2022-2023学年北京市昌平区八年级下册数学第一次月考模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年北京市昌平区八年级下册数学第一次月考模拟卷（AB卷）含解析，共49页。试卷主要包含了选一选，三象限，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市昌平区八年级下册数学第一次月考模拟卷
（A卷）
一、选一选（每题2分，共24分）
1. 等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　）
A. 20° B. 50° C. 60° D. 80°
2. 如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80º，则∠B的度数是（ ）

A. 40º B. 35º C. 25º D. 20º
3. 如图，在中，，，D是AB上一点．将沿CD折叠，使B点落在AC边上的处，则等于（ ）

A. B. C. D.
4. 下列式子中，①2x＝7；②3x＋4y；③－3＜2；④2a－3≥0；⑤x＞1；⑥a－b＞1.没有等式的有(　　)．
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 1个
5. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长没有可能是( )

A. 3.5 B. 4.2 C. 5.8 D. 7
6. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）

A 6 B. 7 C. 8 D. 9
7. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A. 11 B. 5.5
C. 7 D. 3.5
8. a的2倍与4的差比a的3倍小，可表示为（　　）
A. 2a＋4＜3a B. 2a－4＜3a C. 2a－4≥3a D. 2a＋4≤3a
9. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH长是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 没有等式＞﹣1正整数解的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折，但要保证利润率没有低于5%，则至多可打（　　）
A. 6折 B. 7折
C. 8折 D. 9折
12. 如图，在△ABC中， AB=AC， ∠A=36° ，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有 （ ）

A. 5个 B. 1个 C. 3个 D. 2个
二．填 空 题（共10小题，每小题2分，满分20分）
13. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=_____．

14. 如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．

15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_____．

16. 写出一个解集为x≥1的一元没有等式:_____________.
17 如果a 18. 没有等式 (x－m)＞3－m的解集为x＞1，则m的值为___.
19. 如图，在△ABC中．BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是______cm

20. 如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为____．


21. 已知函数与函数的图象交于点P，则没有等式的解集是_______．

22. 按下列程序进行运算（如图）：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为运算.若x＝5，则运算进行__________次才停止.

三．解 答 题（共10小题，满分56分）
23. 解没有等式，并把解表示在数轴上：
（1）10-4（x-2）≤3（x-1）；（2）．
24. 解没有等式组
（1） （2）
25. 如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D
在同一条直线上．求证：BD=CE．

26. （1）直线y=kx+4点（1，2），求没有等式kx+4≥0的解集．
（2）x取哪些正整数时，没有等式 x+3>6 与 2x-1<10 都成立？
27. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．

28. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．

29. 为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额没有超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？
30. 某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元．每件乙种商品进价8 万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终没有变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用 资金没有低于190万元没有高于200万元．
（1）该公司有哪几种进货？
（2）该公司采用哪种进货可获得利润？利润是多少？
31. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长．

32. 在中，，，点是中点，，垂足为，连接．

（1）如图1，与的数量关系是__________．
（2）如图2，若是线段上一动点（点没有与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，请猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；









2022-2023学年北京市昌平区八年级下册数学第一次月考模拟卷
（A卷）
一、选一选（每题2分，共24分）
1. 等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　）
A. 20° B. 50° C. 60° D. 80°
【正确答案】B

【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．
【详解】解：∵等腰三角形的一个顶角为80°
∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°．
故选B．
考点：等腰三角形的性质．
2. 如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80º，则∠B的度数是（ ）

A. 40º B. 35º C. 25º D. 20º
【正确答案】C

【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可．
【详解】解：∵AC=AD，
∴∠ADC=∠C，
∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∠DAC=80°，
∴∠ADC=（180°-80°）÷2=50°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=50°，
∴∠B=（50÷2）=25°．
故答案为C．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3. 如图，在中，，，D是AB上一点．将沿CD折叠，使B点落在AC边上的处，则等于（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据翻折变换的性质计算即可．
【详解】∵∠ACB=100°,∠A=20°，
∴∠B=60°，
由折叠的性质可知,∠ACD=∠BCD=50°，
∴∠B′DC=∠BDC=70°，
∴∠ADB′=180°−70°−70°=40°，
故选D.
本题考查三角形折叠角度问题，根据折叠的性质得到对应角相等是关键.
4. 下列式子中，①2x＝7；②3x＋4y；③－3＜2；④2a－3≥0；⑤x＞1；⑥a－b＞1.没有等式的有(　　)．
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 1个
【正确答案】B

