高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和课时训练

【精编】2.2 等差数列的前n项和优选练习

一．填空题

1．数列满足，且，若，则正整数________

2．已知数列为等差数列，若，则________

3．已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________．

4．在平面直角坐标系中，已知点，，直线，其中实数，，成等差数列，若点在直线上的射影为，则线段的取值范围是__________．

5．已知是首项为，公差为1的等差数列，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是____

6．已知数列为等差数列，其前n项和为若，则______．

7．已知数列是等差数列，公差，在行列式中，元素是实数，则所有元素的代数余子式的值大于零的个数有__个．

8．等差数列，，存在正整数，使得，，若集合有4个不同元素，则的可能取值有______个.

9．67是等差数列-5，1，7，13，中第项，则___________________．

10．已知是等差数列，若，，则的值是_________.

11．数1与9的等差中项是_____.

12．已知，，则的通项公式为________

13．《九章算术》“竹九节”问题；现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为_______，这9节竹子的总容积为_______.

14．如果等差数列的公差都为，若满足对于任意，都有，其中为常数，，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列中，首项，公差，数列为数列的“同宗”数列，若，则__________

15．等差数列中，若，则__________．

16．设数列{an}是等差数列，a1+a2+a3＝﹣24，a19＝26，则此数列{an}前20项和等于_____．

17．设等差数列满足，其前n顶和为，若数列也为等差数列，则______．

18．已知数列{an}的首项a1＝1，对任意n∈N，an．an+1是方程x2﹣3nx+bn＝0的两实根，则b2n﹣1＝_____

参考答案与试题解析

1．【答案】22

【解析】先由题意，得到数列是以为公差的等差数列，且单调递减；得到通项公式，，判断出时，；时，；即可得出结果.

【详解】

因为，即，

所以数列是以为公差的等差数列，且单调递减；

又，所以，

由得，因为，所以时，；

当时，，

因此，若，则.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的通项公式，以及等差数列的单调性即可，属于常考题型.

2．【答案】

【解析】利用等差数列的性质,转化为进行计算可得.

【详解】

因为,

根据等差数列的性质可得,,所以,

所以.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质,属于基础题.

3．【答案】

【解析】因为，所以，

两式作差得，所以，

两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列.

若对恒成立，当且仅当.

又，，

所以，解得：.

即首项的取值范围是.

4．【答案】

【解析】根据，，成等差数列，可知道直线过定点，又，故点在以为直径的圆上，即可写出圆的标准方程，而线段的取值范围即为圆上动点到的取值范围，即可求出答案。

【详解】

因为直线，实数，，成等差数列，

所以，化简得

令，即直线过定点,

又因为 ，

所以点在以为直径的圆上，其圆心为中点 ，半径

圆的方程为 ，由

所以，

所以线段的取值范围是

【点睛】

本题考查等差中项的应用，直线过定点，点与圆的位置关系，解本题的关键在于求出动点的轨迹方程，属于中档题。

5．【答案】

【解析】根据已知可求得数列的通项，进而求得，再由数列的性质可得的取值范围。

【详解】

由题得，则，对任意的，都有成立，而关于的单调性为时单调递减，时单调递减，且时，时。而时，最大，所以

，且，故.

【点睛】

此题是关于数列单调性的问题，引用函数的单调性加以解决，但需考虑定义域是正整数集，难度属于中等。

6．【答案】12

【解析】由，得，再由，能求出结果．

【详解】

解：数列为等差数列，其前n项和为，

，

解得，

．

【点睛】

本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7．【答案】4

【解析】写出行列式的所有元素的代数余子式，计算行列式的值，即可得到结论．

【详解】

行列式的所有元素的代数余子式为，，，，，，，，，由于不考虑符号，各行列式的值均小于0，比如（a1+4d）（a1+8d）﹣（a1+5d）（a1+7d）＝﹣3d2＜0，所以所有元素的代数余子式大于零的个数有4个

故答案为：4.

【点睛】

本题考查行列式，考查行列式元素的代数余子式，考查计算能力，属于基础题．

8．【答案】4

【解析】由题意得为周期数列，集合有4个不同元素，得，在分别对取值讨论即可.

