2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数为纯虚数，则实数m的值为（    ）

A． B．1 C．1或 D．或0

【答案】B

【分析】根据纯虚数的定义求解.

【详解】因为z是纯虚数，所以，解得．

故选：B．

2．下列说法正确的是（    ）

A．圆锥的轴垂直于底面 B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面

C．球面上不同的三点可能在一条直线上 D．棱台的侧面是等腰梯形

【答案】A

【分析】由多面体和旋转体的结构特征依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，由圆锥的结构特征可知：圆锥的轴垂直于底面，A正确；

对于B，六棱柱的两个相对侧面也是互相平行的面，B错误；

对于C，球面上不同三点可构造出一个球的截面圆，可知三点不共线，C错误；

对于D，棱台的侧棱长可以不相等，则侧面不是等腰梯形，D错误.

故选：A.

3．设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（    ）

A．－ B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用向量的投影向量的公式求解.

【详解】解：由题意，在上的投影向量为．

故选：B．

4．已知复数（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】先利用复数运算规则求得z的代数形式，进而求得z在复平面内对应的点所在象限.

【详解】因为，

所以z对应点的坐标为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限．

故选：C．

5．若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.

【详解】因为，所以，

所以，

所以

.

故选：D.

6．如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（    ）

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

【答案】D

【分析】取的中点P，连接PQ、、、和，确定，，得到答案.

【详解】如图所示，取的中点P，连接PQ、、、和，

，分别是，的中点，故，且，

，故，，故四点共面，

故四边形是过A，Q，三点的截面，且四边形是梯形．

故选：D．

7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（    ）

A．4 B．6 C． D．

【答案】D

【分析】根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可.

【详解】因为，由正弦定理可得，

则，

，，，

，为内角，

，则，，,

故选：D.

8．若，则（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【分析】利用之间的关系和题给条件即可求得分别求得的值，进而得到的值.

【详解】因为，

设（），

则，所以，，

即，所以或（舍）

所以，

．

故选：A．

二、多选题

9．已知a，b，c是3条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的有（    ）

A．若，，则

B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c垂直

C．若，，，则a与b一定是异面直线

D．若a，b与所成的角均为，则

【答案】BC

【分析】由基本事实4判断A；由直线与直线的位置关系判断B；由面面平行的性质判断C；由线面垂直的性质判断D．

【详解】对于A，若，，则，所以A正确；

对于B，若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面，所以B错误；

对于C，若，，，则a与b可能异面，也可能平行，所以C错误；

对于D，若a，b与所成的角均为，则，，可得，所以D正确．

故选：BC．

10．设z是非零复数，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AB

【分析】根据复数的相关概念结合复数的运算逐项分析运算.

【详解】设，但不同时为0，则，可得，

对于A：若，则，

故，A正确；

对于B：∵，

若，则，

解得：或（舍），B正确；

对于C：若，即，解得，

故，则，

可得，C不正确；

对于D：，则，解得，

即z为纯虚数，此时，

故，D不正确.

故选：AB.

11．密位制是度量角的一种方法，把一个周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”．若，则角可取的值用密位制表示正确的是（    ）

A．12—50 B．2—50

C．13—50 D．32—50

【答案】ABD

【分析】先利用题给条件求得角的值，再将各选项的密位制角转化为弧度制的角即可得到正确选项.

【详解】因为，

即，

即，所以，

所以，，或，，

解得，或，．

对于A，密位制12—50对应的角为，符合题意；

对于B，密位制2—50对应的角为，符合题意；

对于C，密位制13—50对应的角为，不符合题意；

对于D，密位制32—50对应的角为，符合题意．

故选：ABD．

12．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．a>c C．c>a D．

【答案】ACD

【分析】利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得，应用倍角公式得，注意，即可得范围判断D正误.

【详解】由正弦边角关系知：，则，

所以，而，则，A正确；

由上知：，即，B错误，C正确；

由知：，则，

又，故，则，即，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为______．

【答案】1

【分析】应用复数的除法求复数z即可.