【详解】解：没有等式有：③－3＜2；④2a－3≥0；⑤x＞1；⑥a－b＞1，共4个．故选B．
5. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长没有可能是( )

A. 3.5 B. 4.2 C. 5.8 D. 7
【正确答案】D

【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的长没有可小于3
∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，
∴AP长没有能大于6．
∴
故选D．
6. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【正确答案】D

【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故选D
7. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A. 11 B. 5.5
C. 7 D. 3.5
【正确答案】B

【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，

∵DE=DG，
∴DM=DE，
∴MN=GN，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DE=DN，
∴△DEF≌△DNM，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMG=50﹣39=11，
S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5
故选B．
8. a的2倍与4的差比a的3倍小，可表示为（　　）
A. 2a＋4＜3a B. 2a－4＜3a C. 2a－4≥3a D. 2a＋4≤3a
【正确答案】B

【详解】解：表示为：2a-4＜3a．故选B．
9. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（ ）

A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】A

【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC-EH，即AE-EH即可求出HC的长．
【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEH=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCE，
∵在△HEA和△BEC中，
∠BAD＝∠BCE，∠AEH＝∠BEC＝90°，EH＝EB，
∴△HEA≌△BEC（AAS），
∴AE=EC=4，
则CH=EC-EH=AE-EH=4-3=1．
故选A.
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
10. 没有等式＞﹣1的正整数解的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D

【详解】，去分母得3（x+1）>2(2x+2)-6，去括号得3x+3>4x+4-6，移项，合并同类项得-x>-5，系数化为1得x<5，所以满足没有等式的正整数的个数有4个，故选D.
11. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折，但要保证利润率没有低于5%，则至多可打（　　）
A. 6折 B. 7折
C. 8折 D. 9折
【正确答案】B

【分析】设可打x折，根据售价=标价×打折率和利润=售价-进价=进价×利润率列出没有等式求解即可.
【详解】解：设可打x折，则有1200x÷10-800≥800×5%，
解得：x≥7，
即至多打7折．
故选：B.
本题考查的是一元没有等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率没有低于5%，列没有等式求解．
12. 如图，在△ABC中， AB=AC， ∠A=36° ，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有 （ ）

A. 5个 B. 1个 C. 3个 D. 2个
【正确答案】A

【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，
∴∠DBC＝∠BCE，∠CED＝∠DBC+∠BCE＝36°+36°＝72°，
∠A＝∠ABD，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴△EBC、△ABD是等腰三角形；
∠BDC＝∠BCD，∠CED＝∠CDE，
∴△BCD、△CDE是等腰三角形，
∴图中的等腰三角形有5个．
故选：A．
此题考查了等腰三角形的判定、三角形的内角和定理和三角形的角平分线等知识，熟练掌握等腰三角形的判定方法是关键，注意没有要漏解．
二．填 空 题（共10小题，每小题2分，满分20分）
13. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=_____．

【正确答案】4

【分析】首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC=CB，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD的长．
【详解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
∵AD2+BD2=AB2，
∴AD==4，
故答案为4．
本题考查勾股定理；等腰三角形的性质．
14. 如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．

【正确答案】7

【分析】根据勾股定理求得BC，再根据折叠性质得到AE=CE，进而由三角形的周长=AB+BC求解即可．
【详解】∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC=.
∵△ADE是△CDE翻折而成，
∴AE=CE，
∴AE+BE=BC=4，
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
故答案是：7．
本题考查勾股定理、折叠性质，熟练掌握勾股定理是解答的关键．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_____．

【正确答案】2

【详解】∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°．
∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．
又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°．
∴Rt△DBE中，BE=2DE=2．
16. 写出一个解集为x≥1的一元没有等式:_____________.
【正确答案】x-1≥0(答案没有)

【分析】据一元没有等式求解逆用，把1进行移项就可以得到一个；也可以对原没有等式进行其它变形，所以答案没有．
【详解】解：移项，得
x-1≥0，
故x-1≥0（答案没有）.
本题考查没有等式的求解的逆用；写出的没有等式只需符合条件，越简单越好．

