高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质课时训练

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课时跟踪检测（三十九） 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性层级(一)　“四基”落实练1．函数y＝4sin(2x－π)的图象关于(　　)A．x轴对称　　　　　　 B．原点对称C．y轴对称  D．直线x＝对称解析：选B　y＝4sin(2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称．2．函数y＝sin的奇偶性是(　　)A．奇函数  B．偶函数C．非奇非偶函数  D．既是奇函数也是偶函数解析：选B　y＝sin＝sin＝cos，故为偶函数．3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)解析：选B　由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.4．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　)A．1  B．－1C．0  D．2解析：选B　由已知得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f＝f＝f＝－f＝－1.5．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)A．10  B．11C．12  D．13解析：选D　∵T＝＝≤2，∴k≥4π.又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.6．若函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω＞0，则ω＝________.解析：由已知得＝，又ω＞0，所以＝，ω＝10.答案：107．若f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝cos x－sin x，当x＜0时，f(x)的解析式为________．解析：x＜0时，－x＞0，f(－x)＝cos(－x)－sin(－x)＝cos x＋sin x.因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－cos x－sin x，即x＜0时，f(x)＝－cos x－sin x.答案：f(x)＝－cos x－sin x8．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝coscos(π＋x)；(2)f(x)＝ ＋.解：(1)x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x.∵f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x＝－f(x)，∴该函数是奇函数．(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0.∴f(x)＝ ＋的定义域为R.∵f(－x)＝＋＝ ＋＝f(x)，∴该函数是偶函数． 层级(二)　能力提升练1．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于(　　)A．1  B．C．0  D．－解析：选B　f＝f＝f＝sin＝.2．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)＝________.解析：因为f(x)·f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝＝.答案：3．已知函数f(x)＝sin是奇函数，则φ∈时，φ的值为________．解析：由已知＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，又∵φ∈，∴k＝0时，φ＝－符合条件．答案：－4．已知函数f(x)＝sin x＋|sin x|.(1)画出函数f(x)的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)f(x)＝sin x＋|sin x|＝图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.5．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．(1)求证：函数f(x)是周期函数；(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，∴函数f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是f(x)的一个周期，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝. 层级(三)　素养培优练1．方程cos＝x在区间(0,100π]内解的个数是(　　)A．98  B．100C．102  D．200解析：选B　由cos＝－sin x＝x，可在同一坐标系内作出函数y＝－sin x与y＝x的图象，要判断在(0,100π]内的解的个数，应先判断y＝－sin x与y＝x在一个周期内的个数，结合图象知在每个周期有2个交点，故一共有2×＝100个．2．写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________.解析：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，∴此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意．由此可知f(x)＝sin ωx且T＝⇒f(x)＝sin πx.答案：sin πx3．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．解：当x∈时，g(x)＝f＝cos.因为x＋∈，所以由g(x)＝，解得x＋＝－或，即x＝－或－.又因为g(x)的最小正周期为π，所以g(x)＝的解集为.