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2022-2023学年上海市崇明区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年上海市崇明区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市崇明区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是
A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14
4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1
5. 如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果2x＝3y，那么___．
8. 计算：_________．
9. 如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是km的两地在地图上的图距是_________cm．
10. 如果抛物线y=（a+1）x2﹣4有点，那么a取值范围是_____．
11. 抛物线y＝2x2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为_____．
12. 已知点和是抛物线上的两点，如果，那么______．（填“＞”、“＝”或“＜”）
13. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，如果AC=6，AB=8，那么AD的长度为_____．
14. 已知是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为___________．
15. 正八边形的角等于______度
16. 如图，一个斜坡长 m，坡顶离水平地面的距离为 m，那么这个斜坡的坡度为________．
17. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____________.
18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，连接CF，若AC＝8，AB＝10，则CD的长为__
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：﹣3sin60°+2cos45°．
20. 如图，中，BE平分交AC于点E，过点E作交AB于点D，已知，．
（1）求BC的长度；
（2）如果，，那么请用、表示向量．
21. 如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
22. 如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．
（1）求证：GD•AB=DF•BG；
（2）联结CF，求证：∠CFB=45°．
24. 如图，抛物线y=–x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A没有重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
25. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持没有变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
2022-2023学年上海市崇明区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先利用勾股定理计算出AC，然后根据正切的定义求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴，
∴．
故选：B．
本题考查了勾股定理、锐角正切值的求法，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵抛物线的解析式为：y=2（x+3）2-4，
∴其顶点坐标为：（-3，-4）．
故选D．
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是
A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14
【正确答案】B
【详解】∵DE∥BC，∴．
又∵AE=6，，∴．故选B．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1
【正确答案】B
【分析】根据题意可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
5. 如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
【正确答案】D
【详解】分析：根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R-r＜d＜R+r；内切，则d=R-r；内含，则d＜R-r．
解答：解：∵两圆半径之差=8-5=3=圆心距8，
∴两个圆的位置关系是内切，
故选D．
点评：本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差求解．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】延长FE交BC于点D，作EG⊥AB、作EH⊥AC，由EF∥AC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠GAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△GAE≌△HAE、△DCE≌△HCE得AG=AH、CD=CH，设BD=BG=x，则AG=AH=6-x、CD=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AG=4，再证△CDF∽△CBA，可得，据此得出EF=DF-DE=.
【详解】解：如图，延长FE交BC于点D，作EG⊥AB于点G，作EH⊥AC于点H，
∵EF∥AB、∠ABC=90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED=EH=EG，∠GAE=∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△GAE和△HAE中，
∵，
∴△GAE≌△HAE（AAS），
∴AG=AH，
同理△DCE≌△HCE，
∴CD=CH，
设BD=BG=x，则AG=AH=6﹣x、CD=CH=8﹣x，
∵AC= = =10，
∴6﹣x＋8﹣x=10，
解得：x=2，
∴BD=DE=BG=2，AG=4，
∵DF∥AB，
∴△DCF∽△BCA，
∴，即，
解得：，
则EF=DF﹣DE=，
故选A
本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果2x＝3y，那么___．
【正确答案】
【分析】直接利用已知得出x=y，进而代入得出答案．
【详解】解：∵2x=3y，
∴x=y，
∴．
故．
本题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
8. 计算：_________．
【正确答案】
【详解】试题解析：
=
=.
故答案为.
9. 如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是km的两地在地图上的图距是_________cm．
【正确答案】6
【分析】设两地在地图上的图距是xcm，然后根据比例尺的定义，即可得到方程，解此方程即可求得答案，
【详解】解：设两地在地图上的图距是xcm，
根据题意得：
∴x=6cm
故6．
此题考查了比例线段．此题难度没有大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．
10. 如果抛物线y=（a+1）x2﹣4有点，那么a的取值范围是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵抛物线有点，
∴a+1＜0，
即a＜-1．
故答案为a＜-1．
11. 抛物线y＝2x2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为_____．
【正确答案】y=2（x+2）2+4
【详解】试题解析：∵二次函数解析式为y=2x2+4，
∴顶点坐标（0，4）
向左平移2个单位得到点是（-2，4），
可设新函数的解析式为y=2（x-h）2+k，
代入顶点坐标得y=2（x+2）2+4，
故答案为y=2（x+2）2+4．
点睛：函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
12. 已知点和是抛物线上的两点，如果，那么______．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【正确答案】＞
【详解】由抛物线得，a=2>0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y=2（x-3）2+5对称轴为直线x=3，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大.
∵，
∴y1 ＞y2．
故填＞．
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
13. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，如果AC=6，AB=8，那么AD的长度为_____．
【正确答案】4.8
【详解】∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC==10，
∵AD⊥BC，
∴6×8=AD×10，
解得：AD=4.8．
故答案为4.8．
14. 已知是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为___________．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵△ABC是等边三角形，AB=，
∴AD=，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=AD=．
故答案为.