17. 如果a 【正确答案】>

【详解】a3-2b.
故答案：>.
【方法点睛】本题目是一道考查没有等式性质的问题，当没有等式两边同时乘以同一个负数时，没有等号方向改变.
18. 没有等式 (x－m)＞3－m的解集为x＞1，则m的值为___.
【正确答案】4

【详解】试题分析：去分母得，x﹣m＞3（3﹣m），
去括号得，x﹣m＞9﹣3m，
移项，合并同类项得，x＞9﹣2m．
∵此没有等式的解集为x＞1，
∴9﹣2m=1，解得m=4．
19. 如图，在△ABC中．BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是______cm

【正确答案】5

【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC的长，即5cm．
【详解】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD＋DE＋PE＝BD＋DE＋EC＝BC＝5cm．
故答案为5．
此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是将△PDE的周长转化为BC边的长．
20. 如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为____．


【正确答案】

【分析】根据勾股定理，逐一进行计算，从中寻求规律，进行解答．
【详解】解：根据勾股定理：
个三角形中：OA12=1+1=2，S1=1×1÷2；
第二个三角形中：OA22=OA12+1=2+1=3，S2=OA1×1÷2=×1÷2=；
第三个三角形中：OA32=OA22+1=3+1=4，S3=OA2×1÷2=×1÷2=；
…
第n个三角形中：Sn=×1÷2=．
故
本题主要考查了勾股定理，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
21. 已知函数与函数的图象交于点P，则没有等式的解集是_______．

【正确答案】

【分析】直线落在直线上方的部分对应的的取值范围即为所求．
【详解】∵函数与函数的图象交于点P（4，-6），
由图象知：当时，直线落在直线上方，
∴没有等式的解集是．
故．
本题主要考查了函数和一元没有等式的关系及数形思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形．
22. 按下列程序进行运算（如图）：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为运算.若x＝5，则运算进行__________次才停止.

【正确答案】4

【详解】解：x=5．
次：5×3-2=13
第二次：13×3-2=37
第三次：37×3-2=109
第四次：109×3-2=325＞244→→→停止
故答案为4．
三．解 答 题（共10小题，满分56分）
23. 解没有等式，并把解表示在数轴上：
（1）10-4（x-2）≤3（x-1）；（2）．
【正确答案】（1）x≥3，数轴表示见解析；（2）x<-2，数轴表示见解析．

【详解】试题分析：（1）去括号，移项，合并，然后化系数为1即可；
（2）先去分母，然后移项、合并，化系数为1即可．
试题解析：解：（1）去括号得：10-4x+8≤3x-3
移项、合并得：-7x≤-21，
解得：x≥3；
在数轴上表示为：

（2）去分母得：2（2x+1）-3（3x+2）＞6，
去括号得：4x+2-9x-6＞6，
移项、合并得：-5x＞10．
解得：x＜－2．
在数轴上表示为：
．
点睛：本题考查了解一元没有等式的知识，注意掌握解一元没有等式的一般步骤．
24. 解没有等式组
（1） （2）
【正确答案】（1）无解；（2）

【分析】先求出每一个没有等式的解集，然后求其公共解集即可．
【详解】解：（1），
由①得：x＞2，
由②得：x≤－1．
故原没有等式组无解；
（2），
由①得：x≥－1，
由②得：x＜2，
∴原没有等式组的解集是：－1≤x＜2．
25. 如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D
在同一条直线上．求证：BD=CE．

【正确答案】见解析

【分析】求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可．
【详解】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD=AE，AB=AC．
又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，
∴∠DAB=∠EAC．
∴△ADB≌△AEC（SAS）．
∴BD=CE．
26. （1）直线y=kx+4点（1，2），求没有等式kx+4≥0的解集．
（2）x取哪些正整数时，没有等式 x+3>6 与 2x-1<10 都成立？
【正确答案】（1）；（2）正整数解有4，5

