2021-2022学年山西省高三（上）期末数学试卷（文科）（含答案解析）

2021-2022学年山西省高三（上）期末数学试卷（文科）

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知复数为虚数单位，则等于(    )

A. 0 B.  C. 1 D.

3.     下列命题中，真命题有(    )
   ①，；
   ②，；
   ③若命题是真命题，则是真命题；
   ④是奇函数．

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

4.     已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则a的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

5.     已知，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.     如图所是2020年7月份至2021年6月份的居民消费价格指数与工业品出厂价格指数的曲线图，从图中得出下面四种说法：
   ①指数比相应时期的指数值要大；
   ②2021年6月份与之差最大；
   ③2020年7月份到2021年6月份的的方差大于的方差；
   ④2020年7月份到2021年6月份的的中位数大于
   则说法正确的个数为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7.     中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了附：(    )

A.  B.  C.  D.

8.     已知数列为等差数列，为其前n项和，若，，则等于(    )

A. 27 B. 25 C. 20 D. 10

9.     已知圆C：，在圆内随机取一点P，以点P为中点作弦AB，则弦长的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知数列，满足，则…等于(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，已知抛物线，圆C：，过C点的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则等于(    )

A. 1
B. 2
C. 4
D. 8

12. 已知，，且，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

13. 函数在点处的切线方程为______.
14. 已知，，，则向量与向量的夹角为______.
15. 已知是奇函数并且是R上的单调函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为______.
16. 如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点不与，C重合，点M，N分别为线段，的中点，则下列说法中正确的是______.
    ①；
    ②三棱锥的体积随P点位置的变化而变化；
    ③的最小值为；
    ④的取值范围是

17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
    求角B的大小；
    若，D为AC边上的一点，，且____，求的面积．
    ①BD是的平分线；
    ②D为线段AC的中点．
18. 如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形ABCD为圆柱的下底面的内接四边形，且AC为圆柱下底面的直径，PD为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为
    证明：；
    ，B为的中点，点Q在线段PB上，记，求多面体PQACD的体积．

19. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

求这1000名患者的潜伏期的样本平均数值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数；
该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为潜伏期与患者年龄有关．

附：，其中

20. 已知函数
    讨论函数的单调性；
    若对于任意的，都有，求整数k的最大值．
21. 已知椭圆的离心率，椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为
    求椭圆C的标准方程；
    设过椭圆C右焦点的直线，的斜率分别为，，满足，交C于点E，F，交C于点G，H，线段EF与GH的中点分别为M，判断直线MN是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
    写出的普通方程和的直角坐标方程；
    设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标．
23. 已知函数
    若，求不等式的解集；
    若，，，且的最小值为，求证：
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，，

故选：
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：，
故，
故选：
利用复数的运算法则和复数模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算法则和复数模的计算公式，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：对于①，令，，
则，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，，所以①正确，
对于②，当时，，，所以成立，所以②正确，
对于③，若命题是真命题，则p，q至少有一个为真命题，所以真假不能判断，所以③错误，
对于④，令，定义域为R，则，
所以是奇函数，所以④正确，
故选：
对于①，利用导数研究函数的单调性，即可求解，对于②，结合特殊值法，即可求解，对于③，结合逻辑用语，即可求解，对于④，结合奇函数的性质，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：由题意知双曲线的两条渐近线的夹角为，且，
则双曲线的两条渐近线的倾斜角为和
若双曲线的焦点在x轴上，则，
，
解得，
故选：
判断双曲线的两条渐近线的倾斜角为和，渐近线方程求解a即可．
本题考查双曲线的几何性质，由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键，属中档题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：因为，
所以，
又，可得，
所以，
则
故选：
由已知条件可求，进而利用二倍角公式化简已知等式可得，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解的值．
本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：对于①，居民消费价格指数曲线在工业品出厂价格指数的曲线上方，
指数比相应时期的指数值要大，故①正确，
对于②，由图可知，2021年6月份与之差最大，故②正确，
对于③，年7月份到2021年6月份的较平稳，的波动性更大，
年7月份到2021年6月份的的方差小于的方差，故③错误，
对于④，2020年7月份到2021年6月份的的值有5个正的，4个负数，3个0，
则中位数为0，故④错误，
故正确的个数为2个．
故选：
根据折线图的形状，以及方差与中位数的定义，即可依次求解．
本题主要考查折线图的应用，考查数形结合的能力，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于基础题．
根据题意，计算出即可．

