2022-2023学年上海市虹口区九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年上海市虹口区九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析，共51页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市虹口区九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（ ）
A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶9
2. 抛物线的顶点在（　　　）
A. x轴上 B. y轴上 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 如果将抛物线y=﹣x2﹣2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是（　　）
A. y=﹣x2﹣5 B. y=﹣x2+1 C. y=﹣（x﹣3）2﹣2 D. y=﹣（x+3）2﹣2
4. 已知=3， =5，且与的方向相反，用表示向量为（　　）
A B. C. D.
5. 如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所路程是13米，那么斜坡的坡度为（　　）

A. 1：2.6 B. 1: C. 1：2.4 D. 1:
6. 如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA＝，那么点C的位置可以在（ ）

A. 点C1处 B. 点C2处 C. 点C3处 D. 点C4处
二、填 空 题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果，那么_____．
8. 如果点P把线段AB分割成AP和PB两段（AP＞PB），其中AP是AB与PB的比例中项，那么AP：AB的值为_____．
9. 如果2，那么=_____（用向量，表示向量）．
10. 如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3点（2，1），那么m的值为_____．
11. 抛物线在对称轴_____（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的．
12. 如果将抛物线平移，顶点移到点P（3，-2）位置，那么所得新抛物线的表达式为___________．
13. 如果点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，那么该抛物线的对称轴为直线_____．
14. 如图，已知AD∥EF∥BC，如果AE=2EB，DF=6，那么CD长为_____．

15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，，那么AC=_____．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E如果BC=8，，那么BD=_____．

17. 如图，点P为∠MON平分线OC上一点，以点P为顶点的∠APB两边分别与射线OM、ON相交于点A、B，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．如果∠MON＝50°，∠APB是∠MON的关联角，那么∠APB的度数为_____．

18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8（如图），点D是边AB上一点，把△ABC绕着点D旋转90°得到△A'B'C'，边B'C'与边AB相交于点E，如果AD=BE，那么AD长为__．

三、解 答 题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
20. 小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象．


21. 如图，在△ABC中，点E在边AB上，点G是△ABC重心，联结AG并延长交BC于点D．
（1）若，用向量、表示向量；
（2）若∠B=∠ACE，AB=6，AC=2，BC=9，求EG的长．

22. 如图所示，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的同一水平线上，，之间的距离约为，现测得，与的夹角分别为与，若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点的距离为，求点到地面的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：，，）

23. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF·DF=BF·CF．
(1)求证：AD·AB=AE·AC；
(2)当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD的长与的值．

24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，-4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．
（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；
（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；
（3）在（2）条件下，点F在射线AE上，若△ADF∽△ABC，求点F 的坐标．

25. 已知AB=5，AD=4，AD∥BM，（如图），点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都没有与点B重合），联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC=x，．
（1）如图1，当x=4时，求AF的长；
（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）联结BD交AE于点P，若△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．

2022-2023学年上海市虹口区九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（ ）
A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶9
【正确答案】A

【详解】解：∵两个相似三角形对应边之比是1∶3，
∴它们的对应中线之比为1∶3．
故选A．
本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比，掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键．
2. 抛物线的顶点在（　　　）
A. x轴上 B. y轴上 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】B

【分析】将解析式化为顶点式即可得到答案.
【详解】=2(x+0)²-4
得：对称轴为y轴，则顶点坐标为(0,-4),在y轴上，
故选B.
3. 如果将抛物线y=﹣x2﹣2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是（　　）
A. y=﹣x2﹣5 B. y=﹣x2+1 C. y=﹣（x﹣3）2﹣2 D. y=﹣（x+3）2﹣2
【正确答案】C

【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】y=−x2−2的顶点坐标为(0,−2)，
∵向右平移3个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,−2)，
∴所得到的新抛物线的表达式是y=−(x−3)2−2.
故选C.
考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象平移的规律是解题的关键.
4. 已知=3， =5，且与的方向相反，用表示向量为（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据=3， =5，且与的方向相反，即可用表示向量.
【详解】=3， =5，
=
与的方向相反,

