2021-2022学年山西省晋中市现代双语学校高一（下）段考数学试卷（3月份）（含答案解析）

2021-2022学年山西省晋中市现代双语学校高一（下）段考数学试卷（3月份）

1.  化简得(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知等边三角形ABC的边长为1，，，，则(    )

A. 3 B.  C.  D.

3.  在中，若，，，则角B的大小为(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.  新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好抵达B处时，(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知C为的一个内角，向量，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，若其面积为S，且，则角A的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

8.   在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，那么是(    )

A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

10.  已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D. 或

11.  在中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  在锐角三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、若，且，则c的取值范围为(    )

A.
B.
C.
D.

13.  已知为单位向量，且，若，向量的夹角为，则__________.

14.  已知向量，，，则______.

15.  一船向正北航行，到达B处时，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C、D恰好与它在一条直线上，继续航行1小时后到达A处，看见一灯塔在船的南偏西方向，另一灯塔在船的南偏西方向如图所示，则这只船的速度是______海里/小时．

16.  已知单位向量和，且，若向量满足，则的取值范围是______

17.  已知
当k为何值时，与共线？
当k为何值时，与垂直？
当k为何值时，与的夹角为锐角？

18.  在中，，
求的值； 
设，求的面积．

19.  在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答．
问题：的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足______.
求A；
若，且向量与共线，求的周长．

20.  如图所示，在中，点D为BC边上一点，且，E为AC的中点，，，
求AD的长；
求的面积．

21.  在中，，，，D、F分别是线段BC，AB上的点，且
若，求的值；
求的取值范围；
若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求

22.  如图，在平面四边形ABCD中，，，，设
若，求的值；
用表示四边形ABCD的面积，并求的最大值．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】【解答】
解：



故选：
【解析】
本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得的值．
向量加法的三角形法则，可理解为“首尾相接首尾连”，向量减法的三角形法则，可理解为“同起点，连终点，方向指被减．”或是“同终点，连起点，方向指向减．”
 

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，解题的关键是准确确定出向量的夹角，属于基础题.
先确定出各向量的夹角，然后根据向量的数量积的定义即可求解

【解答】

解：由题意可得，，


故答案选：

3.【答案】B 

【解析】解：由正弦定理得，
或
，
，
故选
先根据正弦定理将题中所给数值代入求出的值，进而求出B，再由角B的范围确定最终答案．
本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．
 

4.【答案】D 

【解析】解：依题意，作图如下，设由A到B航行的时间为t，则，，
在直角三角形ABC中，，
所以，
所以，
所以，
故选：
依题意可作出图形，利用图中的直角三角形可求得，从而可得答案．
本题考查解三角形，作出图形求得是关键，考查作图能力与分析运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】C 

【解析】

【分析】
根据向量的数量积和坐标形式和向量的垂直的条件得到关于的方程，解得即可．本题考查了向量的数量积公式和向量垂直的条件，属于基础题．
【解答】
解：，，，
，
解得，舍去，
是三角形内角，
，
故选：  

6.【答案】A 

【解析】解：因为，，
所以向量在向量方向上的投影为，
则向量在向量方向上的投影向量为
故选：
根据投影向量的概念计算出答案即可．
本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，是基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：由在中，若其面积为S，且，
则，
则，
又，
则，
故选：
由平面向量数量积运算，结合三角形面积公式求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了三角形面积公式，属基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加减和数乘运算，考查运算能力，属于基础题．
运用向量的加减和数乘运算，计算可得结果．

【解答】

解：如图，

在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
则


故选：

9.【答案】A 

【解析】

【分析】
由余弦定理易得，再由和差角公式可得，可判三角形形状．
本题考查三角形形状的判定，涉及余弦定理和和差角的三角函数公式，属中档题．
【解答】
解：中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
是直角三角形．
故选：  

10.【答案】D 

【解析】解：由题意，，
可得，即，
或
①当时，
，，


那么的面积
②当，由正弦定理，可得…①．
…②
解得，
那么的面积，
故选：
根据，可得，即根据正余弦定理求解即可．
本题考查了三角恒等式的化简能力和正余弦定理的运用．属于基础题．
 

