数学1.1 空间向量及其运算综合训练题

1.1  空间向量及其运算（精讲）

考点一 概念辨析

【例1】（2021·全国高二课时练习）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ）

A．若向量，平行，则，所在直线平行

B．若，则，的长度相等而方向相同或相反

C．若向量，满足，则

D．相等向量其方向必相同

【一隅三反】

1.（2021·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（    ）

A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C．只有零向量的模等于0

D．共线的单位向量都相等

2．（2021·全国高二课时练习）下列说法：

①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；

②若向量，满足，且与同向，则；

③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；

④的充要条件是A与C重合，B与D重合.

其中错误的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（2021·全国高二专题练习）在下列结论中：

①若向量共线，则向量所在的直线平行；

②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

③若三个向量两两共面，则向量共面；

④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得

．其中正确结论的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

考点二  共线共面问题

【例2-1】（1）（2020·全国高二课时练习）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则k＝________.

（2）（2021·全国高二）在下列条件中，使与，，一定共面的是（    ）

A． B．

C． D．

【例2-2】（2021·福建）如图，已知为空间的9个点，且， ，求证：

（1）四点共面，四点共面；

（2）；

（3）.

【一隅三反】

1．（2021·云南）已知为空间任意一点，若，则四点（    ）

A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断

2．（2021·河北）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F在对角线A1C上，且，求证：E，F，B三点共线.

3．（2021·河南）已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点是否在平面内.

考点三  空间向量的线性运算

【例3】（2021·山东）如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：

（1）；                       

（2）；

（3）；                   

（4）．

【一隅三反】

1．（2021·天津）已知M，G分别是空间四边形ABCD的两边BC，CD的中点，化简下列各式：

（1）；

（2）；

（3）．

2．（2021·广东）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，

请化简：（1）＋＋；

（2）＋＋．

3．（2021·全国高二课时练习）如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形.

4．（2021·广东潮州）如图，在长方体中，E、F分别为棱、AB的中点．

（1）写出与向量相等的向量；

（2）写出与向量相反的向量；

（3）写出与向量平行的向量．

考点四 数量积

【例4】（2021·广东湛江）如图，在平行六面体中，，，，，．求：

（1）；    （2）的长；    （3）的长．

【一隅三反】

1．（2021·宁夏银川市）如图，平行六面体，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为（    ）

A．1 B． C． D．3

2．（2021·宁夏）如图所示，在平行六面体中，AB＝AD＝A＝1，∠AD＝∠AB＝∠BAD＝60°，求：

（1）A的长；

（2）B的长.

3．（2021·云南）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．

4．（2021·全国高二课时练习）如图所示，在空间四边形中，两两成角，且，为的中点，为的中点，试求间的距离．