2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一下学期第三次学情分析考试数学试题（含答案解析）

2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一下学期第三次学情分析考试数学试题

1.  已知集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  命题“存在，使得”的否定是(    )

A. 对任意，都有 B. 不存在，使得
C. 存在，使得 D. 对任意，都有

3.  设，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知是方程的一个根，则(    )

A.  B. 3 C. 6 D. 2

5.  若函数的定义域为，值域为，则的最大值和最小值之和等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设a是函数的零点，若，则的值满足(    )

A.  B.  C.  D. 以上都有可能

7.  在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B为锐角，若，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在三棱锥中，平面ABC，，，，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列判断错误的是(    )

A.
B. 是不等式成立的充分不必要条件
C. 是定义域上的减函数
D. 函数过定点

10.  设P是所在平面内的一点，，则(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知的最小正周期为，则下列说法正确的有(    )

A. 函数在上的值域为
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 直线是函数图象一条对称轴
D. 函数在上为增函数

12.  已知四边形ABCD是边长为1的正方形，将其沿着对角线AC折成四面体，则(    )

A.
B. 四面体的外接球的表面积为
C. 四面体体积的最大值为
D.  直线AD与直线BC不可能垂直

13.  已知数据的标准差为5，则数据的标准差为__________.

14.  已知x、是正实数，的三边长为，点P是边与点A，B不重合上任一点，且若不等式恒成立，则实数m的取值范围是__________.

15.  如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.若圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于__________.

16.  如图，有一壁画，最高点A处离地面12米，最低点B处离地面7米．若从离地面4米的C处观赏它，若要使视角最大，则离墙的距离为__________.

17.  已知：复数与在复平面上所对应的点关于y轴对称，且为虚数单位，
求的值；
若的虚部大于零，且，求m，n的值．

18.  2020年1月我国出现了新冠肺炎疫情，为了阻断传播途径，有效控制疫情的蔓延，全国各地都实行了居家隔离.某城市为了保障居家隔离期间对居民的供水，随机抽取了2019年12月份200户居民的用水量与2020年1月份的用水量进行对比，以便更好地确定下一步供水工作的工作计划.经过整理得到抽取的2019年12月份200户居民用水量单位：立方米的频率分布直方图如图所示.

求抽取的200户居民用水量在范围内的居民户数；

根据频率分布直方图的数据估计全市万户居民中有多少万户用水量在范围内；

为了进一步了解用水量在范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访.

各个范围各应抽取多少户？

若从抽取的6户中随机抽取3户进行入户调查，求3户分别来自3个不同范围的概率.

19.  在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答；
在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知_____，，且的面积，求的周长.

20.  如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是矩形，，平面平面ABCD，二面角的大小为

求证：平面ABCD；

求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．

21.  已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数.

求a的值；

当时，恒成立，求实数m的取值范围；

若关于x的方程在上有解，求k的取值范围.

22.  如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD和BC上的动点，且

若E，F分别是CD，BC的中点，求；

若E，F分别是CD，BC的中点，N是线段EF上的任意一点，求的最大值；

若，求的最小值.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查交集运算，属于基础题.
先化简集合A，再利用交集的运算求解.

【解答】

解：集合，

故选

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查存在量词命题的否定，属于基础题.
利用存在量词命题的否定可得出结论.

【解答】

解：命题“存在，使得”的否定为“对任意，都有”.

故选

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角正弦公式和利用同角三角函数基本关系化简，属于中档题.
利用二倍角正弦公式和同角三角函数基本关系，结合x的取值范围即可化简

【解答】

解：

，
，，

故选：

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查复数集内解方程，属于基础题.
由题意，将代入方程，化简整理得，可求得m、n的值，即可得答案.

【解答】

解：是方程的一个根，

，即，

，解得，

故选

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查正弦函数的值域，属于中档题.
由题意结合三角函数的图象，求得的最大值和的最小值，可得结论．

【解答】

解：由于函数的最大值为2，最小值为，

而函数的定义域为，值域为，

不妨假设在区间内，如图所示：

当最大时，，，此时；

当最小时，，，此时

故的最大值和最小值之和等于

故选

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数零点的应用，利用函数的单调性是解决本题的关键．
根据，且，结合函数的单调性，即可判断的符号．

