2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直接利用交集的定义求解即可

【详解】解：因为集合，，，

所以，

故选：B

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式即可.

【详解】由已知，，解得且，所以的定义域为.

故选：C.

【点睛】本题考查已知函数的解析式求函数的定义域，在做此类题时，要注意不要随意化简解析式，是一道容易题.

3．若函数，且在上的最大值与最小值的差为，则a的值为（    ）

A． B． C．或2 D．或

【答案】D

【分析】根据指数函数的单调性分类讨论即可求出a的值.

【详解】解：当时，在单调递减，

即，

解得：或(舍)；

当时，在单调递增，

即，

解得：或(舍)；

综上所述：或.

故选：D.

4．计算的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】由对数的换底公式和对数的运算性质化简求值.

【详解】.

故选：D.

【点睛】本题考查了对数换底公式和对数的运算性质化简求值，属于基础题.

5．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论．

【详解】的定义域是，关于原点对称，

，是偶函数，排除BC；

又时，，是增函数，排除A．

故选：D．

【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法．

确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项．

6．若，则有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题考查的是复合函数的单调性，构造函数，再分别由其单调性得到复合函数的单调性即可得到答案.

【详解】解：原不等式可化为，

记函数，则原不等式可化为.

又函数在上单调递增，所以，即.

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是复合函数的单调性，熟练掌握单调性的应用是解决问题的关键，是一道基础题.

7．已知函数，对任意，，都有，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意可得函数为减函数，再利用分段函数的单调性可得，解不等式即可求解.

【详解】对任意，，都有，

则函数为减函数，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是.

故选：D

【点睛】本题考查了分段函数的单调性求参数的取值范围，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

8．若函数在上的值域为，则在上的值域为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数h（x），根据函数的奇偶性及对称性即可求解．

【详解】函数在[m,n]上的值域为[2,4]，

设h（x）＝=，则h（x）在[m,n]上的值域为[1,3]，

且满足h（﹣x）＝h（x），

∴h（x）是定义域R上的奇函数；∴h（x）在[n,m]上的值域为[3,1]

又g（x）＝h（x）2，∴g（x）在[n,m]上的值域为[5,3]

故选D．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用问题，构造函数是解题的关键，是基础题．

二、多选题

9．若幂函数的图象经过点，则函数具有的性质是（    ）

A．在定义域内是减函数 B．图象过点

C．是奇函数 D．其定义域是

【答案】BC

【解析】先由已知条件求出函数解析式，然后对选项依次分析判断即可

【详解】解：因为幂函数的图象经过点，

所以，解得，

所以，

由反比例函数的性质可知，在和上递减，所以A错误；

当时，，所以函数图象过点，所以B正确；

因为，所以为奇函数，所以C正确；

函数的定义域为，所以D错误，

故选：BC

10．下列命题是真命题是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．若，，则的最大值为4

C．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是

D．命题，使得，则，都有

【答案】AD

【分析】根据充分与必要条件定义可判断A，结合基本不等式可判断B，讨论与可判断C，根据命题的否定定义可判断D．

【详解】对于A，当时有；当时，有或，故A正确；

对于B，由，当且仅当即时取等号，故最小值为4，故B错误；

对于C，当时，命题“”是真命题，

当时，由于，则，解得

则实数的取值范围是，故C错；

对于D，根据命题的否定定义可得 ，都有，故D正确．

故选：AD

11．定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（    ）

A． B．是奇函数

C．在上有最大值 D．的解集为

【答案】AB

【分析】由抽象函数满足，令可得，利用奇偶性，单调性的定义可推导函数的奇偶性和单调性，可求函数在区间上的最大值，利用单调性解不等式可得解集.

【详解】因为定义在R上的函数满足，

令，得，即 ，A正确，

令，得，即，函数为奇函数，B正确，

设，则，，

由题，，即，

所以，函数在R上单调递减，所以C错误，

不等式可化为，由在R上单调递减，所以，即，不等式解集为，D错误.

故选：AB.

12．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减;②存在区间，使在上的值域为．那么把称为闭函数．下列结论正确的是（    ）

A．函数y＝x是闭函数

B．函数y＝x2＋1是闭函数

C．函数y＝﹣x2(x≤0)是闭函数

D．函数是闭函数

【答案】AC

【解析】对于，函数是在上单调递增的一次函数，符合新定义；对于，函数在上不单调，反证法验证错误，对于，函数是在，上单调递增的函数，再根据新定义求区间，对于，函数是单调递减函数，再根据新定义求区间是否存在即可．

【详解】选项：因为是上的单调递增的一次函数，且在上任意子区间都满足新定义，所以正确；

选项：若函数是闭函数，则可设，，，，假设函数递增，则，显然无解，

若递减，则，解得显然不成立，所以错误；

选项：函数是开口向下的二次函数，且在区间，上是单调递增的函数，令，

若是闭函数，则一定有，即，解得满足新定义的闭区间是，，此时，，所以正确；

选项：函数在上单调递减，若满足新定义则有，即，解得，又，所以不存在区间满足新定义，所以错误

故选：．

【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

三、填空题

13．已知函数，若在上的值域为，则________.

【答案】.

【分析】根据函数在上单调递增，求出函数的最值，列方程组可解得结果.

【详解】由题意知函数在上单调递增，

∴，即，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了由函数解析式得单调性，根据单调性求最值，属于基础题.

