数学选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和课堂检测

【精挑】2.2 等差数列的前n项和-2优选练习

一．填空题

1．已知数列是各项都为正数的等差数列，是方程的两个实数根，则的最大值为__________．

2．在等差数列中，则=______.

3．已知等差数列，，则________.

4．已知等差数列中，，，则数列的公差为______.

5．已知数列对任意的满足，若，则___

6．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为____（用具体数字作答）

7．已知是等差数列，若，则_______.

8．数列中：且数列是等差数列，则数列的通项公式为______

9．已知数列为等差数列，若，则的值为_______．

10．已知f（x）＝x2﹣4x+2，数列{an}是等差数列且单调递减，a1＝f（a+1），a2＝0，a3＝f（a﹣1），则数列{an}的公差为_____，数列{an}的通项公式为_____．

11．已知等差数列的公差，且，则______.

12．各项均不为零的数列的前n项和为，且，，则数列的通项公式为_________．

13．已知，且，则___________．

14．已知等差数列（公差不为零）和等差数列，如果关于x的方程：有实数解，那么以下2021个方程，，，…，中，无实数解的方程最多有______个.

15．等差数列中，，，则与等差中项的值为_____

16．若三个非零且互不相等的实数，，成等差数列且满足，则称，，为一个“等差数列”，已知集合，则由中的上元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为_______.

17．已知数列满足，则________．

18．将正偶数集合从小到大按第组有个偶数进行分组：，，，则2020位于第_______组.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】利用根与系数的关系可得，再结合等差数列的性质及基本不等式，即可求出的最大值．

详解：因为是方程的两个实数根，所以，

又，所以，

又数列是各项都为正数，所以，，

所以，当且仅当时，取等号．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质及基本不等式的应用，属于中档题．

2．【答案】

【解析】利用等差数列的通项公式：即可求解.

详解：设等差数列的公差为，

由，

且，

解得，，

所以，

故答案为：

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式以及基本量的运算，属于基础题.

3．【答案】10

【解析】利用已知条件求出首项和公差，即可求出的值.

详解：设等差数列的公差为，由题意知： 解得： ，

所以，

故答案为：10

【点睛】

本题主要考查了等差数列通项公式，以及求等差数列的项，属于基础题.

4．【答案】2

【解析】设数列的公差为，则由题意可得，，由此解得的值．

详解：设数列的公差为，则由，，

可得，，

解得.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式的应用，由已知条件求基本量识记公式，属基础题．

5．【答案】4

【解析】令，则，即，所以数列是以首项，为公差的等差数列，所以，从而可求出.

详解：解：令，则，即，所以数列是以首项，为公差的等差数列，所以，

所以.

故答案为：4.

【点睛】

此题考查的是由数列的递推关系构造等差数列，属于基础题.

6．【答案】12288

【解析】设表示第行的第个数，根据等差数列的性质以及递推公式求通项的方法得出，从而得出这个数表中的第11行第7个数.

详解：设表示第行的第个数

由数表可知，每一行成等差数列，且第行的公差为

则

，则

即数列是首项为，公差为的等差数列

则，即

即

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了求等差数列的通项公式以及求等差数列的项，属于中档题.

7．【答案】7

【解析】，所以.

故答案为：7

8．【答案】

【解析】根据条件，求出等差数列的通项公式，再推导出即可.

【详解】

因为数列是等差数列，记，故为等差数列，

由题可知：

故可得数列的公差为：，首项

故

故可得：

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列基本量的求解，属基础题.

9．【答案】

【解析】先利用等差数列的性质求出，进而得，再代入所求即可．

详解：因为为等差数列，且，

由等差数列的性质得，

所以，

故.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查等差数列性质的应用．属于较易题.

10．【答案】﹣2    4﹣2n 

【解析】首先由数列{an}是等差数列，可得，易得或3，数列{an}是等差数列且单调递减，舍去一个，易得公差和通项公式.

【详解】

因为数列是等差数列，所以，所以有，

，解得或3，

又因为数列是等差数列且单调递减，所以当时，公差为2不符合题意,舍去.

当时，易得公差，，

所以数列的通项公式为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查等差数列的基本量运算，利用等差中项求解的值是本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

11．【答案】

【解析】将代换成和，代入，求得与的关系，再结合等差数列下标性质得，即可求解

详解：由题可知，，故，解得，

由等差数列的性质可得

故答案为：

【点睛】

本题考查等差数列基本量的求解，下标性质的应用，属于基础题

12．【答案】

【解析】根据数列的递推关系构造等差数列，利用与的关系即可求出数列的通项公式．

详解：解：由得，

当时，，

，，

等式两边同时除以得，

即是以3为首项，3为公差的等差数列，

则，

即，则，，

不满足，，

数列的通项公式，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解，利用数列的递推关系结合与的关系是解决本题的关键．

13．【答案】58

【解析】由递推公式可得中偶数项组成等差数列，结合等差数列的通项公式可求出，进而可求出.

详解：由题意知，当时，，

所以，则中偶数项组成等差数列，由得，

，当时，.

故答案为:58.

【点睛】

本题考查了由递推公式求数列中的项，考查了等差数列的通项公式，属于基础题.

14．【答案】1010

【解析】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，由等差数列的性质可得，设，，由一次函数与二次函数的图象与性质即可得解.

详解：设等差数列的公差为，等差数列的公差为，

则，，

所以原方程可变为，

由该方程有实数解可得即，

若要使方程无解，

则要使，

设，

，

易得为开口向上的抛物线的一部分，为直线的一部分，

又时，，

所以满足的的取值最多可有1010个，

即无实数解的方程最多有1010个.

故答案为：1010.

【点睛】

本题考查了等差数列性质的应用，考查了函数与方程思想及转化化归思想，属于中档题.

15．【答案】11

【解析】利用可得与等差中项.

详解：根据题意，等差数列中，，，

则有，

则与等差中项为；

故答案为11.

【点睛】

本题考查等差中项，充分利用为等差数列时，则是解题的关键.

16．【答案】

【解析】首先要确定构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有50组．

详解：由三个非零且互不相等的实数，，成等差数列且满足，

可得

消去，并整理得，

所以（舍去），，

于是有．

在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数列，

所以必为2的倍数，且，，

故这样的数组共50组．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查等差中项的简单应用，属于常考题型.

17．【答案】

【解析】项和转化可得，讨论是否满足，分段表示即得解

详解：当时，由已知，可得，

∵，①

故，②

由①-②得，

∴．

显然当时不满足上式，

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用求，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.

18．【答案】32

【解析】首先可得2020是第1010项，根据等差数列求和公式，利用每一组个数特点，可得前31组共992项，前32组共1056项，可得结果.

【详解】

据题意：

，

所以2020是第1010项

且每一组的个数成等差数列2，4，6,

所以可知前31组共项，

前32组共项

所以2020在第32组

故答案为：32

【点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题.