【详解】由题设，，

故z的虚部为1．

故答案为：1.

14．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形较长的对角线的长度为____．

【答案】

【分析】先利用斜二测画法规则画出该直观图对应的原图，进而求得原图形中较长的对角线的长度.

【详解】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段轴，

所以在原图形中对应的线段CB平行于x轴且长度不变，

点和在原图形中对应的点C和B的纵坐标是的2倍，

则，，所以，

，，

故原图形较长的对角线长为．

故答案为：

15．若，，则________．

【答案】

【分析】由三角函数的倍角公式及同角的商数关系计算即可.

【详解】因为，所以，

又因为，，

所以，即，

所以，又因为，

所以，．

故答案为：

16．在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______.

【答案】

【分析】根据题意可知为三角形的重心，利用三点共线可得，再由均值不等式即可求最值.

【详解】取中点，连接，如图，

由可得，即，

所以三点共线且，即为的重心，

所以，

因为三点共线，

所以，

又，，

所以，当且仅当，

即时，等号成立，

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，，．

(1)若A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；

(2)当时，判断是否为钝角，并说明理由．

【答案】(1)

(2)不可能是钝角，理由见解析

【分析】（1）利用向量共线充要条件即可求得实数x，y满足的关系；

（2）利用向量夹角公式求得，进而得到不可能是钝角.

【详解】（1）因为A，B，C三点共线，所以，

又，，

所以，即．

则实数x，y满足的关系为.

（2）不是钝角，理由如下：

当时，，

，

则，

又，故不可能是钝角．

18．（1）已知，化简：；

（2）已知，，，，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系及二倍角的正余弦公式化简作答.

（2）利用同角公式求出，利用二倍角的正切求出，再利用差角的正切求解作答.

【详解】（1）因为，则，，，

所以

．

（2）因为，，即有，而，

因此，，，

于是，又，

则，

而，，即有，

所以．

19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)若，，求b和的值．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）利用正弦定理和题给条件求得，进而求得角B的大小；

（2）先利用余弦定理求得b的值，再利用两角差的正弦公式即可求得的值．

【详解】（1）因为，由正弦定理得

，

即．又，所以，

所以，即，

又因为，所以．

（2）在中，由余弦定理及，，，

得，故，

所以，又，所以，

，又，所以．

所以．

20．如图，正三棱柱的所有棱长都等于2，E，F，G分别为，，AB的中点．

(1)求证：平面平面BEF；

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）利用面面平行判定定理即可证得平面平面BEF；

（2）先依据线面角定义作出与平面所成角，进而求得其正弦值.

【详解】（1），F分别为，的中点，，

平面，平面，平面，

又F，G分别为，AB的中点，，

又，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，

平面，

又，EF，平面BEF，

平面平面BEF．

（2）在平面ABC内，过点G作，垂足为H，连接．

正三棱柱，

平面ABC．又平面ABC，．

又，BC，平面，平面．

即为与平面所成的角．

正三棱柱的所有棱长为2，G为AB中点，

，，

又，，．

又，，

．

又，

，

，

故与平面所成角的正弦值为．

21．已知向量，，．

(1)若，求实数k；

(2)设满足，且，求的坐标．

【答案】(1)

(2)或．

【分析】（1）利用向量垂直充要条件列出关于实数k的方程，解之即可求得实数k的值；

（2）先设，再利用题给条件关于实数的方程组，解之即可求得实数的值，进而得到的坐标.

【详解】（1）因为向量，，，

则，．

因为，

所以，解得．

（2）设，由题意，，，

由于，且，则，

解得或．因此或．

22．如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且.

(1)若，求EF的值；

(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；

（2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可.

【详解】（1）由题意可得，

设，则，

在中，由余弦定理，

则，即，

由正弦定理，可得，

即，可得，

在中，，

，

由正弦定理，可得，

故.

故EF的值.

（2）设，则，

由正弦定理，可得，

在中，由正弦定理，可得，

故的面积

，

∵，∴，∴，

∴，当且仅当，即时，等号成立，

故面积的最小值.