分图像对应的函数可能是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知函数，则关于的不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，且，则下列一定正确的为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 已如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若，，则正实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知是定义在的函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 若函数，，图象关于对称，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不对

12. 已知函数的定义域为，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数的取值集合为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 的展开式中，各项系数的和为______．
14. 已知函数，则______．
15. 已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，，且时，都有，有下列命题：
    ；
    点是函数图象的一个对称中心；
    函数在上有个零点；
    函数在上为减函数．
    则正确结论的序号为______．
16. 设函数，，若对任意实数，，总存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是               ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知函数．
    当时，求不等式的解集．
    求不等式的解集．
18. 在甲、乙等个单位参的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序序号为，，，，，以表示排在甲、乙两单位演出之间的其他演出单位个数，以表示甲，乙都演出结束时，其他已演出单位的个数．
    求；
    求随机变量的分布列和数学期望．
19. 为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响．
    若高二年级与高三年级进行轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有轮胜出的概率；
    若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过轮，求对抗赛轮数的分布列与数学期望．
20. 电影院统计了某电影上映高峰后连续场的观众人数，其中每场观众人数单位：百人与场次的统计数据如表：

通过散点图可以发现与之间具有相关性，且满足经验关系式：，设．
利用与的相关性及表格中的前组数据求出与之间的回归方程结果保留两位小数；
如果每场观众人数超过百人，称为“满场”从表格中的组数据中随机选出组，设表示“满场”的数据组数，求的分布列及数学期望．
附：前组数据的相关量及公式：，对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．

21. 已知函数，．
    若函数在区间上有零点，求实数的取值范围；
    设，若对于任意，都有，求的取值范围．
22. 已知函数，．
    若，对，使得成立，求实数的取值范围；
    若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
且，即，
又．
，
故选：．
求出集合中的范围，注意，再与求交集．
本题考查交集的运算，属于简单题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以．
故选：．
由已知结合对数函数与二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了对数函数与二次函数的性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数为上的偶函数，则，即，
变形可得，
必有，解可得，
故选：．
根据题意，由偶函数的定义可得，即，变形分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数函数的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：若个社区的志愿者人数分别为，，，此时不同的分配方案有种，
若个社区的志愿者人数分别为，，，此时不同的分配方案有种，
不同的分配方案共有种，
故选：．
若个社区的志愿者人数分别为，，或，，，根据分类计数原理可得．
本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为当时，有一零点，
要使函数有两个零点，则当时必有一个零点，
即有一个非正解，
即在上有解，
所以，
又因为，，
所以““是“函数有且只有两个零点”的必要不充分条件，
故选：．
求出函数有且只有两个零点的充要条件即可判断．
本题考查函数的零点，充分条件和必要条件，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于选项，令，，
函数的定义域为，
所以，函数为奇函数，与题图不符，
对于选项，令，
对任意的，，即函数的定义城为，
，所以，函数为奇函数．与题图不符号，
对于选项，，
函数么的定义域为，么小．
函数为偶函数，与题图相符，
当时，，，则，与题图相符，
对于远项，，由，可得．
故函数的定义域为，与题图不符．
故答案为：．
分析各选项中函数的定义城、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可行出合适的选项．
该题考查了函数与方程的综合应用，考查了奇函数与偶函数，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数的开口向下，
对称轴为，则，
，
，
，
不等式的解集为，
故选：．
由对称轴为，得到，再利用二次函数的图像与性质得到即可．
本题主要考查二次函数的图像与性质，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：当，时，
成立，
但，
，
，
故选项B、、D错误；

