2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一下学期期初检测数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一下学期期初检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则 （       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集的定义计算．

【详解】由已知．

故选：A．

2．函数的定义域是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由真数大于0，解不等式可得.

【详解】由，解得或.

故选：C

3．化简的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式、两角和的余弦公式（或两角差的正弦公式）即可求出答案．

【详解】解：（方法一），

（方法二），

故选：C．

【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，考查两角差的正弦公式的应用，属于基础题．

4．已知，，，则的大小关系为（       ）

A． B．  C． D．

【答案】D

【分析】利用对数函数的单调性比较.

【详解】因为，，，

所以，

故选：D

5．若函数在上最小值为，则（       ）

A．1或2 B．1 C．1或 D．

【答案】B

【分析】先求出二次函数的对称轴，然后讨论对称轴与区间的关系，求出其最小值，列方程可求出的值

【详解】函数图象的对称轴为，图象开口向上，

（1）当时，函数在上单调递增．则，由，得，不符合；

（2）当时．则，由，得或，，符合；

（3）当时，函数在上单调递减，

，由，得，

，不符合，

综上可得．

故选：B

【点睛】考查二次函数的动轴定区间问题，考查分类讨论思想，属于基础题

6．设定义在上的奇函数满足，则的解集为（       ）

A． B．

C． D．(-4，4)

【答案】B

【分析】由奇函数的定义求得时的函数解析式，然后分类讨论解不等式．

【详解】即时，，，即，

时，，

因此时，，，所以，

综上，不等式的解为或．

故选：B．

7．已知函数的图象与函数的图象没有公共点，则实数m的值可以为（       ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据题意可将原式转化为无解，求函数的值域为，即可得到答案。

【详解】函数的图象与函数的图象没有公共点，

无解，

函数的值域为，

，或，

故选：D．

8．已知函数若存在互不相等的实数a，b，c，d满足|=|，则的取值范围为（       ）

A．(0,+) B．(-2,+ C． D．

【答案】D

【解析】画出函数图象，根据图象结合对称性知，，，根据双勾函数性质得到范围.

【详解】，则，画出函数图像，如图所示：

，则，

不妨取，根据对称性知，，即，

，，故，故.

故选：D.

【点睛】方法点睛：数形结合是解决函数问题的重要方法，画出图象根据图象性质结合对称性和双勾函数的性质是解题的关键.

二、多选题

9．已知角，满足，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由诱导公式判断．

【详解】因为，所以，，

，，．

BC错，AD正确．

故选：AD．

10．函数的零点所在区间可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】函数的零点所在区间等价于函数与图象交点横坐标所在的区间，数形结合即可求解.

【详解】令可得，

所以函数的零点所在区间等价于函数与图象交点横坐标所在的区间，

作出与图象如图：

由图知函数与图象三个交点横坐标分别位于区间、、

，

所以函数的零点所在区间可能为、、，

故选：ABC

【点睛】方法点睛：求函数零点的方法

（1）直接法：令，直接解方程即可求零点；

（2）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的横坐标就是函数的零点或将函数拆成两个函数，和的形式，根据等价于

则函数的零点就是函数和的图象交点横坐标；

11．已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．若的最小正周期是，则

B．当时，的对称中心的坐标为

C．当时，

D．若在区间上单调递增，则

【答案】AD

【解析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确；

对于B选项，当时，，所以令，解得：，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项错误；

对于C选项，当时，，，，由于在单调递增，故，故C选项错误；

对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确.

故选：AD

【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得，再结合和得，进而得答案.

12．已知函数，，，在上单调递增，则的取值可以是（       ）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】AC

【分析】根据，可确定，即可确定的取值情况，然后结合在上单调递增，进行验证即可确定答案.

【详解】函数，,

则①,

又 ，则是函数的一个对称中心，

故②,

两式相减得： ，

在上单调递增， 则 ,则 ，

故的取值在1,3,5,7,9,11之中；

当时， ，，故 ，

此时若，在单调递增，符合题意；

当时， ，，不符合题意；

当时， ，，故 ，

此时，因为，则 ，

若，在单调递增，符合题意；

当时， ，，故 ，

此时，，

故在上不单调，不符合题意；

故选：AC

三、填空题

13．以下有关命题的说法错误的命题的序号是_______．

①若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则¬p：某班至少有一个男生爱踢足球；

②已知a，b是实数，那么“”是的必要不充分条件；

③若则；

④幂函数在时为减函数，则.

【答案】①③

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可判断①；根据充分条件、必要条件的定义判断②，利用特殊值判断③，根据幂函数的性质判断④；

【详解】解：对于①，命题p：某班所有男生都爱踢足球，则¬p：某班存在一个男生不爱踢足球，故①错误；

对于②，由，则，所以由推不出，由可以推出，所以是的必要不充分条件，故②正确；

对于③，由得不到，如，则，故③错误；

对于④，因为为幂函数，所以，解得或，

又函数在时为减函数，所以，解得，所以，故④正确；

故答案为：①③

14．若正数a，b满足，则的最小值为_______．

【答案】3

【分析】直接利用基本不等式计算可得；

【详解】解：因为，且，所以，当且仅当，即、时取等号；

故答案为：

15．设函数则满足不等式的x的取值范围是 _____.