【解答】

解：当时，，
当时，，
因为，
所以将信噪比从1000提升至4000，则 C 大约增加了，
故选：

8.【答案】A 

【解析】解：因为为等差数列，，，
所以，
解得，，，
则
故选：
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：设“弦长小于的弦”为事件A，
则，，，如图所示．

点P满足的平面区域为除去同心内圆的所有区域，
则所求的概率为
故答案为：
故选：
设“弦长小于的弦”为事件A，根据几何概型的概率求出对应面积比即可．
本题考查了几何概型的概率计算问题，考查数形结合思想，是基础题．
 

10.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查数列通项公式的求解以及裂项求和的应用，属于基础题．
根据已知条件求得数列的通项公式，再结合裂项相消求和即可求解结论．

【解答】

解：数列满足，①
，
，②
①-②得：，
又也满足上式，
故，
，
…
故本题选

11.【答案】A 

【解析】解：由抛物线：，得焦点为
圆的标准方程为，所以圆心C为，半径
设，，
设直线l：，将直线l代入抛物线方程可得，
即，，
故
故选：
求出抛物线的焦点坐标，得到圆的方程，设，，设直线l：，将直线l代入抛物线方程可得，利用韦达定理，结合抛物线的性质，转化求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．
 

12.【答案】D 

【解析】解：令，则，
故在上是增函数，
而，
又，，
且，，
，
，，，
故选项A、B、C都错误，
，，
，
故选项D正确；
故选：
构造函数，求导可判断在上是增函数，由题意得，从而可判断，从而对四个选项依次判断．
本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
函数在点处的切线方程为，
整理，得
故答案为：
由，知，由此能求出函数在点处的切线方程．
本题考查函数的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的求法．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，即，
，

故答案为
求出，代入夹角公式计算．
本题考查了平面向量的夹角计算，向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为是奇函数并且是R上的单调函数，
所以方程即可转化为，
即x³，
令³，只需满足有3个实数根即可求出，
²，令，解得，
当，时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
故呈先增后减再增的趋势，
要使有3个实数根，只需，，
即，解得，
验证和时是否分别小于0和，
若不是则只有一个实数根，若是则有3个实数根，
在上任取代入，不妨取，则当时，，当时，，符合条件，
故，
故答案为：
由是奇函数，将转化为，由在R上单调，得x³有3个实数根，令³，利用导数得到其单调区间，进而得到，，才能符合条件，即可求出取值范围．
本题考查了函数的零点，函数的单调性，函数的奇偶性，属于中档题．
 

16.【答案】①③④ 

【解析】解：在正方体中，，
又平面，所以，
而，
所以平面，而平面，所以，①正确；
在中，点M，N分别为线段，的中点，
所以，
因为平面，而平面，
所以平面，
所以点P到平面的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，②错误；
易知，
所以，
所以，③正确；
设，易知x的取值范围为
则
所以的取值范围是④正确．
故答案为：①③④．
①可以根据线面垂直的性质可得证，②可以先证明平面，得到三棱锥的体积为定值来判断正误，③通过，得到进而可以判断正误，④可用余弦定理来求得其范围．
本题考查了棱柱，棱柱的结构特征，命题真假的判断，属于中档题．
 

17.【答案】解：由正弦定理知，，
，代入上式得，
，
，
，
，

若选①：由BD平分得，，
，即
在中，由余弦定理得，
又，
，联立
得，解得舍去，

若选②：由题意可得，
两边平方可得，
可得，
可得，
在中，由余弦定理得，即，
联立
可得，
 

【解析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可求，结合范围，可求B的值．
若选①：利用角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可求，利用余弦定理可得，联立方程解得ac的值，利用三角形的面积公式即可求解；
若选②：由三角形中线的性质可得，两边平方化简可求，在中，由余弦定理得，联立方程可得，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，角平分线的性质，三角形的面积公式，余弦定理，三角形中线的性质在解三角形中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：为直径，点D在圆上且不同于A，C点，
，又为母线，
平面ABCD，又平面ABCD，
从而，又，
平面PDC，又平面PDC，
，圆柱的底面直径为2，即，，
又B为的中点，，即四边形ABCD为正方形．
设点Q到平面ABCD的距离为d，，，，，
易求，，
，
，
 