14．已知，，，则a，b，c的大小关系是________．（用“<”连接）

【答案】c < b < a

【解析】根据指数函数，幂函数的单调性比较大小即可.

【详解】由指数函数，幂函数的单调性可知，

即c < b < a

故答案为：c < b < a

15．已知命题p：“，关于x的方程有实数解”.若命题p为真命题，则实数m的取值范围是____．

【答案】

【分析】方程可化为，根据基本不等式的性质，求出的取值范围，进而可求得m的取值范围.

【详解】因为p为真命题，所以方程有实数解，

方程，可化为，

因为，所以，当且仅当，即时等号成立，

所以，即.

故m的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了基本不等式的性质、指数的运算性质、基本不等式的性质，简易逻辑的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

16．如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，则矩形花坛面积最小值为________.

【答案】320

【分析】设，，由已知可得，，可推出.根据面积公式，用基本不等式即可求得最小值.

【详解】设，，

则根据题意，有，则有，即，.

，

当且仅当，，且，，即，时等号成立，

所以，矩形花坛面积最小值为320.

故答案为：320.

四、解答题

17．已知集合，集合．

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围；

（3）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）求出集合，利用并集的定义可求得集合；

（2）利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；

（3）分和两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，则；

（2）由知，解得，即的取值范围是；

（3）由得

①若，即时，符合题意；

②若，即时，需或．

得或，即．

综上知，即实数的取值范围为．

【点睛】易错点睛：在求解本题第（3）问时，容易忽略的情况，从而导致求解错误.

18．已知，且．

(1)求的最小值；

(2)若恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式即可得到结果；

（2）根据题意结合基本不等式可得，然后求解关于的不等式，即可得到结果.

【详解】（1）因为，所以

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为

（2）因为，

所以，

所以，当且仅当时等号成立，

因为恒成立，

所以，解得

所以实数的取值范围为

19．已知二次函数，为实数．

（1）若不等式的解集为，求的值；

（2）当时，解关于的不等式．

【答案】（1）；（2）答案不唯一，详细见解析．

【分析】（1）根据一元二次不等式的解集以及根与系数关系求得的值.

（2）对分成三种情况进行分类讨论，由此求得不等式的解集.

【详解】（1）由不等式的解集为可知方程的两根为，

则由韦达定理可得，所以.

（2）当时，不等式，

当时，即时，解得，

当时，即时，无解，

当时，即时，解得，

综上，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为.

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

20．已知函数（）.

（1）若时，求函数的值域；

（2）若函数的最小值是1，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）化简（），再利用换元法得（）；从而代入求函数的值域；

（2）（），讨论以确定函数的最小值及最小值点，从而求.

【详解】解：（1）（），

设，得（）.

当时，（）.

所以，.

所以，，

故函数的值域为.

（2）由（1）（），

①当时，，

令，得，不符合舍去；

②当时，，

令，得，或，不符合舍去；

③当时，，

令，得，不符合舍去.

综上所述，实数的值为.

【点睛】本题考查指数函数的化简转化为二次函数求值域的问题，以及运用换元法求解值域方面的问题，属于较难题.

21．设，函数为常数，．

（1）若，求证：函数为奇函数；

（2）若．

①判断并证明函数的单调性；

②若存在，，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）①为上的单调增函数，证明见解析；②.

【解析】（1）把代入得，且定义域为，求出并化简并判断与的关系，根据奇函数的定义，即可得出结论；

（2）①结合单调性的定义，先设，利用作差法比较与的大小关系即可判断；

②结合命题的否定，然后结合不等式的恒成立，利用单调性进行转化，即可求解实数的取值范围．

【详解】解：（1）当时，函数，

因为，则，

所以定义域为，

对任意，，

所以是奇函数．

（2）①当时，为上的单调增函数，证明如下：

证明：时，恒成立，故函数定义域为，

任取，，且，则，

因为，

所以为上的单调增函数.

②设命题：存在，，使得成立，

下面研究命题的否定：

，，恒成立，

若为真命题，由①，为上的单调增函数，

故，，恒成立．

设，，，

则，解得，

因为为真，则为假命题，

所以实数的取值范围为．

【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性定义和判断，以及利用单调性解决不等式恒成立问题从而求参数范围，函数性质的综合应用是求解问题的关键.

22．已知函数.

（1）求的值；

（2）写出函数的单调递减区间（无需证明）；

（3）若实数满足，则称为的二阶不动点，求函数的二阶不动点的个数.

【答案】（1）；（2），；（3）3个.

【分析】（1）根据分段函数解析式，直接代入相应的表达式进行计算即可.

（2）分，情况讨论，并根据所得解析式直接判断即可.

（3）写出的解析式，然后分，，进行讨论，并计算判断.

【详解】（1）因为，

所以，所以.

（2）因为，

当时，，递减区间为：；

当时，，递减区间为；

因此函数的单调递减区间为：，.

（3）由题可得：

当时，由，，解得或

即函数在上有唯一的二阶不动点.

当时，由，得到方程的根为，即函数在上有唯一的二阶不动点.

当时，由，由，，解得或

即函数在上有唯一的二阶不动点.

综上所述，函数的二阶不动点有3个.

【点睛】思路点睛：第（1）问要代入相对应的解析式；第（2）在于分类讨论并掌握常见函数的单调性；第（3）问在于写出函数的解析式，并进行分类讨论.