2021-2022学年江苏省徐州市沛县高一（下）第二次学情调研数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年江苏省徐州市沛县高一（下）第二次学情调研数学试卷

1.  斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是(    )

A. 矩形的直观图一定是矩形 B. 等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C. 平行四边形的直观图一定是平行四边形 D. 菱形的直观图一定是菱形

2.  给定空间中的直线l与平面，则“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面上无数条直线”的条件．(    )

A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

3.  以下四个命题：
①梯形一定是平面图形；
②等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥；
③棱锥的侧棱一定相等；
④如果平面外有两点A，B，它们到平面的距离都是a，则直线平面
其中正确命题的个数是(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4.  已知向量，，且，则实数(    )

A. 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1

5.  设为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

6.  对24小时内降水在平地上积水厚度进行如下定义．

小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(    )

A. 小雨
B. 中雨
C. 大雨
D. 暴雨

7.  江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，则炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距米．(    )

A.
B.
C.
D. 30

8.  如图①所示，在平面四边形ABCD中，，，，现将沿AC折起，并连接BD，如图②，只当三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知复数z满足是虚数单位，则下列关于复数z的结论正确的是(    )

A.  B. 复数z的共轭复数为
C. 复平面内表示复数z的点位于第三象限 D. 复数z是方程的一个根

10.  如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是(    )

A.
B. 平面PBC
C. 平面平面PBC
D. 平面平面PBC

11.  已知A，B，C三点均在球O的表面上，，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(    )

A. 球O的半径为
B. 球O的表面积为
C. 球O的内接正方体的棱长为
D. 球O的外切正方体的棱长为

12.  如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点不含端点，则下列结论正确的是(    )

A. 平面平面 B.
C. 的取值范围是 D. 三棱锥的体积为定值

13.  已知，则______.

14.  棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积为______.

15.  已知直线l不在平面，内，给出下列三个论断：
①；②；③
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.

16.  已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，平面CEF截正方体所得的截面为多边形，则此多边形的边数为__________，截面多边形的周长为__________.
 

17.  已知，，
求的值；
求向量与夹角的余弦值．

18.  如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点，将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．
求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；
求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

19.  如图，在长方体中，点E为的中点，且，
求证：平面AEC；
求二面角的正切值．

20.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，
当时，求；
当时，求a及

21.  三棱柱中，侧面底面ABC，，，，，E是棱AC上的一点，过，，E的平面与BC相交于
求证：；
若E是AC的中点，求证：平面平面；
求证：AC与平面不垂直．

22.  如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，M为棱AC的中点．，，

求证：B1平面A1BM；
求证：AC1平面A1BM；
在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：对于A，矩形的直观图可以是平行四边形，不一定是矩形，故A错误；
对于B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，
等腰三角形的直观图不一定为等腰三角形，故B错误；
对于C，根据斜二测法的规则得到直观图的平行性不变，
平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确；
对于D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，
菱形的直观图不一定是菱形，故D错误．
故选：
根据斜二测画法的规则可判断各个选项．
本题考查命题真假的判断，考查斜二测画法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：若：直线l与平面垂直”，则“直线l垂直于平面上无数条直线”，是充分条件；
若直线l垂直于平面上无数条直线，则直线l与平面不一定垂直，不是必要条件，
故选：
根据充分必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查线面垂直的定义，是一道基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：对于①：梯形有一组对边平行，而平行线能确定一个平面，梯形一定是平面图形，故①正确；
对于②：等腰直角三角形绕其一直角边旋转一周所得的几何体是圆锥，绕其斜边旋转一周所得的几何体是两个圆锥的组合体，故②错误；
对于③：棱锥的侧棱不一定相等，故③错误；
对于④：两点A，B在平面同侧时正确，在异侧时，显然相交如图所示，故④错误，