【详解】试题分析：（1）把点（1，2）的坐标代入直线解析式求出k值，从而得到直线解析式y=-2x+4，然后解没有等式-2x+4≥0即可．
（2）先求出没有等式组的解集，在取值范围内可以找到整数解．
试题解析：解：（1）把点（1，2）的坐标代入直线解析式y=kx+4中，
得：k+4=2，解得：k=-2，
则直线的函数解析式为：y=-2x+4，
由-2x+4≥0，得：x≤2．
（2）解x+3>6 得：x＞3，解 2x-1<10得：x＜5.5，∴3＜x＜5.5，∴满足条件的正整数解为：4，5．
27. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．

【正确答案】见解析．

【分析】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．
【详解】解：证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．

本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．

28. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）BE=．

【详解】试题分析：（1）求出△ACD≌△AED，根据全等三角形性质得出即可；
（2）求出AD=BD，推出∠B=∠DAB=∠CAD，求出∠B=30°，即可求出BD=2CD=8，根据勾股定理求出即可．
（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中

∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE；
（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∵CD=DE=4，∠DEB=90°，
∴BD=2DE=8，
由勾股定理得：BE==4．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
29. 为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额没有超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？
【正确答案】7

【分析】设购买球拍个，由已知可知，乒乓球共买20个，单价为1.5元每个，而球拍为每个22元，总金额没有超过200元， 列出没有等式求解即可．
【详解】解：设购买球拍个，依题意得：
，
解之得：，
由于取整数，故的值为7．
本题主要考查了一元没有等式的应用，正确理解题意列出没有等式求解是解题的关键．

30. 某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元．每件乙种商品进价8 万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终没有变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用 资金没有低于190万元没有高于200万元．
（1）该公司有哪几种进货？
（2）该公司采用哪种进货可获得利润？利润是多少？
【正确答案】（1）有3种购买：
1：甲种商品购买8件，乙种商品购买12件，
2：甲种商品购买9件，乙种商品购买11件，
3：甲种商品购买10件，乙种商品购买10件，
（2）采用第3种进货可获得利润，利润45万元．

【详解】根据购买甲乙两种商品的所用资金没有低于190万元，没有高于200万元列出一元没有等式组，解没有等式组得到x的取值范围，根据x为整数，得到没有同的；分别计算没有同下的利润，得出利润.
31. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长．

【正确答案】（1）见解析 （2）2+

【详解】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证．
（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．　
解：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°．
∴∠CAD=∠CBE．
在△ADC和△BDF中，∠CAD=∠CBF，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，
∴△ADC≌△BDF（ASA）．
∴BF=AC．
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE．
∴BF=2AE．
（2）∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=．
在Rt△CDF中，．
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2．
∴AD=AF+DF=2+．
32. 在中，，，点是的中点，，垂足为，连接．

（1）如图1，与的数量关系是__________．
（2）如图2，若是线段上一动点（点没有与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，请猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；
【正确答案】（1）DE=BC；(2)

【分析】（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，可得DE=BD=BC；
（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据SAS判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP+BP =BC，DE=BC可得到DE =（BF+BP）．
【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵点D是AB的中点，
∴DB=DC，
∴△DCB为等边三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE=BC；
故答案为DE=BC．
（2）DE =（BF+BP）．理由如下：
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
而∠CDB=60°，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF，
而CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
∵DE=BC，
∴DE =（BF+BP）；
故答案为DE =（BF+BP）．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．

2022-2023学年北京市昌平区八年级下册数学第一次月考模拟卷
（B卷）
一、选一选（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列式子中，属于最简二次根式是
A. B. C. D.
2. 若代数式有意义，则实数x取值范围是( )
A. B. C. D. 且
3. 有一个直角三角形三角形两边长为4和5，则第三边长为（　　）
A. 3 B. C. 3或 D. 3或
4. 在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ）
A. 1∶2∶3∶4 B. 1∶2∶2∶1
C. 1∶1∶2∶2 D. 2∶1∶2∶1
5. 矩形具有而菱形没有具有的性质是（ ）．
A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
6. 如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　)

A. 24 B. 16 C. D.
7. 如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（　　）

A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
8. 矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15，则矩形的较短边长为（ ）
A. 12 B. 10 C. 7.5 D. 5
9. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则函数y=x+k的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
10. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象必点
B. 图象、二、三象限
C. 当时，
D. 随的增大而增大
二、填 空 题（每题4分，共32分）
11. 若实数a、b满足，则=_____．
12. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．
14. 如图，在□ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于多少？

15. 李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是_____升.