故选D.
考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.
5. 如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所路程是13米，那么斜坡的坡度为（　　）

A 1：2.6 B. 1: C. 1：2.4 D. 1:
【正确答案】C

【分析】根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻边的比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决．
【详解】如图

据题意得;AB=13、AC=5，
则BC=,
∴斜坡的坡度i=tan∠ABC==1∶2.4,
故选C.
6. 如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA＝，那么点C的位置可以在（ ）

A. 点C1处 B. 点C2处 C. 点C3处 D. 点C4处
【正确答案】D

【详解】如图：

∵AB=5,, ∴D=4, ∵, ∴,∴AC=4,
∵在RT△AD中，D,AD=8, ∴A=,故答案为D.
二、填 空 题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果，那么_____．
【正确答案】2

【详解】∵, ∴x= , ∴= .
8. 如果点P把线段AB分割成AP和PB两段（AP＞PB），其中AP是AB与PB的比例中项，那么AP：AB的值为_____．
【正确答案】

【详解】∵点P把线段分割成AP和PB两段(AP>PB)，AP是AB和PB的比例中项，
∴点P是线段AB的黄金分割点，
∴AP:AB=，
故答案为
9. 如果2，那么=_____（用向量，表示向量）．
【正确答案】

【详解】∵2(+)=+,∴2+2=+,∴=-2,
故答案为.
点睛:本题看成平面向量、一元方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题.
10. 如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3点（2，1），那么m的值为_____．
【正确答案】2

【分析】把点（2，1）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+3，即可求出m的值.
【详解】∵抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3点（2，1），
∴1= -4+2(m-1)+3,解得m=2,故答案为2.
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式.
11. 抛物线在对称轴_____（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的．
【正确答案】右侧

【分析】根据二次函数的性质解题．
【详解】解：∵a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的点，抛物线在对称轴右侧的部分是下降的，
故右侧．
点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质上解题的关键．
12. 如果将抛物线平移，顶点移到点P（3，-2）的位置，那么所得新抛物线的表达式为___________．
【正确答案】

【详解】抛物线y=−2x²平移,使顶点移到点P(3,-2)的位置,所得新抛物线的表达式为
y=−2(x-3)²-2.
故答案为y=−2(x-3)²-2.
13. 如果点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，那么该抛物线对称轴为直线_____．
【正确答案】x=4

【详解】根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等，可由点A（2，-4）和点B（6，-4）都在抛物线y=ax²+bx+c的图象上，得到其对称轴为x==2．故答案为x=4.
14. 如图，已知AD∥EF∥BC，如果AE=2EB，DF=6，那么CD的长为_____．

【正确答案】9

【详解】∵AD∥EF∥BC，,∴DF=6, ∴FC=3,DC=DF+FC=9,故答案为9.
15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，，那么AC=_____．
【正确答案】2

【详解】如图所示，

在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosA=，
∴cosA=，
则AC=AB=×6=2，
故答案为2.
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E如果BC=8，，那么BD=_____．

【正确答案】

【详解】：∵在RT△ABC中，∠C=90°,BC=8，tanA=,∴AC= ,
∴AB=,∵边AB的垂直平分线交边AB于点E, ∴BE=,∵在RT△BDE中，∠BED=90°, ∴co=,∴BD=,故答案为.
点睛：本题考查了解直角三角形，线段平分线的性质，掌握直角三角形中边角之间的关系是解答本题的关键.
17. 如图，点P为∠MON平分线OC上一点，以点P为顶点的∠APB两边分别与射线OM、ON相交于点A、B，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．如果∠MON＝50°，∠APB是∠MON的关联角，那么∠APB的度数为_____．

【正确答案】155°

【详解】∵OA·OB=OP², ∴,∵∠BOP=∠AOP, ∴△PBO∽△AOP, ∴∠OBP=∠OPA, ∵∠MON=50°, ∴∠BOP=25°, ∴∠OBP+∠BPO=180°-25°=155°, ∴∠APB=∠BPO+∠APO=155°,故答案为155°.
18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8（如图），点D是边AB上一点，把△ABC绕着点D旋转90°得到△A'B'C'，边B'C'与边AB相交于点E，如果AD=BE，那么AD长为__．

