高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念巩固练习

一、单选题

1．在复平面内，O是原点．向量对应的复数为，其中为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数的共轭复数为（    ）

A． B．

C． D．

2．已知复数（其中为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点为（    ）

A．（3，4） B．（3，－4）

C．（4，3） D．（4，－3）

3．设，，则（    ）

A． B． C． D．

4．若，求实数m的取值范围（        ）

A．（1，+） B．（）

C．（，2） D．（）

5．已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在（    ）.

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，满足条件的点与之间的最大距离为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题

7．下列命题中正确的是（    ）

A．在复平面内，实数对应的点都在实轴上

B．在复平面内，纯虚数对应的点都在虚轴上

C．在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数

D．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数

8．设为复数，在复平面内、对应的点分别为、，坐标原点为，则下列命题中正确的有（    ）

A．当为纯虚数时，三点共线

B．当时，为等腰直角三角形

C．对任意复数，

D．当为实数时，

三、填空题

9．已知，若复数为纯虚数，则______．

10．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．

11．已知复数z满足，则的取值范围是__________.

12．把复数在复平面内对应的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点，把所得向量绕点按逆时针方向旋转90°，得到向量，则点对应的复数为____________．

四、解答题

13．已知复平面内的点，对应的复数分别是，，其中．设对应的复数是.

(1)求复数；

(2)若复数对应的点在直线，求的值．

14．已知复数在复平面上对应的点为Z，

(1)求点Z在实轴上时，实数m的取值；

(2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值；

(3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.

15．已知，，，，，求．

16．已知复数

（1）若z为纯虚数，求实数m的值；

（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值

参考答案：

1．C

【分析】根据对称求得点的坐标，从而求出对应的复数

【详解】由题意，得，，

所以向量对应的复数为

所以向量对应的复数的共轭复数为，

故选：C．

2．D

【解析】根据复数乘法的运算法则、结合共轭复数的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以复数的共轭复数，因此复数的共轭复数在复平面内对应的点为（4，－3）.

故选：D

3．B

【分析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得，进而求模长即可.

【详解】因为，所以，解得，

所以.

故选：B.

4．B

【分析】将不等式化简为：，故，解不等式即可求出答案.

【详解】由题意知，，

故，解得：.

所以实数m的取值范围为。

故选：B.

5．A

【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数相等求出复数z即可作答.

【详解】设，，则，由得：，

即，于是得，解得，则有对应的点为，

所以在复平面内复数z对应的点在第一象限.

故选：A

6．C

【分析】由复数的运算化简，由为纯虚数可求得的值，从而可求得，，设且，，由两点间的距离公式即可求解点与之间的最大距离.

【详解】由，

因为复数（是虚数单位，）是纯虚数，

所以，解得，

所以，则，

由于，故设且，，

所以，

故点与之间的最大距离为3.

故选：C.

7．ABC

【分析】根据复数的几何意义，依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，在复平面内，实数对应的点都在实轴上，故正确；

对于B选项，在复平面内，纯虚数对应的点都在虚轴上，故正确；

对于C选项，在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数，故正确；

对于D选项，实数零对应的点也在虚轴上，故错误的．

故选：ABC

8．ABD

【分析】设，则，对A、C、D按要求写出复数对应的坐标，即可判断正误；对B写出，坐标并求出各边的长度即可判断C的正误.

【详解】设，则，

对A：当为纯虚数时，，对应的点分别为、，均在轴上，所以三点共线，故A正确；

对B: 当时，，所以，，所以，而，

所以，所以为等腰直角三角形，故B正确；

对C：,,当时，，故C错误；

对D：当为实数时，，此时，故D正确.

故选：ABD

9．

【分析】利用纯虚数的概念，实部为零且虚部不为零，解出即可

【详解】因为为纯虚数，

所以，解得

故答案为：

10．－6－8i

【分析】由复数的几何意义得出向量与的坐标，再由向量的运算得出的坐标，进而得出其复数.

【详解】因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以

又，所以向量表示的复数是－6－8i．

故答案为：－6－8i

11．

【分析】设，，由复数满足，可得在复平面内点表示的是以为圆心，为半径的圆．表示的是点与之间的距离，求出圆心与点之间的距离．可得的范围是，．

【详解】解：设，，

复数满足，

，即．

在复平面内点表示的是以为圆心，为半径的圆．

表示的是点与之间的距离，

圆心与点之间的距离．

则的范围是，，即．

故答案为：．

12．

【分析】根据条件先得出点的坐标，然后得出点的坐标即可.

【详解】复数在复平面内对应的点为，

将其向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点，所以

所以，即点对应的复数为

故答案为：

13．(1)

(2)或

【分析】根据复数的几何意义即可求解.

【详解】（1）因为点，对应的复数分别是

，，

所以点，的坐标分别是，，

所以

所以.

（2）由（1）知点的坐标是，代入，

得，即，所以，

又因为，所以，

所以或.

14．(1)或；

(2)或；

(3)或.

【分析】（1）由实轴上点对应的复数虚部为0求解；

（2）由虚轴上的点对应的实部为0求解；

（3）根据第一象限中点的坐标对应实部、虚部正负列不等式组求解.

【详解】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部，

解得或.

（2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0，

所以，解得或.

（3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0，

即，解得或.

15．

【分析】设复数对应，对应，，利用余弦定理可得，再利用余弦定理即可得出答案．

【详解】

设复数对应，对应，，

则，

解得．

．

．

16．（1）1；（2），.

【解析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．

（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．

【详解】解：（1）为纯虚数，

且

（2）在复平面内的对应点为

由题意：，．

即实数的取值范围是．

而，

当时，．