【解答】

解：是函数的零点，
，且，
函数在上单调递增，且，
，
即，
故选：

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，三角恒等变换，由基本不等式求最值，属于中档题．
由正弦定理和三角恒等变换求出，再用表示，从而求得的最小值．

【解答】

解：在中，，由正弦定理得

又，

，

整理得，

即，且，

则，

，

当且仅当，即时取等号，

的最小值为

故选

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查外接球的表面积，属于较难题.
由平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角的最大时，PQ最小，也即AQ最小，得到，由此可求得AQ，从而得，得BC的长，然后取外心，作，取H为PA的中点，使得，则易得，求出OP的长即为外接球的半径，从而可得面积．

【解答】

解：在三棱锥中，平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为，

如图所示：

平面ABC，平面ABC，
，
则，且的最大值是，

，
的最小值是，即A到BC的距离为

，

在中，可得，
，
又，

，可得；

取的外接圆圆心为，作，

取H为PA的中点，使得，则易得，

由，解得，
，

，，

由勾股定理得，

三棱锥的外接球的表面积是

故选

9.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合的关系，充分、必要、充要条件的判断，判断函数的单调性，指数函数图象过定点问题，属于中档题.
利用元素与集合的关系可判断A选项；解不等式，利用集合的包含关系可判断B选项；根据反比例函数的单调性可判断C选项；由指数函数的性质可判断D选项.

【解答】

解：对于A选项，，故A错误；
对于B选项，解不等式可得或，
或，
是不等式成立的充分不必要条件，故B正确；
对于C选项，函数在定义域上不单调，故C错误；
对于D选项，令，可得，此时，
函数过定点，故D正确.
故选

10.【答案】CD 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的线性运算，考查了转化划归，数学运算能力，属于基础题.
将转化为，移项运算即可得解.

【解答】

解：由题意：，

则，

即，

，

故选

11.【答案】CD 

【解析】

【分析】

本题考查正弦型函数的周期性、值域、对称中心、对称轴以及函数的单调性，属于中档题.
先根据三角恒等变换结合周期为得，然后由三角函数的图象和性质逐一判断四个选项即可.

【解答】

解：，
最小正周期，解得，
则

对于A：当时，，，
则，故A错误；

对于B：，
是图象的一个对称中心，故B错误；

对于C：，
直线是图象的一条对称轴，故C正确；

对于D：令，当时，，
在上单调递增，
函数在上为增函数，故D正确.

故选

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查了空间中线、面的位置关系，线线、线面的垂直问题，四面体的外接球问题，四面体体积的计算，属于中档题.
画出折叠前后的图象，对A，可证面OBD，再得；对B，可由，得到外接球的半径，即可得到外接球的表面积；对C，当面ABC时，四面体的体积最大；对D，可假设，得到结果与之矛盾，则直线AD与直线BC不可能垂直.

【解答】

解：画出折叠前后的图象，如图所示：
 

对A，题意可知，
，面OBD，面OBD，
面OBD，
面OBD，
，故A正确；

对B，由题意知，则，
则四面体的外接球的半径，

表面积为，故B正确；

对C，当面ABC时，四面体的体积最大，最大为，故C错误；

对D，假设，又，且，面ABD，面ABD，则面ABD，又面ABD，，
而，又，面ABC，面ABC，
面ABC，又，，则，
由题知，则，这不可能，故D正确.

故选

13.【答案】15 

【解析】

【分析】

本题考查标准差，属于基础题.
由数据标准差可得方差，根据方差的性质可得新数据的方差，由此得到新数据的标准差.

【解答】

解：数据的标准差为5，则其方差为25，

的方差为，则其标准差为

故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量在平面几何中的应用，利用基本不等式解决恒成立问题，属于较难题.
建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得到x、y的关系式，再由题给条件得到关于m的不等式，利用基本不等式即可得到实数m的取值范围.

【解答】

解：，即，

以C为原点分别以CB、CA为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示：

，，

则，

则，

又点P在直线AB：上，

则有，即，

由恒成立，

可得恒成立，

由，可得，

则，
当且仅当，即时等号成立.

又，，则，

则，则，

则，

则实数m的取值范围是

故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥，圆柱的侧面积的公式，组合体的表面积的理解，属于基础题.
先求得挖去的圆锥的母线长，从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积.