【正确答案】

【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况分别画出示意图，进行讨论即可.
【详解】∵AC=6，BC=8，
∴AB=10．
①当顺时针旋转时，如图1所示．
设DE=3x，则B′D=4x．
根据旋转的性质，可知：BD=B′D=4x，
∵AD=BE，
∴AE=BD=4x，
∴AB=AE+DE+BD=4x+3x+4x=10，
解得：
∴AD=4x+3x=
②当逆时针旋转时，如图2所示．
设DE=3x，则B′D=4x，
∴BE=B′D﹣DE=x，
∴AD=x，AB=AD+DE+B′E=x+3x+x=10，
解得：x=2，
∴DE=6，B′D=8，
∴B′E=10＞B′C′，
∴该情况没有存在．
故答案为

考查旋转的性质，掌握旋转没有改变线段的长度是解题的关键.
三、解 答 题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
【正确答案】

【分析】把角的三角函数值代入进行运算即可.
【详解】原式
考查角的三角函数值，熟记角是三角形函数值是解题的关键.
20. 小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象．


【正确答案】，（4，5），（5，0）

【详解】分析：利用待定系数法、描点法即可解决问题；
本题解析：设二次函数的解析式y=ax²+bx+c．
把（-1，0）（0，5），（2，9）代得到
解得，
∴二次数解析式y=-x +4x+5．
当x=4时，y=5,
当y=0时，x=-1或5.

21. 如图，在△ABC中，点E在边AB上，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D．
（1）若，用向量、表示向量；
（2）若∠B=∠ACE，AB=6，AC=2，BC=9，求EG的长．

【正确答案】(1) (2)EG=3.

【分析】（1）由点G是△ABC的重心，推出再根据三角形法则求出
即可解决问题；
（2）想办法证明△AEG∽△ABD，可得
【详解】(1)∵点G是△ABC的重心，
∴
∵
∴

(2)∵∠B=∠ACE，∠CAE=∠BAC，
∴△ACE∽△ABC，
∴
∴AE=4，
此时
∵∠EAG=∠BAD，
∴△AEG∽△ABD，
∴
考查平面向量的线性运算以及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
22. 如图所示，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的同一水平线上，，之间的距离约为，现测得，与的夹角分别为与，若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点的距离为，求点到地面的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：，，）

【正确答案】66.7cm

【分析】过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH=x，则AH=CH=x，BH=CHcot68°=0.4x，由AB=49知x+0.4x=49，解之求得CH的长，再由EF=BEsin68°=3.72根据点E到地面的距离为CH+CD+EF可得答案．
【详解】如图，过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，

设 CH=x，则 AH=CH=x，
BH=CHcot68°=0.4x，
由 AB=49 得 x+04x=49，
解得：x=35，
∵BE=4，
∴EF=BEsin68°=3.72，
则点E到地面的距离为 CH+CD+EF=35+28+3.72≈66.7(cm)，
答：点E到地面的距离约为 66.7cm.
本题考查解直角三角形实际应用，构造直角三角形，利用已知角度的三角函数值是解题的关键.
23. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF·DF=BF·CF．
(1)求证：AD·AB=AE·AC；
(2)当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD的长与的值．

【正确答案】（1）答案见解析；（2）BD=6，

【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF=∠B，进而证明△CAB∽△DAE，再利用相似三角形的性质证明即可；（2）根据相似三角形的性质得出有关图形的面积之比，进而解答即可．
【详解】证明：（1）∵EF•DF= BF•CF，
∵∠EFC=∠BFD，∴△EFC∽△BFD
∴∠CEF=∠B，∴∠B=∠AED
∵∠CAB=∠DAE,
∴△CAB∽△DAE
∴
∴AD·AB=AE·AC.
(2)由（1）知AD·AB=AE·AC
∴AD=6，BD=6，EC=1
∵ ，
∴
∵
∴
∴.
点睛：本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，-4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．
（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；
（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F在射线AE上，若△ADF∽△ABC，求点F 的坐标．