11.【答案】B 

【解析】解：中，，
点P满足，
，
整理可得，
，，
，
因为P，M，N三点共线，所以，，，，
，
当且仅当时取“=”，则的最小值为
故选：
利用图形利用平面向量的线性运算与共线定理，即可求得的最小值．
本题考查了平面向量的线性运算与共线定理以及基本不等式的应用问题，是中档题．
 

12.【答案】C 

【解析】解：，
，
，
，
，
在锐角三角形ABC中，，
，
，
是锐角三角形，
，
解得，
故选：
先根据三角恒等变换得，根据题意可得，则，再根据余弦定理及锐角三角形得，代入数据即可得出结论．
本题主要考查余弦定理判断三角形的形状，考查简单的三角恒等变换，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查向量夹角的求解，属于基础题．
根据向量的模和数量积即可得到结论．

【解答】
解：

，

，
，

故答案为  

14.【答案】5 

【解析】解：已知向量，，，设，则有，且， 
解得，，故，，
故答案为
设，则有，且，解方程求得x、y的值，即可求得的值．
本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
 

15.【答案】5 

【解析】解：如图，依题意有，，
所以，
从而，
在直角三角形ABC中，得，
于是这艘船的速度是海里/小时
故答案为：
如图，依题意有，，所以，从而，在直角三角形ABC中，得，由此能求出这艘船的速度．
本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
，即，
解得：，
即的取值范围为
故答案为：
利用可求得；利用向量数量积的运算律可将表示为，进而得到，由此解不等式求得结果．
本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，，
则，，
若与共线，则有，
解可得：，
根据题意，，，
若与垂直，则，
解可得：，
根据题意，，，
若与的夹角为锐角，则有且与不共线，
即且，
解可得：且 

【解析】根据题意，求出与的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得k的值，即可得答案；
根据题意，求出与的坐标，由向量垂直的判断方法可得，解可得k的值，即可得答案；
根据题意，求出与的坐标，分析可得且与不共线，据此可得关于k的不等式，解可得答案．
本题考查向量的线性运算，涉及向量垂直、平行的判断，属于基础题．
 

18.【答案】解：在中，，
由，，得，
由，，得
所以；
由正弦定理，
解得：，
所以的面积： 

【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求得结果．
利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．
 

19.【答案】选择①，由正弦定理，得，
，又，，
，又，，得，
选择②，由正弦定理，得，整理得，，
又，，；
选择③，由正弦定理，得，
，
又，，，；
，，由正弦定理得，，
由余弦定理，，得，
又，，，，
周长为 

【解析】本题考查正弦定理与余弦定理的综合运用，考查两角和与差的三角函数及运算求解能力，属于中档题．
选择①，利用正弦定理将已知关系式化简，得，再利用辅助角公式化简，结合，可得答案；
选择②，利用正弦定理与余弦定理，可求得，可求得；
选择③，利用正弦定理，化简已知关系式，得，可求得；
利用向量的坐标运算结合余弦定理，可求得的周长．
 

20.【答案】解：在中，，，
，
，
由正弦定理知，得
由知，依题意得，在中，由余弦定理得，
即，
，解得，负值合去，
，
从而 

【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，进而根据正弦定理可得AD的值．
由知，依题意得，在中，由余弦定理解得DC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】解：，所以，
，
又，
，；
解：设，
因为在三角形ABC中，，
，


又，所以，
故的取值范围为；
解：，M，D三点共线，
存在实数x，使得，
为AB的中点，
，
又C，M，F三点共线，存在使得，
，
，解得，

 

【解析】将化成和后，与已知条件比较得，由此即可求出结果；
设，将用表示，根据数量积公式，转化为二次函数，即可求出结果；
先根据向量共线和三点共线可知存在实数x，使得，存在使得，化简整理，根据系数相等可得，再与进行数量积运算即可得到结果．
本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：在中，由余弦定理知，
由已知，
代入上式得：，即，
又由正弦定理得：
即：，解得：；
在中，由余弦定理知，
为等边三角形，且边长为
故



，
，，
故当时，取得最大值为 

【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理三角形的面积公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
由题意利用余弦定理求得BD，再利用正弦定理，求得的值，
由题意利用三角形的面积公式，三角恒等变换，花简，再利用正弦函数的定义域和值域，求得的最大值．