故选：
利用平面的有关知识逐项判断即可．
本题考查平面图形的判断，空间几何体的判断，线面平行的判断，属中档题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：因为，，且，
所以，
解得或
故选：
根据平面向量共线定理的坐标表示，列方程求出t的值．
本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理应用问题，是基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：若，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；
若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故B正确；
若，，则或，故C错误；
若，，则，或，或b与相交，故D错误．
故选：
利用空间线线、线面、面面间的关系求解．
本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
 

6.【答案】B 

【解析】解：设圆锥形容器中积水水面半径为r，
则，解得，
所以积水厚度为，
故这一天的雨水属于中雨．
故选：
由圆锥的体积公式求出雨水的体积，再除以圆面的面积，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查数形结合的能力，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为，
设A处观测小船D的俯角为，连接BC、BD
中，，可得米
中，，可得米
在中，米，米，，
由余弦定理可得：
，
米负值舍去
故选：
利用直线与平面所以及俯角的定义，化为两个特殊直角三角形的计算，再在底面中用余弦定理即可求出两船距离．
本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键
 

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属于中档题．
沿AC边折起，当平面平面ABC时，三棱锥的高最大，此时体积最大，然后求出外接球的半径，即可求解外接球的体积．

【解答】

解：由题意，当平面平面ABC时，三棱锥的高最大，此时体积最大，
，，
的高为，D的投影在AC的中点，
平面平面ABC，
三棱锥的高为，，，，
又，，
平面ABC外接圆半径，
设球心O到圆心的距离为d，
可得，①
，②
联立①②解得
外接球的体积
故选：

9.【答案】ABD 

【解析】解：由，得
，故A正确；
，故B正确；
平面内表示复数z的点的坐标为，位于第二象限，故C错误；
，
复数z是方程的一个根，故D正确．
故选：
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

10.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查了线面垂直的判定、线面垂直的性质和面面垂直的判定，考查学生的推理能力，属于中档题.
利用反证法证明BC错误；利用线面垂直的性质和面面垂直的判定证明AD正确.

【解答】

解：由题意，，若平面PBC，
可得，与矛盾，故B错误；
，又底面ABC，底面ABC，
，
又，AC，PA都在平面PAC内，
则平面PAC，
又平面PAC，平面PBC，
则，且平面平面PBC，故A、D正确；
若平面平面PBC，又平面平面，
则平面PBC，可得，与矛盾，故C错误；
故选

11.【答案】BD 

【解析】解：设球的半径为 r，外接圆半径为，
因为球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半径的，
所以，得
对于A，，故A错误；
对于B，球的表面积，故B正确；
对于C，设球O的内接正方体的棱长为 a，
因为正方体的体对角线即球O的直径，
则，解得，故C错误；
对于D，设球O的外切正方体的棱长为 b，
因为正方体的棱长即球O的直径长，
则，故D正确．
故选：
先通过题意求出球O的半径，即可判断AB选项，再结合球的内接正方体与球的外切正方体之间棱长与半径之间的关系，即可判断CD选项．
本题考查球的内接正方体与球的外切正方体之间棱长与半径之间的关系，球的表面积公式，着重考查学生的直观想象能力与计算能力，属于中档题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：对于A，因为几何体是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，故A正确；
对于B，在正方体中，对角面，对角面，所以，故B正确；
对于C，当点P为线段的一个四等分点且靠近点B时，
计算可得，
由余弦定理可得，
此时，故C错误；
对于D，因为的面积是定值，
点P到平面的距离是定值，
所以三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：
利用平面与平面垂直判断A；直线与平面的位置关系判断B；当点P为线段的一个四等分点且靠近点B时，由余弦定理可得，从而判断C；求出三棱锥的体积判
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以






故答案为：
先用两角和的余弦值公式展开，再利用二倍角公式和弦化切公式化为正切函数，再求值．
本题考查了三角函数求值问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意，棱台的上底面面积，
下底面面积为，高为，
由公式可知棱台的体积是：

故答案为：
依题意直接利用台体体积的计算公式即可求出棱台的体积．
本题考查棱台体积的求法，考查棱台的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】若，，则或若，，则 