【正确答案】（1），D（1，-3）；（2）；（3）或．

【详解】分析：（1）设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),将C（0，-4）代入求解即可；记抛物线的对称轴与x轴交点坐标为F，先求得抛物线的对称轴，则可得到FB的长，然后再证明△BFD为等腰直角三角形，从而可得到FD=FB=3，故此可得到点D的坐标；（2）过点E作EH⊥AB，垂为H．先证tan∠EAH=tan∠ACO=,设EH=t,则AH=2t,从而可得到E（-2+2t,t）,，将点E的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（3）记AE与抛物线的对称轴的交点为F，记对称轴与x轴的交点为G．由相似三角形的性质可得到∠ADF=∠ABC=45°，然后再证明∠ADF=45°，然后证明△AFG∽△AEH，，依据相似三角形的性质可求得FG的．
本题解析：解：设抛物线的解析式为y=a（x+2）(x-4），C（0，-4）代入得：-8a= -4，解：a=，∴抛物线的解析式为y=x²-x-4.
如下图所示：记抛物线的对称轴与x轴交点坐标为F.

∵抛物线的对称轴为x==1, ∴BF=OB-OF=3, ∵BO=OC=4, ∠BOC=90°, ∴∠OBC=45. ∴△BFD为等腰直角三角形，∴FD=FB=3，∴D(1，-3)
(2)如下图：过点E作EH⊥AB，垂为H，

∵∠EAB+∠BAC=90°, ∠BAC+∠ACO=90°, ∴∠EAH=∠ACO, ∴tan∠EAH=tan∠ACO=,设EH=t,则AH=2t, ∴点E的坐标为（-2+2t,t）,将（-2+2t,t）代入抛物线的解析式为：(-2+2t)²-(-2+2t)-4=t,解得：t=或t=0(舍去)，
∴E（5，）.
(3)如下图所示：

∵△ADF∽△ABC, ∴∠ADF=∠ABC=45°,由（2）知∠BDF=45°, ∵点A与点B关于DF对称，∴∠ADF=∠ABC, ∴点F在抛物线的对称轴上，∵FG∥EH, ∴△AFG∽△AEH. ∴,即,解得：FG=,∴F(1，).
25. 已知AB=5，AD=4，AD∥BM，（如图），点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都没有与点B重合），联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC=x，．
（1）如图1，当x=4时，求AF的长；
（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）联结BD交AE于点P，若△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．

【正确答案】（1）；（2）；（3）或或．

【详解】分析：作AH⊥BC于H，如图1，利用余弦的定义和勾股定理计算出BH=3，AH=4，AC=，再判断四边形ABCD为平行四边形得到∠B=∠D，接下来证明△ADF∽△ABC，然后利用相似比计算出AC；（2）如图2，先证明△BAC∽△BEA,利用相似比得到BE=,AC=,则CE=，再证明△ADF∽EFC,利用相似比得到AF=,然后计算AF·AC可得到y与x的关系式，利用CE=>0可确定x的范围;(3)讨论：当PA=PD时，作AH⊥BM于H，作PG⊥AD于G交BE于N，如图3，利用等腰三角形性质得AG=GD=2，BN=EN=BE= ，则=5，解方程易得x的值；当AP=AD=4时，先判断BP=EP=，则AE=4+,然后在RT△AHE中利用勾股定理得，则解方程可得到x的值；当DP=DA=4时，作AH⊥BM于H,作DK⊥BE于K,如图4，先确定BP=EB=,则BD=4+,再利用勾股定理计算出BD=,则4+=，然后解方程可得到x的值.
本题解析：（1）作A⊥BC于H如图，

在RT△ABH中，∵co=,
∴BH=,∴CH=1,AH=,在RT△ACH中，AC=,
∵AD∥BC，AD=BC=4，∴四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D, ∵∠DAF=∠BAC, ∴△ADF∽△ABC, ∴,即,∴AF=.
(2)如图，