【解答】

解：由题意可得，挖去的圆锥的母线长为，
则圆锥的侧面积为

圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为，

所以组合体的表面积为

故答案为

16.【答案】米 

【解析】

【分析】

本题考查两角差的正切公式，由基本不等式求最值，属于中档题.
利用两角差的正切公式，求得关于视角的正切表达式，即可求得当视角最大时离墙的距离.

【解答】

解：如图，过点C作于D，由题意知米，米.

设，，，则，

在和中，，

则

，
当且仅当，即时等号成立.

又，则当米时，视角最大.

即离墙的距离为米时，视角最大.

故答案为米.

17.【答案】解：设，则，
，，
，解得或，
即或；
的虚部大于零，，则，
则有，
，解得 

【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，属于中档题．
设，则，由题意列方程组求得x，y的值，则答案可求；
求得，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简化简，再由复数相等的条件求解．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图可知，用水量在范围内的居民户数的频率为，

则抽取的200户居民用水量在范围内的居民户数为户

把用水量在范围内的居民户数的样本频率当成总体的频率，

估计全市万户居民中有万户用水量在范围内.

把用水量在范围内的居民数分成三层，各层频率分别为，，，

则用水量在范围内的应抽取户，

用水量在范围内的应抽取户，

用水量在范围内的应抽取户

记“3户分别来自3个不同范围”为事件A，把抽取的用水量在范围内的3户分别记为，，，把抽取的用水量在范围内的2户分别记为，，把抽取的用水量在范围内的1户记为c，

从6户中随机抽取3户的所有等可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，其中3户分别来自3个不同范围的结果有6种，
故3户分别来自3个不同范围的概率

【解析】本题考查频率分布直方图的应用、分层抽样与古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.
由频率分布直方图求得频率，由频率求频数即可；
用样本分布估计总体分布求总体数据；
利用分层抽样即可求解；
利用古典概型的概率公式求解概率即可.
 

19.【答案】解：选择①，即；
所以，由正弦定理得
，
因为，
所以，
因为C为三角形内角，所以
选择②，即；
由三角形面积公式得
，
所以，即，
因为C为三角形内角，所以
选择③，即；
由正弦定理得；
因为，
所以，
所以，
因为C为三角形内角，所以
而，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
所以，
故的周长 

【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
①，结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求C；②，结合余弦定理及面积公式进行化简可求，进而可求C；③，结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求C；然后结合三角形的面积公式可求ab，然后结合余弦定理可求，进而可求.
 

20.【答案】解：四棱锥中，底面四边形ABCD是矩形，则

又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，

平面PAB，
平面PAB，平面PAB，
，，

为二面角的平面角，
 

又，
，即

，，平面ABCD，平面ABCD，
则平面

在底面ABCD内，过点B作于点E，连接

由知，平面ABCD，又平面ABCD，

，，平面PAC，平面PAC，

平面
平面PAC，
，

为直线PB与平面PAC所成的角.

在中，，，
，

在中，，

直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为

【解析】本题考查空间中线面垂直的判定，直线与平面所成的角，属于中档题.
先由题中条件推理得到二面角的平面角为，进而利用线面垂直判定定理去证明平面ABCD即可；

先推理得到直线PB与平面PAC所成的角，再根据线段的数量关系得解.

21.【答案】解：函数的图象关于原点对称，
函数为奇函数，，

即，

整理得到恒成立，
解得或
当时，，不符合题意，
经检验当时，满足题意，
故a的值为

，

当时，，

，
故m的取值范围为

由知，，即，
即，即在上有解，

令，则在上单调递减，则的值域为，

【解析】本题考查奇函数的定义，考查了与对数函数有关的函数的最值或值域的求法，属于中档题.
利用奇函数的定义可求a的值；
先计算出，再求出它在上的最大值后可求m的取值范围.
根据可得，令，求出该函数在的值域后可求k的取值范围.
 

22.【答案】解：以点A为原点建立平面直角坐标系，如图所示：

则，，，，
由E，F分别是CD，BC的中点，
，
，，

由知，设，
则，

，，
，
，

当时，取得最大值为

设，由，则，

，

当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值是

【解析】本题考查向量数量积的坐标运算，三角恒等变换的综合应用，考查正弦型函数的最值，属于较难题.
构建平面直角坐标系，写出对应点的坐标，应用向量数量积的坐标运算求即可；
设，由求N关于的坐标，应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求出的最大值；
设，则，可得，再应用辅助角公式、三角恒等变换及正弦函数的性质求出的最小值.