高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 瞬时变化率巩固练习

【名师】1.2 瞬时变化率作业练习

一．填空题

1．函数的图象在处的切线方程________.

2．曲线在点处的切线斜率为_____________.

3．曲线在点处的切线方程是______.

4．函数的图象在点处的切线方程为____

5．已知函数，，若与在公共点处的切线相同，则________.

6．曲线在点处的切线方程是______.

7．若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是______.

8．函数的图像在处的切线方程为______.

9．对于函数有下列命题：

①在该函数图象上一点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为；

②函数f(x)的最小值为；

③该函数图象与x轴有4个交点；

④函数f(x)在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.

其中正确命题的序号是_____.

10．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是______．

11．已知曲线，过点的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为______________.

12．曲线在处的切线方程为_________．

13．函数在处的切线方程是____________.

14．若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是________.

15．函数在点处的切线方程为______________；

16．设函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为______________．

17．若曲线在点处的切线的斜率为，则_________.

18．已知函数，则在处的切线方程_____________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：先对函数求导，根据导数的几何意义，求出函数在处的切线斜率，进而可得切线方程.

详解：因为当时，，则，

所以，即函数的图象在处的切线为，

又，故所求切线方程为，即.

故答案为：.

2．【答案】9

【解析】分析：求出函数的导数，将代入即可

详解：由题意可得

所以曲线在点处的切线斜率为

故答案为：9

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3．【答案】

【解析】分析：根据，求导为，然后求得，由点斜式写出切线方程.

详解：因为，

所以，

所以，

所以函数在点处的切线方程是，即，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

4．【答案】

【解析】分析：求出导函数，计算得切线斜率，写出切线方程．

详解：由题意，∴，又，

∴切线方程为，即．

故答案为：．

5．【答案】

【解析】分析：设公共点为，由，求出，从而求出，将点代入即可求解.

详解：，，

则，

设公共点为，且，由，

即，解得或（舍去），

所以，

所以，解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

6．【答案】

【解析】分析：先求出函数的导数，再求出，再根据直线方程的点斜式即可求出结果.

详解：设，所以

所以，

所以点处的切线方程为，即，整理可得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于基础题.

7．【答案】

【解析】分析：求出导函数，只需有正解，分离参数可得，利用基本不等式即可求解.

详解：函数定义域为，导函数为，

使得存在垂直于y轴的切线，即有正解，可得有解，

因为，所以，当且仅当““时等号成立，

所以实数a的取值范围是

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：首先计算，得到切点为，求导将代入得到，再利用点斜式写出切线方程即可.

详解：，切点为.

，，切线为，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，属于简单题.

9．【答案】①②④

【解析】分析：求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③.

详解：x≤0时，f(x)＝2xex，f′(x)＝2（1+x）ex，故f′（﹣2）＝，①正确；

且f(x)在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x≤0时，f(x)有最小值f（﹣1）＝，

x＞0时，f(x)＝在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x＞0时，f(x)有最小值f（1）＝

故f(x)有最小值，②④正确；

令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误；

故答案为：①②④

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性．求函数的最值一定注意定义域.

10．【答案】

【解析】分析：首先求出导函数，求出，利用导数的几何意义即可求解.

详解：由，则，

所以，

设切线的倾斜角为，

所以，

因为，

所以.

故答案为：

11．【答案】0或或

【解析】分析：设切点的坐标，由求出切线方程，把代入切线方程可求得切点坐标．

详解：设的坐标为，，

过点的切线方程为，

代入点的坐标有，

整理为，

解得或或，

故答案为：0或或.

【点睛】

本题考查导数的几何意义．求函数图象的切线方程要分两种情况：

（1）函数图象在点处的切线方程，求出导函数，得出切线方程；

（2）函数图象过点处的切线方程：设切线坐标，求出切线方程为，代入求得，从而得切线方程．

12．【答案】

【解析】分析：先求导数，求得的值，并利用导数求得的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

详解：，，

根据导数的几何意义可知曲线在点处的切线斜率为，

∴切线方程为，即．

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】分析：先求导，代入得到斜率，利用点斜式写出切线方程即可.

详解：，

，

在处切线的斜率为，

由点斜式可得，在处切线方程为，

即，

故答案为：.

【点晴】

方法点晴：利用导数求曲线切线方程.

求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.

14．【答案】

【解析】分析：首先设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率，从而可得，将问题转化为与 存在两个不同的交点，通过导数研究的图象，从而得到的取值范围.

详解：由题意得的定义域为，且，设切点坐标为，则过原点的切线斜率，整理得存在两条过原点的切线，存在两个不同的解.设，则问题等价于于存在两个不同的交点，又当时，，单调递增，当 时，，单调递减，.又当时，；当时，，若于存在两个不同的交点，则.解得.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解：

15．【答案】

【解析】分析：由题意，求得，得到，进而得到切线的斜率，在利用直线的点斜式，即可得到切线的方程．

详解：由题意，函数，可得，则，

即切线的斜率为，又，

所以函数在点处的切线方程为，

即．

【点睛】

本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，利用导数的几何意义解题时的注意点：①首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出；②切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组；③在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．

16．【答案】

【解析】分析：首先根据函数是奇函数，求的值，再利用导数的几何意义求切线方程.

详解：是奇函数，，

即，

即，

，

，，

所以函数在处的切线方程为，

即.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.

17．【答案】5

【解析】分析：先对函数求导，根据导数的几何意义，列出等式，即可得出结果.

详解：因为，所以，

又曲线在点处的切线的斜率为，

∴，∴.

故答案为：5.

18．【答案】

【解析】分析：求导数得切线斜率，然后可写出切线方程．

详解：由已知，所以，又，

所以切线方程为，即．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求出导函数，得出切线斜率后直接写出切线方程．解题时要注意所给点是不是切点，问题是求函数在某点处的切线方程还是过某点的切线方程，

如果是求过点，则设切点为，由此点求出切线方程，代入后求得切点坐标，从而得切线方程．