∵AD∥BE, ∴∠DAE=∠AEB,而∠DAE=∠BAC, ∴∠ABC=∠EBA, ∴△BAC∽△BEA, ∴,即,∴BE=,AC=,∴CE=BE-BC=-x, ∵AD∥CE, ∴△ADF∽△EFC, ∴ , ∴ ,即AF= , ∴ ，即y=;
(3)当PA=PD时，作作AH⊥BM于H，作PG⊥AD于G交BE于N，如图，

∵AD∥BE, ∴GN⊥BE, ∴AG=DG=2，BN=EN=BE=,而BN=BH+CN=3+2=5,
∴=5,解得x=;当AP=AD=4时，∵AD∥BE, ∴BP=EP=,
在Rt△AHE中，,∴，解得x= ;
当DP=DA=4时，作AH⊥BM于H,作DK⊥BE于K，如图4，∵AD∥BE, ∴BP=EP=,
∴BD=4+,在RT△BDK中，BD=,∴4+=,∴x= ,综上所述，x的值为或或.
点睛：本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活应用相似比表示线段之间的关系是解决问题的关键；会运用分类讨论的思想解决数学问题,












2022-2023学年上海市虹口区九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（ ）
A. 扩大为原来的两倍 B. 缩小为原来的 C. 没有变 D. 没有能确定
2. 下列函数中，二次函数是( )
A. y＝﹣4x+5 B. y＝x(2x﹣3)
C. y＝(x+4)2﹣x2 D. y＝
3. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，那么下列式子中正确的是( )
A. sinA＝ B. cosA＝ C. tanA＝ D. cotA＝
4. 已知非零向量，下列条件中，没有能判定向量 与向量平行的是
A. ∥∥ B. C. D.
5. 如果二次函数的图像全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是
A. a＜0，b＜0 B. a＞0，b＜0
C. a＜0，c＞0 D. a＜0，c＜0
6. 如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　）

A B. C. D.
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知，则=_____．
8. 已知线段MN=4，点P是线段MN黄金分割点，MP>NP，则MP=______________．
9. 已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1= ________．
10. 计算：=__________．
11. 计算：3tan30°+sin45°=__________．
12. 抛物线 的点的坐标是__________．
13. 将抛物线向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_________．
14. 如图，已知直线，，分别交直线于点A，B，C，交直线l，于点D，E，F，且，若，，，则DE长为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
15. 如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是______(没有写定义域)．

16. 如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是________米（结果保留根号形式）．

17. 已知点(﹣1，m)、(2，n )在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1图象上，如果m＞n，那么a____0(用“＞”或“＜”连接)．
18. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，BC=8，点D在边BC上，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联结CE、DE，当∠BDE=∠AEC时，则BE的长是 .

三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 将抛物线向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标
和对称轴．
20. 如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE△ABC的重心，设．

（1） （用向量表示）；
（2）设，在图中求作．
（没有要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）

21. 如图，已知G、H分别是□ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F．

（1）当时，求 的值；
（2）联结BD交EF于点M，求证：MG·ME=MF·MH.
22. 如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为i=1：的斜坡CD前进2米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．
（1）求点D的铅垂高度（结果保留根号）；
（2）求旗杆AB的高度（到0.1）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）

23. 如图，已知，在锐角中，于点E，点D在边AC上，联结BD交CE于点F，且．
求证：；
联结AF，求证：．


24. 已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l点C、D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；
(3)在(2)的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若没有存在，请说明理由．


25. 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在射线BC上，以点D圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．


2022-2023学年上海市虹口区九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（ ）
A. 扩大为原来两倍 B. 缩小为原来的 C. 没有变 D. 没有能确定
【正确答案】C

【详解】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也没有变.
故选C.
2. 下列函数中，二次函数是( )
A. y＝﹣4x+5 B. y＝x(2x﹣3)
C. y＝(x+4)2﹣x2 D. y＝
【正确答案】B

