数学选择性必修 第二册1.2 瞬时变化率课后练习题

【基础】1.2 瞬时变化率-1优选练习

一．填空题

1．函数的图象在点处切线的方程为______.

2．已知直线与曲线切于点，则的值为______________．

3．曲线在处的切线方程为______.

4．曲线在处的切线方程为_________．

5．曲线在点处的切线方程为___________.

6．直线与函数(为自然对数的底数)的图象相切于点，则___________.

7．过原点作曲线的切线，则切线的方程为___________.

8．过曲线上一点的切线的斜率为，则点的坐标为______．

9．若曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为________.

10．设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是___________.

11．曲线的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是______．

12．曲线在点处的切线方程为________.

13．曲线在点处的切线方程为_________．

14．过点的直线与曲线相切，且不是切点，则直线的斜率为____________

15．已知函数的导函数为，若曲线在处的切线为，则________.

16．设函数可导，则____________．

17．曲线在点P）处的切线方程是________.

18．已知球的体积V是关于半径r的函数，，则r=2时，球的体积的瞬时变化率为________

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：求出导函数，然后求出时的导数值，函数值，由点斜式写出直线方程并化简．

详解：

当时，.

又当时，，

函数的图象在点处切线的方程为，

即.

2．【答案】3

【解析】将代入切线，得，又，所以，得，

曲线解析式为，再将代入可得．

3．【答案】

【解析】分析：由题意知切点为，根据导数的几何意义求切线的斜率，即可得切线方程；

详解：，.又曲线过点，故切线方程为.

故答案为：；

【点睛】

本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，首先由切点在曲线上求点坐标，进而由该点导数的几何意义求斜率，写出切线方程，属于简单题；

4．【答案】

【解析】分析：求导得到，计算，利用点斜式即可得到答案.

详解：由得：

，，

因为切点在曲线上，

所以所求切线方程为，即．

故答案为：.

5．【答案】

【解析】分析：利用切点和斜率求得切线方程.

详解：，即切点为，

，即斜率为，

所以切线方程为，即.

故答案为：

6．【答案】

【解析】分析：求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程，可得的方程，两边取自然对数，计算可得所求值．

详解：的导数为，

由已知可得，，

即，可得，

两边取自然对数可得，

整理可得，

故答案为：．

7．【答案】

【解析】分析：求导得到设切点为，根据切线过原点，由求解.

详解：因为

所以

设切点为，

因为切线过原点，

所以，

解得，

所以，

所以切线方程是，

故答案为：

【点睛】

本题在考查导数的几何意义，属于基础题.

8．【答案】或.

【解析】分析：设切点，利用导数的几何意义列方程即可求解.

详解：由可得，

设切点，由题意可得，

解得：，即，

当时，，此时点的坐标为

当时，，此时点的坐标为，

故答案为：或.

9．【答案】

【解析】分析：利用切线与直线平行可得切线斜率，利用导数的几何意义构造方程可求得切点坐标，验证是否与平行后即可得到结果.

详解：设，，，

在点处的切线平行于直线：，，即，解得：，

当时，，则切线方程为，即，与重合，不合题意；

当时，，则切线方程为，即，与平行；

综上所述：.

故答案为：.

【点睛】

易错点点睛：本题容易忽视对所得直线是否与给定直线重合进行检验，从而导致增解．

10．【答案】

【解析】分析：设切点坐标为，根据导数的几何意义可求得切线方程，得到，令，利用导数可求得，由此可得结果.

详解：设与曲线相切的切点坐标为，

，切线斜率，

切线方程为：，即，

又切线方程为，，

，

令，，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，即的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：本题考查最值问题的求解，解题关键是能够利用导数的几何意义表示出切线方程，从而将转化为关于的函数的形式，从而利用导数求得最值.

11．【答案】

【解析】分析：根据函数求导，再由切线的斜率为4，求得切点的坐标，写出切线方程.

详解：因为，

所以，

设切点为，

因为切线的斜率为4，

所以，

解得，

所以该切线的方程是，即

故答案为：

12．【答案】

【解析】分析：求出，代入切点横坐标，得到切线斜率，然后点斜式写出直线方程，得到答案.

详解：，

求导得，

代入，得到切线斜率为，

所以切线方程为，

即．

故答案为．

【点睛】

本题考查利用导数求函数图像在一点的切线方程，属于简单题.

13．【答案】

【解析】分析：求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可.

详解：，曲线在点处的切线方程为，即．

故答案为：

14．【答案】

【解析】分析：设切点坐标为，故切线斜率为：，进而得切线方程，再将代入解得，进而得答案.

详解：解：设切点为，则，

求导得：，

所以直线的斜率为：，

所以切线方程为：，

又因为切线过点，

所以，

整理得：，即：，

所以，故切点的横坐标为，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查未知切点的切线问题，考查运算求解能力，解题的关键在于设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程，解出切点坐标，进而得切线方程.是中档题.

15．【答案】

【解析】分析：利用导数的几何意义即可得到答案.

详解：由导数的几何意义，知，，

所以.

故答案为：

16．【答案】

【解析】分析：利用导数的定义计算即可.

详解：由导数的定义可知：，

所以.

故答案为：

17．【答案】

【解析】分析：先利用导数求出斜率，再用点斜式写出切线方程.

详解：因为，所以，

所以切线斜率

所以切线方程为：，

故答案为：.

【点睛】

用导数求切线方程常见类型：

(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；

(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：.

18．【答案】

【解析】分析：利用瞬时变化率的概念求解即可.

详解：，

，

当趋于0时，趋于.

故答案为：.