16. 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为_______________cm2．

17. 函数y=x+4分别交x轴、y轴于A，B两点，则A，B两点的坐标分别为A_______________）．
18. 若函数y=（2m﹣1）x3m﹣2+3是函数，则m=_____，且y随x的增大而_____．
三、解 答 题
19. 计算：（1）+|﹣1|﹣π0+（）﹣1；（2）2×÷．
20. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．

21. 如图，点D、E、F分别是△ABC各边中点．求证：四边形ADEF是平行四边形．

22. （1）已知函数y=kx+2，当x=2时，y的值为4，求k的值；
（2）已知函数的图象点（1，﹣1）和点（﹣1，2），求这个函数的解析式．
23. 在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，若AB=2，求AC的长．

24. 如图，点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．

（1）试判断四边形AECF的形状；
（2）若AE=BE，∠BAC=90°，求证：四边形AECF是菱形．
25. 如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，
（1）求BF与FC的长；
（2）求EC长．

26. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．


（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
27. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
28. 已知，直线y=2x+4与直线y=-2x-2.

（1）直接写出两直线与y轴交点A，B的坐标;
（2）求两直线交点C的坐标;
（3）求△ABC的面积.

2022-2023学年北京市昌平区八年级下册数学第一次月考模拟卷
（B卷）
一、选一选（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，没有是最简二次根式，没有符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，没有是最简二次根式，没有符合题意；
D、，被开方数含分母，没有是最简二次根式，没有符合题意；
故选：B．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数没有含分母、被开方数中没有含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
【正确答案】D

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母没有为0的条件，得到，求解即可．
【详解】要使在实数范围内有意义，
∴
解得：且．
故选：D．
本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．二次根式被开方数必须是非负数和分式分母没有为0．
3. 有一个直角三角形三角形两边长为4和5，则第三边长为（　　）
A. 3 B. C. 3或 D. 3或
【正确答案】D

【详解】当5是直角边时，则第三边=；当5是斜边时，则第三边=3．所以第三边的长是3或．故选D．
4. 在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ）
A. 1∶2∶3∶4 B. 1∶2∶2∶1
C. 1∶1∶2∶2 D. 2∶1∶2∶1
【正确答案】D

【分析】根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，根据以上结论即可选出答案．
【详解】解：如图，


∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴ 值可以是.
故选D．
本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
5. 矩形具有而菱形没有具有的性质是（ ）．
A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
【正确答案】B

【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解：
【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，没有符合题意；
B．矩形的对角线相等，菱形的对角线没有相等，故本选项正确，符合题意；
C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，没有符合题意；
D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，没有符合题意．
故选B．
6. 如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　)

A. 24 B. 16 C. D.
【正确答案】C

【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AC⊥BD，
OA=AC=3，
OB=BD=2，
AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，AB==，
∴菱形的周长为4．
故选C．
7. 如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（　　）

A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
【正确答案】D

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×6＝24．
故选：D．
本题考查了三角形的中位线，菱形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
8. 矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15，则矩形的较短边长为（ ）
A. 12 B. 10 C. 7.5 D. 5
【正确答案】C

【分析】根据矩形的性质和两条对角线的夹角为60°，得到等边三角形，再根据对角线长为15，即可求出矩形较短的边长．
【详解】解：如图所示：矩形ABCD，对角线AC=BD=15，∠AOD=∠BOC=60°，

∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=OC=OB=×15=7.5(矩形的对角线互相平分且相等)，
又∵∠AOD=∠BOC=60°，
∴OA=OD=AD=7.5，
∵∠COD=120°>∠AOD=60°，
∴AD 所以该矩形较短的一边长为7.5．
故选：C
本题主要考查矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，且矩形对角线相交所的角中“大角对大边，小角对小边”．
9. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则函数y=x+k的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据函数的性质得到函数y=x+k的图象、三象限，且与y轴的负半轴相交．
【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵函数y=x+k的项系数大于0，常数项小于0，
∴函数y=x+k的图象、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故选A．
本题考查了函数图象：函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
10. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象必点
B. 图象、二、三象限
C. 当时，
D. 随的增大而增大
【正确答案】C