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题．
由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系可知，在直线l不在平面，内的前提下，由①②可得③；由①③可得②．

【解答】

解：②③①：若，，则或或l与相交，不合题意；
①②③：若，，则存在直线，得，则，
即正确的命题是：若，，则；
①③②：若，，则或，又由题意直线l不在平面，内，只能有，
即正确的命题是：若，，则
故答案为：若，，则或若，，则

16.【答案】五

【解析】

【分析】

本题考查了正方体中截面图形的应用问题，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．
延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH，得到正方体被平面CEF截得的截面为五边形，计算截面五边形的周长即可求解．

【解答】

解：因为正方体的棱长为6，
延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG，
因为E，F分别是，的中点，
所以，则，，，，
延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH，
所以，，，
则平面CEF被整体截得的截面为面CHEFG，
故平面CEF被正方体截得的截面的周长为：

故答案为五；
 

17.【答案】解：由，
则，
又，
则，
即；
由，，，
则，
又，
设向量与的夹角为，
则 

【解析】由平面向量数量积运算，结合平面向量模的运算求解即可；
由平面向量数量积运算，结合平面向量模的运算及向量夹角余弦值的求法求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量模的运算及向量夹角余弦值的求法，属基础题．
 

18.【答案】解：连接OM，则，

设，，
在中，，
；
，，，，
旋转体的体积 

【解析】连接OM，则，设，，求解直角三角形得r，代入球的表面积公式得答案；
由已知求得AC，再由圆锥的体积减去球的体积得答案．
本题考查旋转体的表面积与体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】证明：连接BD，设，连接
在长方体中，则F为BD的中点，
在中，E为的中点，
，
又平面AEC，平面AEC，
平面
解：，，，
，得
为AC的中点，
又，底面ABCD为正方形，得
为二面角的平面角．
在中，，，

二面角的正切值为 

【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间角的求法，属于中档题．
连接BD，设，连接EF，可得，再由直线与平面平行的判定可得平面
由已知证明，得，可得再由已知可得，得为二面角的平面角，求解三角形可得二面角的正切值．
 

20.【答案】解：由正弦定理可得：，即，
；
，，，
由余弦定理可得，，
则
 

【解析】由已知结合正弦定理可得；
由已知利用余弦定理求解a值，进一步利用余弦定理可得
本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】证明：是三棱柱，平面平面ABC，
平面平面，平面平面，

连，，，是等边三角形，

，E是AC的中点，，
又侧面底面ABC，底面ABC，，中，
，，
是直角三角形，，
，，，，
平面，平面平面
假设平面，则，，
是等边三角形，是AC的中点，，
与矛盾，假设不成立，
与平面不垂直． 

【解析】由是三棱柱，得平面平面ABC，由此能证明
推导出是等边三角形，，，，由，，得，从而得到平面，由此能证明平面平面
假设平面，则，，推导出，与矛盾，由此能证明AC与平面不垂直．
本题考查了面面平行的性质，面面垂直的判定和性质，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：连结交于O，连结
在中，因为M，O分别为AC，中点，
所以
又因为平面，平面，
所以平面…分
因为侧棱底面ABC，平面ABC，
所以
又因为M为棱AC中点，，所以
因为，所以平面
所以
因为M为棱AC中点，，所以
又因为，所以在和中，
所以，即
所以
因为，
所以平面…分
当点N为中点时，即，平面平面
设中点为D，连结DM，
因为D，M分别为，AC中点，
所以，且
又因为N为中点，
所以，且，
所以四边形DMBN是平行四边形，
所以，
因为平面，
所以平面
又因为平面，所以平面平面…分 

【解析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．
连结交于O，连结OM，可证，又平面，平面，即可证明平面
易证，又可证，由，，，可求，从而可证，从而证明平面
当点N为中点时，可证平面平面，设中点为D，连结DM，DN，可证，由平面，可证平面，即可证明平面平面