【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可.
【详解】解：A. y=-4x+5是函数，没有符合题意；
B. y= x(2x-3)=2x2-3x，是二次函数，符合题意；
C. y=(x+4)2−x2=8x+16，为函数，没有符合题意；
D. y=是组合函数，没有符合题意.
故选B.
本题考查二次函数的定义,熟知二次函数的表达形式是解答的关键.
3. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，那么下列式子中正确的是( )
A. sinA＝ B. cosA＝ C. tanA＝ D. cotA＝
【正确答案】A

【详解】如图：

由锐角三角函数定义，知：，
故选A.
4. 已知非零向量，下列条件中，没有能判定向量 与向量平行的是
A. ∥∥ B. C. D.
【正确答案】B

【详解】A.由推知非零向量的方向相同,则，故本选项错误；
B.由没有能确定非零向量的方向，故没有能判定其位置关系，故本选项正确；
C.由推知,则非零向量与的方向相同,所以∥，故本选项错误；
D.由推知非零向量与的方向相反,则∥，故本选项错误.
故选B.
5. 如果二次函数的图像全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是
A. a＜0，b＜0 B. a＞0，b＜0
C. a＜0，c＞0 D. a＜0，c＜0
【正确答案】D

【详解】如果二次函数的图像全部在x轴的下方，则抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，所以a＜0，c＜0.
故选D.
6. 如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】∵DE∥BC
∴=.
∵EF∥DC，
∴= ，
∴即AD2=AF⋅AB.
故选C.
点睛：本题考查了平行线分线段成比例.平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.注意找对应关系，以防错解.
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知，则=_____．
【正确答案】

【详解】设x=3a时，y=2a，
则===.
故答案为.
8. 已知线段MN=4，点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，则MP=______________．
【正确答案】

【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝，把MN＝4代入计算即可．
【详解】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，
∴MP＝＝；
故．
本题考查了黄金分割的概念；熟练掌握黄金分割值是解题的关键．
9. 已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1= ________．
【正确答案】4

【分析】根据相似三角形的中线之比等于相似比，周长之比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，且周长的比值是，
∴相似比为3：2，
∵BE、B1E1分别是它们对应边上中线，
∴BE：B1E1=3：2，
∵BE=6，
∴B1E1=4.
故4.
本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解答的关键．
10. 计算：=__________．
【正确答案】

【详解】==.
故答案为.
11. 计算：3tan30°+sin45°=__________．
【正确答案】

【详解】3tan30°+sin45°==.
故答案为
12. 抛物线 的点的坐标是__________．
【正确答案】（0,-4）

【详解】根据二次函数的图象与性质可得抛物线的点（顶点）的坐标是.
13. 将抛物线向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_________．
【正确答案】

【详解】抛物线y=2x2的顶点坐标为(0，0)，点(0，，)向下平移3个单位后所得对应点的坐标为(0，-3)，所以平移后的抛物线的表达式是y=2x2-3.
故y=2x2−3.
14. 如图，已知直线，，分别交直线于点A，B，C，交直线l，于点D，E，F，且，若，，，则DE的长为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【正确答案】B

【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】因为，，，，所以，即，所以.故选B.
本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是读懂题意，掌握平行线分线段成比例.
15. 如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是______(没有写定义域)．

【正确答案】

【分析】根据题意列出S与x的二次函数解析式即可．
【详解】设垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边为（10﹣2x）米，根据题意得：S=x（10﹣2x）=﹣2x2+10x．
故答案为S=﹣2x2+10x．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解答本题的关键．
16. 如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是________米（结果保留根号形式）．

【正确答案】

【详解】过点C⊥AB于点D,

在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，AC=100m，
∴AD=100⋅sin∠ACD=100×=50(m)，
CD=100⋅cos∠ACD=100×= (m)
在Rt△BCD中，
∵∠BCD=45°，
∴BD=CD=m，
则AB=AD+BD=50+ (m).
故答案为50+
17. 已知点(﹣1，m)、(2，n )在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a____0(用“＞”或“＜”连接)．
【正确答案】>；

【详解】∵=a(x-1)2-a-1，
∴抛物线对称轴为：x=1，
由抛物线的对称性，点（-1，m）、（2，n）在二次函数的图像上，
∵|−1−1|＞|2−1|，且m＞n，
∴a>0.
故答案为>
18. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，BC=8，点D在边BC上，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联结CE、DE，当∠BDE=∠AEC时，则BE的长是 .