【分析】根据函数的性质，依次分析即可．
【详解】A. x=−2时，y=−2×（−2）+1=5，故图象必(−2，5)，故错误，
B. k=−2<0，b=1>0，则图象、二、四象限，故错误，
C. 当x>时，y<0，故正确；
D. k<0，则y随x的增大而减小，故错误，
故选C．
本题考查了函数的图象以及函数的性质，解题的关键是逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度没有大，解决该题时，熟悉函数的性质、函数图象上点的坐标特征以及函数图象与系数的关系是解题的关键．
二、填 空 题（每题4分，共32分）
11. 若实数a、b满足，则=_____．
【正确答案】﹣

【详解】解：根据题意得：a+2=0，b-4=0，
解得：a=-2，b=4，
则=．
故．
12. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ．
【正确答案】等腰直角三角形

【详解】∵，
∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．
由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，
∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．
又由a－b=0得a=b，
∴△ABC为等腰直角三角形．
故等腰直角三角形．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．
【正确答案】AF=CE（答案没有）．

【详解】根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，当AF=CE时，四边形AECF是平行四边形;根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定，可添加AF=CE或FD=EB．
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义，可添加AE∥FC.
添加∠AEC=∠FCA或∠DAE=∠DFC等得到AE∥FC，也可使四边形AECF是平行四边形.
14. 如图，在□ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于多少？

【正确答案】2厘米

【详解】先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而求出EC的长．
解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3，
∴EC=BC-BE=5-3=2．
15. 李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是_____升.

【正确答案】20

【详解】解：由图象可得出：行驶160km，耗油（35﹣25）=10（升），
∴行驶240km，耗油×10=15（升），
∴到达乙地时剩余油量是35﹣15=20（升）．
故答案为20．
16. 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为_______________cm2．

【正确答案】

【详解】解：∵E是AB的中点，
∴AE=1，
∵DE丄AB，
∴DE=．
∴菱形的面积为：2×=2．
故答案为2．
17. 函数y=x+4分别交x轴、y轴于A，B两点，则A，B两点的坐标分别为A_______________）．
【正确答案】﹣3；0；0；4．

【详解】当x=0时，y=×0+4=4，∴点B的坐标为（0，4）；当y=0时，即x+4=0，解得x=﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0）．故答案为﹣3；0；0；4．
18. 若函数y=（2m﹣1）x3m﹣2+3是函数，则m=_____，且y随x的增大而_____．
【正确答案】 ①. 1 ②. 增大．

【详解】∵函数y=（2m﹣1）x3m﹣2+3是函数，∴3m-2=1且2m-1≠0，解得m=1，∴函数可化为y=x+3，∵k=1＞0，∴y随x的增大而增大．故答案为1；增大．
三、解 答 题
19. 计算：（1）+|﹣1|﹣π0+（）﹣1；（2）2×÷．
【正确答案】（1）3；（2）．

【详解】整体分析：
（1）理解二次根式，值，零指数幂，负整数指数幂的意义后计算；（2）用二次根式的乘法法则和除法法则计算.
解：（1）（1）+|﹣1|﹣π0+（）﹣1
=2+﹣1﹣1+2
=3；
（2）2×÷
=2×
=
=．
20. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．

【正确答案】BD的长为6

【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，DO=BO，然后根据Rt△AOB的勾股定理求出BO的长度，然后根据BD=2BO求出答案．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，
∴AC⊥BD，DO=BO，
∵AB=5，AO=4，
∴BO==3，
∴BD=2BO=2×3=6．
此题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
21. 如图，点D、E、F分别是△ABC各边中点．求证：四边形ADEF是平行四边形．

【正确答案】见解析

【分析】根据三角形中位线定理可得DEAC，EFAB，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可．
【详解】证明：∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE AC，
∵E、F分别为BC、AC中点，
∴EFAB，
∴四边形ADEF是平行四边形．
此题主要考查了三角形的中位线定理，以及平行四边形的判定定理，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
22. （1）已知函数y=kx+2，当x=2时，y的值为4，求k的值；
（2）已知函数图象点（1，﹣1）和点（﹣1，2），求这个函数的解析式．
【正确答案】（1）k=1；（2）这个函数的解析式为：y=﹣x+．