15. 正八边形的角等于______度
【正确答案】45
【分析】已知该多边形为正八边形，代入角公式即可得出．
【详解】∵该多边形为正八边形，故n=8
∴
故45．
本题考查了正多边形的角，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的角，正n边形的每个角都等于．
16. 如图，一个斜坡长 m，坡顶离水平地面的距离为 m，那么这个斜坡的坡度为________．
【正确答案】1：2.4
【详解】试题解析：如图，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m，
∴AC==120m，
∴tan∠BAC=．
17. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____________.
【正确答案】(-1,1)
【详解】试题解析：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，
即圆心的坐标是（-1，1），
18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，连接CF，若AC＝8，AB＝10，则CD的长为__
【正确答案】
【分析】由对称性可知CF⊥DE，可得∠CDE=∠ECF=∠B，得出CF=BF，同理可得CF=AF，由此可得F是AB的中点，求得CF=5，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2=CD×CA，进而得出CD的长．
【详解】解：由对称性可知CF⊥DE，
又∵∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠EDF=∠B，
四点在同一个圆上，
∴CF=BF，
CF=AF，
∴F是AB的中点，
∴CF=AB=5，
又∵∠DFC=∠ACF=∠A，∠DCF=∠FCA，
∴△CDF∽△CFA，
∴，即52=CD×8，
∴CD=.
故答案是.
考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F是AB的中点．
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：﹣3sin60°+2cos45°．
【正确答案】
【分析】先把锐角三角函数换为它们的三角函数值，再把项的分子、分母都乘以分母有理化，然后合并同类二次根式化简.
【详解】解：﹣3sin60°+2cos45°
=
=
=．
20. 如图，在中，BE平分交AC于点E，过点E作交AB于点D，已知，．
（1）求BC的长度；
（2）如果，，那么请用、表示向量．
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD=DE，，从而可求出结论；
（2）由，得.故 又与同向，所以，由，得，因此
试题解析：（1）∵平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
又∵，，
∴，
∴，∴.
（2）∵，
∴.
∴
又∵与同向
∴
∵，
∴
∴
21. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
【正确答案】（1）AB=4；（2）⊙O的半径是．
【详解】试题分析：（1）由，得，，可证.从而AF=CE，故可求得AB的长；
（2）由垂径定理得BE=CE，故BE=AB，从而∠A=30°，在直角三角形AFO中即可求出AO的值.
试题解析：（1）∵，
∴
在中
∴
∴
∵,
∴
∵是的直径，
∴
∴.
（2） ∵是的半径，,
∴,
∵,
∴
∵，
∴.
又∵
∴
∴
即的半径是.
22. 如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【正确答案】35km
【分析】过点C作CH⊥AD于H．.构造直角三角形的模型，然后解直角三角形和平行线分线段成比例的定理列方程求解即可.
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AD于H．.设.
在中，，
∵，
∴.
在中，，
∵，
∴.
∵，
∴.
∴
∴.
又C为AB的中点，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
因此，E处距离港口A大约为35km.
点睛：本题考查了解直角三角形应用--方向角问题，航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机，体现了数学应用于实际生活的思想．
23. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．
（1）求证：GD•AB=DF•BG；
（2）联结CF，求证：∠CFB=45°．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先证明△BGC∽△DGF，然后根据相似三角形的性质列比例式整理即可；（2）连接BD、CF，由△BGC∽△DGF，可得,变形得，可证△BGD∽△CGF，从而∠BDG=∠CFG，再根据正方形的性质求出∠BDG即可.
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC，
∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
∴∠BCD=∠GFD，
∵∠BGC=∠FGD，
∴△BGC∽△DGF，
∴，
∴DG•BC=DF•BG，
∵AB=BC，
∴DG•AB=DF•BG；
（2）如图，连接BD、CF，
∵△BGC∽△DGF，
∴，
∴，
又∵∠BGD=∠CGF，
∴△BGD∽△CGF，
∴∠BDG=∠CFG，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴，
∴∠CFG=45°．
24. 如图，抛物线y=–x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A没有重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
【正确答案】（1） ，；（2）；（3）
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设， 得 ,再由点坐标公式得出方程，求解即可；
（3）分两种情况进行讨论即可得解.
【详解】（1）解：设直线的解析式为（）
∵，
∴ 解得
∴直线的解析式为
∵抛物线点，
∴ 解得
∴
（2）∵轴，
∴设，
∴，
∵点是的中点
∴
∴
解得，（没有合题意，舍去）
∴
（3）∵，，
∴，
∴
∵
∴当与相似时，存在以下两种情况：
①
∴ 解得
∴
②
∴ ,解得
∴点M的坐标为
25. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持没有变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
【正确答案】（1）；（2）没有变；（3）或3或.