【正确答案】

【详解】解：如图；

作CH⊥AB于H.
在Rt△ABC中，∵BC=8，，
∴AB=10，AC=8，CH=,BH=,
由题意EF=BF,设EF=BF=a,则BD=a,
∵∠BDE=∠AEC,
∴∠CED+∠ECB=∠ECB+∠B,
∴∠CED =∠B,
∵∠ECD=∠BCE,
∴△ECD∽△BCE,
∴EC2=CD·CB,
∴()2+(2a-)2=(8-a)×8,
解得a=或0，（舍）
BE=2a=
故答案为.
点睛：此题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 将抛物线向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标
和对称轴．
【正确答案】 ，顶点坐标是（-2，1）；对称轴是直线．

【详解】试题分析：平移抛物线的依据是，当二次函数的二次项系数a的值相同时，二次函数图像的形状完全相同，即开口方向和开口大小完全相同，仅仅位置没有同，所以他们之间可以进行平移.
试题解析：∵=，
∴平移后的函数解析式是．
顶点坐标是（-2，1）．
对称轴是直线．
20. 如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE△ABC的重心，设．

（1） （用向量表示）；
（2）设，在图中求作．
（没有要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）
【正确答案】（1）；（2）详见解析.

【分析】（1）由DE∥BC，DE△ABC的重心，可得AD：AB=DE：BC=2：3，即可求得；
（2）取点BC的中点M，连接AM，则即为所求.
【详解】解：(1)∵DE∥BC，DE△ABC的重心，
∴AD：AB=DE：BC=2：3，，
∵，
∴ ；
（2）如图,取点AB的中点M，连接AM，则即为所求.


21. 如图，已知G、H分别是□ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F．

（1）当时，求 的值；
（2）联结BD交EF于点M，求证：MG·ME=MF·MH.
【正确答案】（1）；（2）详见解析.

【分析】（1）由，得.由于△CFH∽△DFG，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得结果；
（2）根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AD//BC，由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出答案.
【详解】解：（1）∵，
∴．
∵ □ABCD中，AD//BC,
∴ △CFH∽△DFG ，
∴()2
∴=．
（2）证明：∵ □ABCD中，AD//BC，
∴,
∵ □ABCD中，AB//CD，
∴,
∴．
∴MG·ME=MF·MH．
22. 如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为i=1：的斜坡CD前进2米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．
（1）求点D的铅垂高度（结果保留根号）；
（2）求旗杆AB的高度（到0.1）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）

【正确答案】（1）点D的铅垂高度是米（2）旗杆AB的高度约为7.7米

【详解】试题解析：(1)延长ED交射线BC于点H，在中，求得∠DCH=30°，根据30°角直角三角形的性质即可求得DH的长，即求得点D的铅垂高度；（2）过点E作??⊥??于F，根据题意可得，易证四边形FBHE为矩形．从而求得EF、FB的长；在中，根据锐角三角函数求得AF的长，即可求得AB的长.
试题分析：
延长ED交射线BC于点H．

由题意得．
在中，：．
．
．
，
．
答：点D的铅垂高度是米
过点E作于F．
由题意得，即为点E观察点A时的仰角，
．
，
．
四边形FBHE为矩形．
．
．
在中，．
．
答：旗杆AB的高度约为米．  
23. 如图，已知，锐角中，于点E，点D在边AC上，联结BD交CE于点F，且．
求证：；
联结AF，求证：．


【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】试题分析：（1）证明△EFB∽△DFC，根据相似三角形对应角相等可得∠EFB=∠FDC，从而证得BD⊥AC；
（2）由∽，可得，从而证明∽，根据相似三角形的性质可得，再根据，从而得∽，根据相似三角形的性质即可得.
试题解析：（1），
，
，
∽，
，
，
，
，
；
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
．  
24. 已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l点C、D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；
(3)在(2)的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】 （1）；（2） ；（3）E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）.