【详解】整体分析：
（1）把x=2，y=4代入y=kx+2求k；（2）设函数解析式为y=kx+b，把（1，﹣1）和点（﹣1，2）代入y=kx+b，得到二元方程组，求出k，b的值.
解：（1）把x=2，y=4代入y=kx+2，得
4=2k+2，
解得，k=1；
（2）设函数解析式为：y=kx+b，
把点（1，﹣1）和点（﹣1，2）代入得：
，解得，
故这个函数的解析式为：y=x+．
23. 在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，若AB=2，求AC的长．

【正确答案】AC=4

【分析】过A点作AD⊥BC于D点，则△ABD是等腰直角三角形，△ACD是含30°角的直角三角形.
【详解】解：过A点作AD⊥BC于D点，
在直角三角形ABD中，∠B=45°，AB=2，
∴AD=AB•si=2，
在直角三角形ADC中，∠C=30°，
∴AC=2AD=4．

24. 如图，点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．

（1）试判断四边形AECF的形状；
（2）若AE=BE，∠BAC=90°，求证：四边形AECF是菱形．
【正确答案】（1）四边形AECF为平行四边形；（2）见解析

【详解】试题分析：（1）四边形AECF为平行四边形．通过平行四边形的判定定理“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论：四边形AECF为平行四边形．
（2）根据直角△BAC中角与边间的关系证得△AEC是等腰三角形，即平行四边形AECF的邻边AE=EC，易证四边形AECF是菱形．
（1）解：四边形AECF为平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
又∵BE=DF，∴AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）证明：∵AE=BE，∴∠B=∠BAE，
又∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BCA=90°，∠CAE+∠BAE=90°，
∴∠BCA=∠CAE，
∴AE=CE，
又∵四边形AECF为平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
25. 如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，
（1）求BF与FC的长；
（2）求EC的长．

【正确答案】（1）AF= 10cm，FC=4cm；（2）EC=3cm．

【详解】整体分析：
由轴对称的性质得AD=AF，DE=EF，在Rt△ABF中，由勾股定理得BF，FC=BC-BF，在Rt△CEF中，设EC=x，用勾股定理列方程求解.
解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=10cm，
∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF==6cm，
所以FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm；
（2）∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，
∴EF=DE，
设EC=x，则EF=DE=8﹣x，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FC2+EC2=EF2，
即42+x2=（8﹣x）2，解得x=3，
即EC=3cm．
26. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．


（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析．

【分析】（1）先证明四边形AECD是平行四边形，然后证明AE=EC即可四边形AECD是菱形；
（2）先说明BE=CE、∠ACE=∠CAE，再说明BE=CE、∠ACE=∠CAE，再根据三角形内角和得到∠B+∠BCA+∠BAC=180°，进一步得到∠BCE+∠ACE=90°即∠ACB=90°，即可说明△ABC是直角三角形．
【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴AE//CD，
又∵CE/∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAE=∠CAD，
又∵AD∥CE，∠ACE=∠CAD，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：△ABC是直角三角形,理由如下：
∵E是AB中点，
∴AE=BE．
又∵AE=CE，
∴BE=CE，∠ACE=∠CAE，
∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，
∴2∠BCE+2∠ACE=180°，
∴∠BCE+∠ACE=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
本题利用了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质以及等边对等角的判定等知识点，考查知识点较多，增加了试题难度，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
27. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
【正确答案】见解析

【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
【详解】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
28. 已知，直线y=2x+4与直线y=-2x-2.

（1）直接写出两直线与y轴交点A，B的坐标;
（2）求两直线交点C的坐标;
（3）求△ABC的面积.
【正确答案】(1) A（0，4） B（0，-2）； (2) （，1）；（3）

【分析】（1）与x轴的交点就是函数值y=0，与y轴的交点就是x=0；
（2）根据二元方程组得出点C的坐标；
（3）首先根据点A和点B的坐标得出AB的长度，然后根据三角形面积的计算法则得出面积.
【详解】（1）令x=0代入直线y=2x+4与直线y=-2x-2，可得：A（0，4）, B（0，-2）
（2）由题得：，
解得：，
∴交点C的坐标为 （，1）
（3）∵A（04）, B（0,-2），
∴AB=6，
∴．