高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用课后复习题

【特供】2.3 三角函数的叠加及其应用-2随堂练习

一．填空题

1．若为锐角，，则__________．

2．已知，，则______.

3．已知，则_______.

4．已知,则__________.

5．在中，若，则的最大值为________.

6．已知，若，则_______.

7．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝，则tan α的最大值是________．

8．若，，则_________

9．若，，则_________.

10．如图，将三个相同的正方形并列，则______.

11．已知，则____________．

12．已知函数，.若函数在区间，内恰有5个零点，则的取值范围为_________．

13．在中,已知,给出以下四个论断:

①,②,③,④,其中正确的是__________.

14．在锐角三角形ABC中，，则的值为_________.

15．已知，，则________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】因为为锐角，，所以，

.

2．【答案】

【解析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用二倍角的正切公式，求得，再利用两角和的正切公式，求得的值，再结合的范围，求得的值．

【详解】

，…，

，，

，

，

故答案：.

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，二倍角的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．

3．【答案】

【解析】首先化简意在条件，求解，然后代入求值.

【详解】

，

，

，

.

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数的化简求值，意在考查转化与化归的思想，和变形计算能力，属于基础题型.

4．【答案】

【解析】切化弦结合平方关系得，再利用两角差的正切公式求解

【详解】

由得

故答案为：

【点睛】

本题考查切化弦及同角三角函数基本关系，考查两角差的正切公式，意在考查计算能力，是中档题

5．【答案】

【解析】由求出角B，代入化简等式，利用两角和与差的三角函数公式即二倍角公式进一步化简等式可得，由角A的范围求出的最大值即可求得等式得最大值.

【详解】

因为，所以，

又，所以，，则，

，

由知，

当时，取得最大值1，

此时.

故答案为：

【点睛】

本题考查三角恒等变换化简式子，正弦型函数的单调性与最值，属于中档题.

6．【答案】

【解析】先求得的取值范围，由此求得的大小，进而求得.

【详解】

由于，所以，由于，所以，.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

7．【答案】

【解析】由已知得sin α＝cos(α＋β)sin β＝cos αcos βsin β－sin αsin βsin β，两边同除以cos α，并整理得tan α＝＝＝，

∵ α，β均为锐角，∴可以看成是单位圆的下半圆上的动点(cos 2β，－sin 2β)与定点(3，0)连线的斜率，其最大斜率为＝.

8．【答案】

【解析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可.

【详解】

因为,,故

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.

9．【答案】

【解析】直接利用两角和的正切公式计算可得.

【详解】

解：，，

.

故答案为：

【点睛】

本题考查两角和的正切公式的应用，属于基础题.

10．【答案】

【解析】由图可得出和，然后算出即可

【详解】

由图可知，

所以

因为

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查的是两角和的正切公式，较简单.

11．【答案】

【解析】，

则：，

.

12．【答案】，

【解析】令可得，由于，所以，由题意可求且，即可解得的取值范围.

【详解】

因为，

所以令，，解得

，则非负根中较小的有：

因为函数在区间，内恰有5个零点，

所以且，解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查两角和的正弦公式，正弦型函数的零点，属于中档题.

13．【答案】②④

【解析】已知式子变形可得，逐个选项判定即可.

【详解】

解：因为

所以

整理得 .

所以.

①中：因为，所以不一定等于，故①不正确；

②中：因为

又因为 ，所以

所以.故②正确；

③中：，不一定成立，故③不正确；

④中：,,

所以.故④正确.

【点睛】

本题考查两角和与差的三角函数公式，命题的真假的判断，属基础题.

14．【答案】79

【解析】由题意可得，进而可得，而，由两角和与差的正切公式可得．

【详解】

解：∵在锐角三角形中，

，

，

，

，

故答案为：79.

【点睛】

本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．

15．【答案】

【解析】先由，根据二倍角公式，得到，再由两角差的正切公式，即可得出结果.

【详解】

因为，所以且，所以；

又，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正切公式即可，属于常考题型.