【详解】

设等差数列的首项为，公差为，则，，

由题意，存在正整数，使得，又集合有4个不同元素，得，

当时，，即，

，或（舍），

，取，则，在单位圆上的4个等分点可取到4个不同的正弦值，即集合可取4个不同元素；

当，，即，

，在单位圆上的5个等分点不可能取到4个不同的正弦值，故舍去；

同理可得：当，，，集合可取4个不同元素；

当时，，单位圆上至少9个等分点取4个不同的正弦值，必有至少3个相等的正弦值，不符合集合的元素互异性，故不可取应舍去.

故答案：4.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式．集合元素的性质以及三角函数的周期性，理解分析问题能力，属于难题.

9．【答案】13

【解析】根据数列写出等差数列通项公式,再令算出即可.

【详解】

由题意,首项为-5,公差为,则等差数列通项公式,令,则

故答案为：13.

【点睛】

等差数列首项为公差为,则通项公式

10．【答案】

【解析】因为是等差数列，，所以，又，解得：或，当时，，，当时，，，所以填.

11．【答案】5

【解析】若．．成等差数列,则,称为．的等差中项,由题,故,解出即可

【详解】

设等差中项为,则,

故答案为：5

【点睛】

本题考查等差中项的概念,属于基础题

12．【答案】

【解析】首先求得的值，然后整理递推关系式，结合等差数列的通项公式即可确定其通项公式.

【详解】

由递推关系式可得：，即，

且由可得，

故数列是以为首项，以1为公差的等差数列，

则，，

故数列的通项公式为：.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解，等差数列的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

13．【答案】升    升 

【解析】由题意可知，，

解得，，再由计算可得解.

【详解】

解：将自上而下各节竹子的容积分别记为，，…，，

依题意可得，，

即①，②，，得，解得，

把代入①，得，

故升.

【点睛】

本题考查数学文化与等差数列，考查运算求解能力与应用意识.

14．【答案】2

【解析】由等差数列通项公式得，由新定义可得，，分别讨论，2，3，，，求得的极限，由数列的单调性可得．

【详解】

由等差数列中，首项，公差，

可得，

数列为数列的“同宗”数列，

可得，

由，

则，

当时，

若

，不成立；

当时，

，成立；

当时，

，不成立；

同理可得时，

，

由，

即，可设，

，可得递减，，

可得仅有时，，

故答案为：2.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消法求和，以及数列极限的求法，考查分类讨论思想方法和运算能力．推理能力，属于中档题．

15．【答案】

【解析】利用等差数列的性质：“若，则”即可求解.

【详解】

解:依题意，，

所以,

所以.

故答案为: .

【点睛】

本题主要等差数列的性质，需掌握等差数列的有关性质，属于基础题.

16．【答案】180

【解析】利用等差数列性质先求解，再利用，及求和公式。求

【详解】

，

故答案为：180.

【点睛】

等差数列重要性质，若，则.

17．【答案】

【解析】求出等差数列求和公式，以及通项公式，求出数列的公差，得到数列的和，然后求解数列的极限

【详解】

设等差数列满足，，其前n顶和为，

则，，

数列也为等差数列，可得，

可得，所以

故答案为：．

【点睛】

本题考查等差数列的应用，数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力．

18．【答案】（3n﹣1）（3n﹣2）

【解析】先求出，再利用bn＝anan+求b2n﹣1得解.

【详解】

根据题意，an．an+1是方程x2﹣3nx+bn＝0的两实根，则an+an+1＝3n，①

则有an﹣1+an＝3（n﹣1），②

 ①﹣②可得：an+1﹣an﹣1＝3，

且当n＝1时，有a1+a2＝3，又由a1＝1，则a2＝2，

则

又由an．an+1是方程x2﹣3nx+bn＝0的两实根，则bn＝anan+1，

则b2n﹣1＝a（2n﹣1）a2n＝[]×[﹣1]＝（3n﹣1）（3n﹣2）；

故答案为：（3n﹣1）（3n﹣2）．

【点睛】

本题主要考查等差数列通项的求法，考查一元二次方程的根与系数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.