，
当且仅当时，等号成立，
故选项A正确；
故选：．
举反例，可判断选项B、、，化简，从而判断选项A．
本题考查了化简运算及恒成立不等式的应用，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象知，，
显然函数是奇函数，则，，
因此，函数的图象与的图象没有公共点，而的图象是的图象向右平移个单位而得，
于是得，，当且仅当，解得，而，即有，
所以正实数的取值范围为．
故选：．
求出函数、的解析式，再借助函数性质及图象变换，列出不等式，求解作答．
本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为是定义在上的函数，
对任意两个不相等的正数，，都有，
任取
故，化简得：，
函数是上的减函数，
因为，，
所以，同理，所以，
又因为，，所以，
所以，
故选：．
由可知函数是上的减函数，结合自变量的大小比较函数值即实数，，的大小即可．
本题考查三个数的大小的判断，考查函数的单调性、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为函数图像关于对称，
所以，，
即且，
解得，，
所以，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
又，
，
所以函数的最大值为，
故选：．
根据题意可得，，即且，解得，，即可得出的解析式，求导分析的单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数的图象关于点对称，，即，是奇函数，
又对于任意的，总有成立，即，是周期函数，且周期，
当时，，，
当时，，若函数，对任意，存在，使得成立，则应，
函数，，当时，，，不合题意，
当时，，是增函数，，不合题意，
当时，，，或，解，，解，，由此符合题意，
故选：．
根据抽象函数的性质得到为奇函数且周期函数，求得的范围，再求得的最小值即可．
本题考查了抽象函数的性质，及函数的最值，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：令得，，
即展开式的各项系数的和为，
故答案为：．
利用二项式定理的性质，即可直接解出．
本题考查了二项式定理，赋值法，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，则，
故答案为：．
根据题意，由函数的解析式计算可得答案．
本题考查函数值的计算，注意分段函数的解析式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，令得，，
令得，，
所以，又是奇函数，
，，是周期函数，是它的周期，
当，，且时，都有，即时，，在，增函数，
由奇函数性质知在，上也是增函数，所以在，上递增，
所以，
从而，，，
，正确；
，则函数图象关于直线对称，又函数图象关于原点对称，因此也关于点对称，正确；
由上讨论知在，上有个零点，，
注意，
因此在，上零点个数为，正确；
由周期性知函数在与时的图象相同，函数同为增函数，错误．
故答案为：．
由已知得出函数的周期性，然后由奇偶性与周期性、单调性定义判断．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式恒成立，不等式有解问题，属难题．
分情况讨论不同取值时函数在上的范围，从而确定的最大值，将对任意实数，，总存在实数使得不等式成立，转化为恒成立，即可解决．
【解答】
解：设的最大值为，
令，则，
在上，当，即时，单调递增，
此时，
当时，，
当时，，
从而当，时，取最小值，，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
在时，，
当时，，
在时，，
当时，，
对任意实数，，总存在实数使得不等式成立等价于恒成立，
，
故答案为：  

17.【答案】解：根据题意，当时，即，
解可得：，
即不等式的解集为；
即，变形可得，
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
故当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． 

【解析】根据题意，由一元二次不等式的解法分析可得答案；
根据题意，即，变形可得，分种情况讨论和的大小关系，求出不等式的解集，综合可得答案．
本题考查一元二次不等式的解法，涉及含有参数的讨论，属于基础题．
 

18.【答案】解：只考虑甲、乙两单位演出的相对位置，
则；
的可能取值为，，，，，
，，，
，，
故的分布列为

． 

【解析】只考虑甲、乙两单位演出的相对位置，则可用组合数来计算基本事件，结合古典概型即可得解；
写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可写出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可．
本题主要考查离散型随机变量的概率分布列及数学期望，是中档题．
 

19.【答案】解：由题意，知高三年级胜高二年级的概率为．
设高三年级在轮对抗赛中有轮胜出，“至少有轮胜出”的概率为
则．
由题意可知，，，，
则，．
，．
故的分布列为：

． 

【解析】先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可；
先确定出的所有可能取值，分别求出相应概率，从而列出分布列，求得数学期望．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
 

20.【答案】解：两边求对数得：．
设，又，则．
．
，．
．
．
与之间的回归方程为．
即．
的可能取值，，．
，，．

． 

【解析】根据对数的运算性质，结合题中数据以及题目所给的公式进行求解即可；
根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可．
本题主要考查回归方程和离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
 

21.【答案】解：，
因为函数在区间上有零点，
所以在区间上有根，
所以在区间上有根，
即在区间上有根，
所以在区间上有根，
令，，
，
所以在上单调递增，
，，
所以，
所以的取值范围为．
，，
因为且，
所以且，
所以的最大值为或，

，
所以，
所以，
即，
设，，
所以在上单调递增，
又，
所以，
即．
所以，
所以的取值范围为． 

【解析】根据题意可得，函数在区间上有零点转化为在区间上有根，即可得出答案．
根据题意可得，，则且，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，函数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：，即，
若，使得成立，
只需要成立，
，
因为，当解仅当，即时等号成立，
所以，即，
分离参数，
令，，则，
，使得，
只需要，
因为，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围为
由知，函数与的图像有且只有一个公共点，
即方程有且只有一个实数根，
所以方程有且只有一个实数根，
令，则方程有且只有一个正根，
当时，，不合题意，
当时，若得或，
当，则，不合题意，
当，则，满足要求，
若，此时方程应有一个正根与一个负根，，
又由得或，
所以，
综上所述，实数的取值范围为． 

【解析】根据题意问题转化为若，使得成立，只需要成立，即可得出答案．
由知，函数与的图像有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实数根，令，则方程有且只有一个正根，即可得出答案．
本题考查函数与方程之间的关系，解题中需要理清思路，属于中档题．