第三章末过关检测

这是一份第三章末过关检测，共7页。
章末过关检测(三)　函数的概念与性质一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是(　　)　2．函数f(x)＝ eq \f(\r(x－1),x－2) 的定义域为(　　)A．[1，2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，2) D．[1，＋∞)3．[2022·北京昌平高一期中]已知函数y＝f(x)表示为设f(1)＝m，f(x)的值域为M，则(　　)A.m＝－2，M＝{－2，0，1} B．m＝－2，M＝{y|－2≤y≤1}C.m＝1，M＝{－2，0，1} D．m＝1，M＝{y|－2≤y≤1}4．已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－3，则f(1)的值为(　　)A.0 B．1 C．2 D．35．已知f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≥0，,x2＋1，x＜0，)) 则f(f(7))的值为(　　)A.－20 B．2 C．7 D．56．已知幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不过原点，则实数m的取值为(　　)A.1 B．2 C．－2 D．1或27．设函数f(x)＝mx＋ eq \f(4,x) ＋2在(0，＋∞)上的最小值为7，则f(x)在(－∞，0)上的最大值为(　　)A.－9 B．－7 C．－5 D．－38．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式 eq \f(f（x）＋f（－x）,3x) ＜0的解集为(　　)A.(－2，2) B．(－2，0)∪(2，＋∞)C.(－∞， －2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，2)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)A.f(t)＝t2与g(x)＝x2 B．f(x)＝x＋2与g(x)＝ eq \f(x2－4,x－2) C.f(x)＝|x|与g(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0,－x，x＜0))  D．f(x)＝x与g(x)＝( eq \r(x) )210．已知函数f(x)＝xa的图象经过点( eq \f(1,2) ，2)则(　　)A.f(x)的图象经过点(2，4) B．f(x)的图象关于原点对称C.f(x)在(0，＋∞)上单调递减 D．f(x)在(0，＋∞)内的值域为(0，＋∞)11．已知f(x)＝ eq \f(1＋x2,1－x2) ，则(　　)A.f(－x)＝f(x) B．f( eq \f(1,x) )＝f(x) C．f( eq \f(1,x) )＝－f(x) D．f(－ eq \f(1,x) )＝－f(x)12．“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是(　　)A.如果购物时一次性全部付款99元，则购物总额为104元B.如果购物总额为228元，则应付款为205.2元C.如果购物总额为368元，则应付款为294.4元D.如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．幂函数y＝xα的图象过点(2， eq \r(2) )，则α＝________．14．[x]为不超过x的最大整数，若函数f(x)＝[x]，x∈(a，b)，f(x)的值域为{－1，0，1，2}，则b－a的最大值为________．15．已知函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[2，8]上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．16．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1,x2＋x－1，x＜1)) ，那么f(f(4))＝________，若存在实数a，使得f(a)＝f(f(a))，则a的个数是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1(1)求f(x)解析式；(2)画出函数图象，并写出单调区间(无需证明).18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋4，x＞0,0，x＝0,x2＋4x＋4，x＜0)) .(1)求f(f(－1))的值；(2)若f(a)＝2，求a的值．19．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的最大值为2，且f(0)＝f(2)＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2m，m＋3]上不单调，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ eq \f(x－1,x＋2) ，x∈[3，5].(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的值域．21．(本小题满分12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)函数R(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80 000，x＞400，)) 其中x是仪器的产量(单位：台).(1)将利润f(x)(单位：元)表示为产量x的函数(利润＝总收益－总成本)；(2)当产量x为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？22．(本小题满分12分)函数f(x)＝ eq \f(ax－b,4－x2) 是定义在(－2，2)上的奇函数，且f(1)＝ eq \f(1,3) .(1)确定f(x)的解析式；(2)判断f(x)在(－2，2)上的单调性，并用定义证明；(3)解关于t的不等式f(t－1)＋f(t)＜0.章末过关检测(三)　函数的概念与性质1．解析：函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义．其它三个选项都符合函数的定义．答案：C2．解析：函数f(x)＝ eq \f(\r(x－1),x－2) 有意义，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0,x－2≠0)) ，解得x≥1且x≠2，所以原函数的定义域是[1，2)∪(2，＋∞).答案：A3．解析：根据题意得f(1)＝－2＝m，f(x)的值域为M＝{－2，0，1}．答案：A4．解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－3，因此 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝4，,kb＋b＝－3)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－1)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝3，)) 所以f(x)＝2x－1或f(x)＝－2x＋3.当f(x)＝2x－1时，f(1)＝1；当f(x)＝－2x＋3时， f(1)＝1.综上f(1)＝1.答案：B5．解析：f(7)＝－7＋6＝－1，f(f(7))＝f(－1)＝(－1)2＋1＝2.