【答案】

【分析】根据函数的单调性，然后分类讨论求解．

【详解】易知是增函数，是增函数，又，

所以在定义域内是增函数，

当时，，，所以，

当时，，，，所以成立，

综上，不等式的解集是．

故答案为：．

16．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得，则=_______．

【答案】

【分析】根据三角函数图象的平移变换求得g(x)，然后考察最值点可得.

【详解】由题知

所以

所以

则Z， Z，

即Z， Z，

所以

当时，.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数（且）的图象经过点．

(1)求a，并比较与的大小；

(2)求函数的值域．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据函数过点代入求出，即可得到函数解析式，即可判断函数的单调性，再利用作差法比较与的大小，即可判断；

（2）首先求出内函数的值域，再根据指数函数的性质计算可得；

【详解】(1)解：由已知得：，解得，所以，

因为在R上单调递减，，

所以；

(2)解：因为，

所以，故的值域是；

18．在①将函数f(x)图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称：②函数是奇函数；③当时，函数取得最大值.三个中任选一个，补充在题干中的横线处，然后解答问题.

题干：已知函数，其中，其图象相邻的对称中心之间的距离为，___________.

（1）求函数y=f(x)的解析式；

（2）求函数y=f(x)在上的最小值，并写出取得最小值时x的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）时，函数f(x)取得最小值，最小值为.

【分析】（1）由相邻中心距离得周期，从而可得，

选择①，写出平移后解析式，由对称性得新函数为偶函数，结合诱导公式求得，

选择②，求出，由函数为奇函数，结合诱导公式求得，

选择③，求出，代入，结合正弦函数最大值可得，

从而得函数解析式；

（2）由，求得的范围，然后由正弦函数性质得最小值．

【详解】（1）因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象相邻的对称中心之间的距离为，

所以周期，即T=π，所以.

若选择①，

因为函数f(x)图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称，

所以的图象关于y轴对称，所以，，

因为，所以.所以函数y=f(x)的解析式为.

若选择②，

因为是奇函数，

所以，，因为，所以.所以函数y=f(x)的解析式为.

若选择③，

，

由题设，当时，函数取得最大值，

所以当，即，

因为，所以.所以函数y=f(x)的解析式为.

（2）因为，，所以，

所以当，即时，函数f(x)取得最小值，最小值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查由三角函数的图象与性质求解析式，解题关键是掌握正弦函数的图象与性质，解题时注意“五点法”和整体思想的应用．对于奇偶性问题注意诱导公式的应用，由此计算比较方便．

19．已知函数

(1)在所给的直角坐标系内画出的图象并写出的单调区间；

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为，单调递减区间为；

(2).

【分析】（1）根据解析式得到函数图象的坐标列表，在坐标系中描点画出函数图象，结合图象确定单调区间即可.

（2）求对应自变量值，再结合图象求不等式的解集.

【详解】(1)由解析式知：

的图象如下图所示：

由图象知，的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)令，解得或，

结合图象知:的解集为．

20．已知函数的最小值为，且.

（1）求实数a的值；

（2）求函数的最大值，并求此时x的取值集合.

【答案】（1）；（2）最大值5，.

【解析】（1）先将代入化简可得，再令，，，讨论二次函数对称轴与区间的关系即可求得最小值，令即可求解；

（2）由（1）可得，利用二次函数的性质可得时取得最大值，进而可求得此时x的取值集合.

【详解】（1）由题意得：，

令，则.

所以，，

①当时，即；在单调递增，

，所以不成立；

②当，即；

，

整理可得：，

解得：或（舍去）；

③当时，即，在单调递减，

，解得：，

不满足，不成立，

综上所述：.

（2）当时，，

因为，所以当，即，时，.

综上，当的取值集合为时，函数y的最大值为5．

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将表述为关于的函数，再换元令，得到关于的二次函数，讨论对称轴和区间的关系求出.

21．设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“弱不动点”，也称在区间上存在“弱不动点”．设函数，．

(1)若，求函数的“弱不动点”；

(2)若函数在上不存在“弱不动点”，求实数的取值范围．

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）解方程可得；

（2）由方程在上无解，转化为求函数的取值范围，利用换元法求解取值范围，同时注意对数的真数大于0对参数范围有限制，从而可得结论．

【详解】(1)当时，，

由题意得，                                             

即，即，得，即，

所以函数的“弱不动点”为0．

(2)由已知在上无解，        

即在上无解，

令，得在上无解，

即在上无解．

记，则在上单调递减，故，

所以，或．                                                              

又在上恒成立，                                        

故在上恒成立，即在上恒成立，

记，则在上单调递减，故，

所以，            

综上，实数的取值范围是．

22．已知函数．

(1)若，，求的对称中心；

(2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值；

(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)或;

(2);

(3).

【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心；（2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值；（3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围．

【详解】(1)∵的最小正周期为，

又∵，，∴的最小正周期是，

故，解得，

当时，，由，的对称中心为；

当时，，由，的对称中心为；

综上所述，的对称中心为或.

(2)∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，

∴.

又∵是的一个零点，

，即，

∴或，

解得或，

由可得

∴，最小正周期.

令，则

即或，解得或，；

若函数在（且）上恰好有10个零点，故

要使最小，须、恰好为的零点，故.

(3)由（2）知，对任意，存在，使得成立，则，

当时，，

当时，，

由可得，解得，

故实数的取值范围为.

【点睛】本题第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集．