【解析】由AC为直径，得，由PD为母线，得，从而平面PDC，由此能证明
求出，，四边形ABCD为正方形，设点Q到平面ABCD的距离为d，由，求出，由，能求出多面体PQACD的体积．
本题考查线线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：根据题意计算平均值为天
由题设知：潜伏期天数在的频率为，潜伏期天数在的频率为，
所以200人中潜伏期在上有140人，在上有60人，列联表如下：

由表中数据，计算，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为潜伏期与患者年龄有关． 

【解析】根据题意计算平均值即可．
根据题意填写列联表，计算观测值，对照附表得出结论．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：由题意知，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
在上单调递减，在上单调递增．
，，
恒成立，
令，则；
由知，在上单调递增，且，，
，使，
即，，
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
，
，，且， 

【解析】由题意知，利用导数的运算法则可得，即可得出函数在上单调性质．
由，可得恒成立，令，利用导数研究其单调性，进而得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

21.【答案】解：设右焦点，，
由题知求得，，，
所以椭圆C的标准方程为
方法一：设：，：，
联立直线与椭圆C的方程得
消去y得，，
由根与系数的关系知，则，
代入直线的方程得，所以，
同理得
①当直线MN的斜率存在时，设直线：，
将点M，N的坐标代入直线，得
易知，为方程的两个根，由根与系数的关系知，
由题知，所以，得，
所以直线，所以直线MN过定点
②当直线MN的斜率不存在时，，
即，所以，且
不妨设，，所以，
即直线，满足过定点综上，直线MN过定点
方法二：设：，：，联立直线与椭圆C的方程
消去y得，
由根与系数的关系知，，，
代入直线的方程得，
所以，同理的
①当直线MN的斜率存在时，即，，
上式结合化简，
直线，
由椭圆的对称性可知，若定点存在，则必在x轴上，所以令，
得，
所以直线MN过定点
②当直线MN的斜率不存在时，，
即，所以，
不妨设，，所以，
即直线，满足过定点
综上，直线MN过定点 

【解析】设右焦点，，利用离心率以及三角形的面积的最大值，列出方程组，求解a，b，得到椭圆方程．
方法一：设：，：，联立直线与椭圆方程，求出MN的坐标，①当直线MN的斜率存在时，设直线：，将点M，N的坐标代入直线，利用，求出，得到直线MN的方程，取得定点坐标．②当直线MN的斜率不存在时，验证即可．
方法二：设：，：，联立直线与椭圆C的方程利用韦达定理求解M、N的坐标，①当直线MN的斜率存在时，求出MN的方程，通过直线系求解定点坐标．②当直线MN的斜率不存在时，验证即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：消去参数可得曲线的普通方程为：，
的极坐标方程即：，
转化为直角坐标方程即：
由题意设点P的坐标为，曲线是直线，
则的最小值即点P到的距离的最小值，距离函数为：
，
当且仅当时，距离有最小值，最小值为，
此时点P的坐标为 

【解析】由题意消去参数即可求得的普通方程，利用极坐标与直角坐标的关系可得曲线的直角坐标方程；
结合的结论得到距离函数，然后结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果．
本题考查直角坐标方程与极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
 

23.【答案】解：当时，函数，
①当时，由，得，；
②当时，由，得，；
③当时，由，得，
综上，不等式的解集为
证明：，
当时，取到最小值，
，即
，，，
，
当且仅当时等号成立．
即成立． 

【解析】去绝对值，写出分段函数解析式，即可求得不等式的解集；
利用绝对值的三角不等式求得的最小值，结合“1”的代换，再由基本不等式证明结论．
本题考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式的应用，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．