答案：B6．解析：由题意可知： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－3m＋3＝1,m2－m－2≤0)) ，解得m＝1或2，经检验，符合题意．答案：D7．解析：f(x)＝g(x)＋2，其中g(x)＝mx＋ eq \f(4,x) 为奇函数．由条件知(0，＋∞)上有g(x)min＝5，故在(－∞，0)上有g(x)max＝－5，所以在(－∞，0)上有f(x)max＝－5＋2＝－3.答案：D8．解析：∵f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则在(－∞，0)上为增函数，所以 eq \f(f（x）＋f（－x）,3x) ＝ eq \f(2f（x）,3x) ＜0，∴xf(x)＜0，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0,f（x）＜0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＜0,f（x）＞0)) ，解得：－2＜x＜0或x＞2，∴不等式 eq \f(f（x）＋f（－x）,3x) ＜0的解集为(－2，0)∪(2，＋∞).答案：B9．解析：A选项，f(x)与g(x)定义域都为R，定义域、解析式均相同，是同一函数；B选项，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠2}，定义域不同，不是同一函数；C选项，f(x)＝|x|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x≥0）,－x（x＜0）)) ，f(x)与g(x)定义域、解析式均相同，是同一函数；D选项，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝( eq \r(x) )2，定义域为{x|x≥0}，两函数定义域不同，不是同一函数．答案：AC10．解析：将点( eq \f(1,2) ，2)代入f(x)＝xa，可得a＝－1，则f(x)＝ eq \f(1,x) ，f(x)的图象不经过点(2，4)，A错误；根据反比例函数的图象与性质可得B，C，D正确．答案：BCD11．解析：f(－x)＝ eq \f(1＋（－x）2,1－（－x）2) ＝ eq \f(1＋x2,1－x2) ＝f(x)，A正确；f( eq \f(1,x) )＝ eq \f(1＋\f(1,x2),1－\f(1,x2)) ＝ eq \f(x2＋1,x2－1) ＝－f(x)，B错误，C正确；f(－ eq \f(1,x) )＝ eq \f(1＋（－\f(1,x)）2,1－（－\f(1,x)）2) ＝ eq \f(x2＋1,x2－1) ＝－f(x)，D正确．答案：ACD12．解析：设购物总额为x元，应付款f(x)元，则f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≤50,x－5，50＜x≤100,0.9x，100＜x≤300,300×0.9＋（x－300）×0.8，x＞300)) ，即f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≤50,x－5，50＜x≤100,0.9x，100＜x≤300,0.8x＋30，x＞300)) ，对于A，若f(x)＝99元，则只能是0.9x＝99，解得x＝110元，即购物总额为110元，故A不正确；对于B，当x＝228元时，f(228)＝0.9×228＝205.2元，即应付款为205.2元，故B正确；对于C，当x＝368元时，f(368)＝0.8×368＋30＝324.4元，即应付款为324.4元，故C不正确；对于D，若f(x)＝442.8元，则只能是0.8x＋30＝442.8，解得x＝516元，即购物总额为516元，故D正确．答案：BD13．解析：因为幂函数y＝xα的图象过点(2， eq \r(2) )，所以 eq \r(2) ＝2α，解得α＝ eq \f(1,2) .答案： eq \f(1,2) 14．解析：因为函数f(x)＝[x]，x∈(a，b)，f(x)的值域为{－1，0，1，2}，所以b最大取到3，a最小取到－1，所以b－a的最大值为3－(－1)＝4.答案：415．解析：函数f(x)＝x2－2ax＋3的对称轴是x＝a，开口向上，若函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[2，8]上是单调递增函数，则a≤2.答案：(－∞，2]16．解析：因为f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1,x2＋x－1，x＜1)) ，所以f(4)＝2－4＝－2，所以f(f(4))＝f(－2)＝(－2)2－2－1＝1，设f(a)＝t，则f(t)＝t，当t≥1时，f(t)＝2－t＝t，可得t＝1，当t＜1时，f(t)＝t2＋t－1＝t，可得t＝－1，所以f(a)＝1或f(a)＝－1，当a≥1时，由f(a)＝2－a＝1或f(a)＝2－a＝－1可得a＝1或a＝3；当a＜1时，f(a)＝a2＋a－1＝1或f(a)＝a2＋a－1＝－1可得a＝－2或a＝1(舍)或a＝－1或a＝0，综上所述：a＝－2，－1，0，1，3，有5个a符合题意．答案：1　517．解析：(1)当x＝0时，f(0)＝0，当x＞0时，－x＜0，f(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x＋1，所以f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1，x＜0,0，x＝0,－x2＋2x＋1，x＞0)) ，(2)f(x)的图象为：单调递增区间为：(－1，0)，(0，1)单调递减区间为：(－∞，－1)，(1，＋∞).18．解析：(1)f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋4，x＞0,0，x＝0,x2＋4x＋4，x＜0)) ，则f(－1)＝(－1)2－4＋4＝1，f(f(－1))＝f(1)＝1－4＋4＝1.(2)f(a)＝2，当a＞0时，f(a)＝a2－4a＋4＝2，解得a＝2＋ eq \r(2) 或a＝2－ eq \r(2) ；当a＝0时，f(a)＝0，不成立；当a＜0时，f(a)＝a2＋4a＋4＝2，解得a＝－2－ eq \r(2) 或a＝－2＋ eq \r(2) .综上所述：a＝2＋ eq \r(2) 或a＝2－ eq \r(2) 或a＝－2－ eq \r(2) 或a＝－2＋ eq \r(2) .19．解析：(1)∵二次函数f(x)的最大值为2，且f(0)＝f(2)＝0，∴对称轴方程为x＝1，设f(x)＝a(x－1)2＋2，∵f(0)＝0，∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－1)2＋2＝－2x2＋4x.(2)要使f(x)在区间[2m，m＋3]上不单调，则2m＜1＜m＋3，解得－2＜m＜ eq \f(1,2) ，故实数m的取值范围为(－2， eq \f(1,2) ).20．解析：(1)f(x)＝ eq \f(x－1,x＋2) ＝ eq \f(x＋2－3,x＋2) ＝1－ eq \f(3,x＋2) 在区间[3，5]上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝(1－ eq \f(3,x1＋2) )－(1－ eq \f(3,x2＋2) )＝ eq \f(3,x2＋2) － eq \f(3,x1＋2) ＝ eq \f(3（x1＋2）－3（x2＋2）,（x1＋2）（x2＋2）) ＝ eq \f(3（x1－x2）,（x1＋2）（x2＋2）) ，因为3≤x1