【详解】试题分析：（1）把A、B两点带入抛物线解析式，求得a、b的值，即可得到抛物线解析式；
（2）由AC=AB且点C在点A的左侧，及线段CP是线段CA、CB的比例中项，可得CP=，
由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，可得△CPA∽△CBP，由此∠CPA= ∠CBP.
过P作PH⊥x轴于H，易得PH=4，H（-7，0），BH=12. 由于P（-7，-4），可求；
（3）分两种情况：点E在M左侧和点E在M右侧讨论即可.
试题解析：（1）∵ 抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0），
∴,
解得
∴ 抛物线的解析式为 .
（2）∵ A（1，0），B（5，0），
∴ OA=1，AB=4.
∵ AC=AB且点C在点A的左侧，
∴ AC=4 .
∴ CB=CA+AB=8.
∵ 线段CP是线段CA、CB的比例中项，
∴ .
∴ CP=.
又 ∵ ∠PCB是公共角，
∴ △CPA∽△CBP .
∴ ∠CPA= ∠CBP.
过P作PH⊥x轴于H.
∵ OC=OD=3，∠DOC=90°，
∴ ∠DCO=45°.∴ ∠PCH=45°
∴ PH=CH=CP=4，
∴ H（-7，0），BH=12，
∴ P（-7，-4），
∴ ，
tan∠CPA=.
（3） ∵ 抛物线的顶点是M（3，-4），
又 ∵ P（-7，-4），
∴ PM∥x轴 .
当点EM左侧， 则∠BAM=∠AME.
∵ ∠AEM=∠AMB，
∴ △AEM∽△BMA.
∴,
∴.
∴ ME=5，∴ E（-2，-4）.
过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，-4）.
当点E在M右侧时，记为点，
∵ ∠AN=∠AEN，
∴ 点与E 关于直线AN对称，则（4，-4）.
综上所述，E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）.

点睛：本题主要考查二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，证得△AEM∽△BMA是解题的关键.

25. 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．

【正确答案】（1）详见解析；（2）；（3）当△EFD为等腰三角形时，FG的长度是：．

【详解】试题分析：（1）由等边对等角得∠B=∠BED，由同角的余角相等可得∠A=∠GEF，进而由两角分别相等的两个三角形相似，可证△EFG∽△AEG；
（2）作EH⊥AF于点H，由tanA=及△EFG∽△AEG，得AG=4x，AF=3x，EH=，
可得y关于x的解析式；
（3）△EFD是等腰三角形，分三种情况讨论：①EF=ED；②ED=FD；③ED=EF三种情况讨论即可.
试题解析：（1）∵ ED=BD，
∴ ∠B=∠BED．
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠B+∠A=90°．
∵ EF⊥AB，
∴ ∠BEF=90°．
∴ ∠BED+∠GEF=90°．
∴ ∠A=∠GEF．
∵ ∠G是公共角，
∴ △EFG∽△AEG；
（2）作EH⊥AF于点H．

∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴tanA==，
∴ 在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA==,
∵ △EFG∽△AEG，
∴ ,
∵ FG=x，
∴ EG=2x，AG=4x．
∴ AF=3x．
∵ EH⊥AF，
∴ ∠AHE=∠EHF=90°．
∴ ∠EFA+∠FEH=90°．
∵ ∠AEF=90°，
∴ ∠A+∠EFA=90°,
∴ ∠A=∠FEH,
∴ tanA =tan∠FEH,
∴ 在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH==,
∴ EH=2HF,
∵ 在Rt△AEH中，∠AHE=90°，tanA==，
∴ AH=2EH，
∴ AH=4HF，
∴ AF=5HF，
∴ HF=，
∴EH=，
∴y=FG·EH=x·=定义域：（0