高中第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.3 三角函数的叠加及其应用学案设计

2．3　三角函数的叠加及其应用

知识点　

辅助角公式：一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝(sin α＋cos α)，

根据Sα＋β引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ，

所以a sin α＋b cos α＝sin_(α＋φ)(a，b不同时为0).

其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定．

1.对于a sin α＋b cos α，为什么提取后就可以转化为sin (α＋φ)?

提示：a sin α＋b cos α

＝，

令＝cos φ，＝sin φ，

则a sin α＋b cos α＝(sin αcos φ＋cos αsin φ)＝sin (α＋φ).

2．a sin α＋b cos α可以转化为cos (α＋φ)吗？

提示：a sin α＋b cos α

＝，

令＝－sin φ，＝cos φ，

则a sin α＋b cos α＝(cos αcos φ－sin αsin φ)＝cos (α＋φ).

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)在辅助角公式中a cos α＋b sin α＝sin (α＋φ)，tan φ＝.

  (　　)

(2)函数y＝sin x＋a cos x的最大值是1＋a. (　　)

(3)函数y＝sin 2x－cos 2x图象的对称中心是，k∈Z.

  (　　)

[提示]　(1)正确．a cos α＋b sin α＝，令＝sin φ，＝cos φ，则cos α＋sin α＝sin (α＋φ)，所以tan φ＝.

(2)错误．y＝sin x＋a cos x＝sin (x＋φ)，所以函数y＝sin x＋a cos x的最大值是.

(3)正确．y＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，所以函数y＝sin 2x－cos 2x图象的对称中心是.k∈Z.

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√

2.求值：cos 10°＋sin 10°＝________．

2sin 40°　[cos 10°＋sin 10°＝2(cos 10°＋sin 10°)

＝2sin 40°.]

类型1　两角和与差公式的逆用

【例1】　(1)sin －cos ＝________．

(2)已知a＝(，－1)，b＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝a·b，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．

(1)－　[原式＝2.

法一：(化正弦)原式

＝2

＝2

＝2sin ＝2sin ＝－.

法二：(化余弦)原式

＝2

＝－2

＝－2cos ＝－2cos ＝－.]

(2)[解]　f(x)＝sin x－cos x

＝2

＝2＝2sin ，

∴T＝＝2π，值域为[－2，2].

由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得递增区间为，k∈Z.

逆用两角和与差的公式解题方法

逆用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，一般是观察角、函数名、所求(或所化简)问题的整体形式中的差异，利用诱导公式把三角函数式中的角转化为能够应用公式的形式，或利用辅助角公式a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)进行转化．

1．(1)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________．

(2)计算cos ＋sin 的值是(　　)

A．    B．2    C．2    D．

(1)　(2)B　[(1)∵tan 60°＝tan (20°＋40°)＝，

∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)

＝－tan 20°tan 40°，

∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.

(2)cos ＋sin ＝2

＝2

＝2sin ＝2sin ＝2.]

类型2　利用辅助角公式解决三角函数的

图象问题

【例2】　(1)函数f(x)＝sin 2x－cos 2x(　　)

A．关于点对称  B．关于点对称

C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称

(2)将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝g，则实数t的最小值为(　　)

A．    B．    C．    D．

(1)C　(2)B　[(1)由题意得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，因为f＝－1，选项A，D错，f＝2，选项B错误，C正确．

(2)由题意得，f(x)＝sin 2x－cos 2x ＝2sin (2x－)，则g(x)＝2sin ，从而2sin (2x＋2t－)＝2sin ＝－2sin (2x－2t)＝2sin (2x－2t＋π)，又t>0，所以当2t－＝－2t＋π＋2kπ(k∈Z)，即t＝＋(k∈Z)时，实数tmin＝.]

(1)研究三角函数图象的对称性和平移变换时，都要把三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式后解决问题．

(2)对于可化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．

2．设函数f(x)＝cos x－sin x，则下列结论错误的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在单调递减

D　[f(x)＝cos x－sin x＝2cos ，

A项，因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．

B项，因为f(x)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，当k＝3时，直线x＝是其对称轴，B项正确．

C项，f(x＋π)＝2cos ，将x＝代入得到f＝2cos ＝0，所以x＝是f(x＋π)的一个零点，C项正确．

D项，因为f(x)＝2cos 的递减区间为 (k∈Z)，递增区间为 (k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误．]

类型3　利用辅助角公式解决三角函数的性质问题

【例3】　(教材北师版P148例6改编)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；

(2)讨论函数f(x)在上的单调性．

1．逆用两角和的正弦公式可以把cos α＋sin α化简为什么？

[提示]　cos α＋sin α＝sin cos α＋cos sin α＝sin .

2. 逆用两角和的正弦公式可以把cos α＋sin α化简为什么？

[提示]　cos α＋sin α＝2＝2＝2sin .

3．逆用两角和的正弦公式可以把a cos α＋b sin α化简为什么？

[提示]　a cos α＋b sin α＝(cos α＋sin α)，令＝sin φ，＝cos φ，则cos α＋sin α＝sin (α＋φ)，

所以a cos α＋b sin α＝sin (α＋φ).

[解]　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin ，且T＝π，

∴ω＝2，于是f(x)＝sin .

令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).

即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.

将a sin α＋b cos α形式的代数式化为辅助角公式的形式

一般地，对于a sin α＋b cos α形式的代数式，可以提取，化为A sin (ωx＋φ)的形式．公式a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．

3．已知函数f(x)＝－cos 2x＋sin 2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的值域．

[解]　(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x

＝sin ＋.

所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由(1)可知f(x)＝sin ＋，

因为sin ∈[－1，1]，

所以sin ＋∈，

即f(x)的值域为.

1．sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 170°等于(　　)

A．－    B．    C．－    D．

D　[原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝，故选D.]

2．若将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移个周期，所得图象对应的函数为(　　)

A．y＝2sin    B．y＝2sin

C．y＝2sin   D．y＝2sin

D　[函数y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin 的周期为π，将函数y＝2sin 的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin ＝2sin ，故选D.]

3.cos x＋sin x＝(　　)

A．sin (＋x)    B．cos (＋x)

C．sin (＋x)    D．cos (＋x)

A　[cos x＋sin x＝sin cos x＋cos sin x＝sin (＋x).]

4．函数y＝sin 2x＋cos 2x的周期为________．

π　[y＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，

所以T＝＝π.]

5．f(x)＝cos x＋sin x的最大值是________，最小值是________．

2　－2　[f(x)＝2sin(x＋)，故f(x)的最大值是2，最小值是－2.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何逆用两角和与差的三角函数公式？

[提示]　公式的逆用：对于两角和与差的三角函数公式，要抓住其结构特征，在涉及相关题目时，要通过诱导公式等对其变换，构造逆用公式的形式，对三角函数式化简和求值．

2.如何运用“辅助角”公式解决问题？

[提示]　辅助角公式及应用：对于三角函数y＝a sin α＋b cos α，可以提取，化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式，然后研究其周期，最值和单调性等性质．