【详解】试题分析：（1）由已知条件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；
（2）过点作，，垂足分别为点、，由（1）可得DH=3，DG=4；再证，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论即可.
（1）∵，
∴
∵
∴
∵是边的中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∵
∴
又∵
∴四边形是矩形
∴
∵在中，
∴
（2）没有变
过点作，，垂足分别为点、
由（1）可得，
∵，
∴
又∵，
∴四边形矩形
∴
∵
∴ 即
又∵
∴
∴
∵
∴
（3）1° 当时，易证，即
又∵，D是AB的中点
∴
∴
2° 当时，易证
∵在中，
∴设，则，
当时，易证，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
3° 在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出
当时，易证
∴设，则，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
2022-2023学年上海市崇明区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知：a、b是没有等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，下列各式中正确的是（ ）
A. a=b•cosA B. c=a•sinA C. a•cotA=b D. a•tanA=b
3. 将抛物线y＝﹣（x+1）2+4平移，使平移后所得抛物线原点，那么平移过程为（ ）
A. 向下平移3个单位 B. 向上平移3个单位
C. 向左平移4个单位 D. 向右平移4个单位
4. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 一个三角形框架模型三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度没有符合条件的是（ ）
A. 30厘米、45厘米； B. 40厘米、80厘米； C. 80厘米、120厘米； D. 90厘米、120厘米
6. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（ ）
A. r＜5 B. r＞5 C. r＜10 D. 5＜r＜10
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算：3﹣（﹣2）=____．
8. 计算：2sin245°﹣tan45°＝______．
9. 如果两个相似三角形对应边上的高的比为1：4，那么这两个三角形的周长比是___．
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么cosA=________．
11. 已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
12. 如图，E是▱ABCD的边AD上一点，AE=ED，CE与BD相交于点F，BD=10，那么DF=__．
13. 抛物线 的顶点坐标是________．
14. 点（-1，a）、（-2，b）是抛物线上的两个点，那么a和b的大小关系是a_______b（填“>”或“<”或“=”）．
15. 如图， AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于__．
16. 正多边形一个内角等于144°，则这个多边形的边数是 _________ ．
17. 两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__．
18. 如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A正好落在BC边上的点F处，如果四边形CDEF和矩形ABCD相似，那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是__．
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：sin30°•tan60°+.．
20. 如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设=，= ，求向量关于、的分解式．
21. 如图，已知AB是⊙O的弦，C是 的中点，AB=8，AC= ，求⊙O半径的长．
22. 如图，MN是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32°的方向上，向东走过780米后到达B处，测得海岛在南偏西37°的方向，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：tan37°=cot53°≈0.755，cot37°=tan53°≈1.327，tan32°=cot58°≈0.625，cot32°=tan58°≈1.600．）
23. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．
24. 平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；
（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．
25. 如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，co=，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．
（1）求△ABC面积；
（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．
2022-2023学年上海市崇明区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知：a、b是没有等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵2a=3b，∴ ，∴ ，∴A、C、D选项错误，B选项正确，
故选B.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，下列各式中正确是（ ）
A. a=b•cosA B. c=a•sinA C. a•cotA=b D. a•tanA=b
【正确答案】C
【详解】∵∠C=90°，
∴cosA=，sinA= ，tanA=，cotA=，
∴c·cosA=b，c·sinA=a，b·tanA=a，a·cotA=b，
∴只有选项C正确，
故选C.
本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义并且灵活运用是解题的关键.
3. 将抛物线y＝﹣（x+1）2+4平移，使平移后所得抛物线原点，那么平移的过程为（ ）
A 向下平移3个单位 B. 向上平移3个单位
C. 向左平移4个单位 D. 向右平移4个单位
【正确答案】A
【详解】将抛物线平移，使平移后所得抛物线原点，
若左右平移n个单位得到，则平移后的解析式为：，将（0，0）代入后解得：n=-3或n=1，所以向左平移1个单位或向右平移3个单位后抛物线原点；
若上下平移m个单位得到，则平移后的解析式为：，将（0，0）代入后解得：m=-3，所以向下平移3个单位后抛物线原点，
故选A.
4. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】∵AD//BC，DE//AB，∴四边形ABED是平行四边形，
∴ ， ，
∴选项A、C错误，选项D正确，
选项B错误，
故选D.
5. 一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度没有符合条件的是（ ）
A. 30厘米、45厘米； B. 40厘米、80厘米； C. 80厘米、120厘米； D. 90厘米、120厘米
【正确答案】C
【详解】当60cm的木条与20cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为90cm与120cm；
当60cm的木条与30cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为40cm与80cm；
当60cm的木条与40cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为30cm与45cm；
所以A、B、D选项没有符合题意，C选项符合题意，
故选C.
6. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（ ）
A. r＜5 B. r＞5 C. r＜10 D. 5＜r＜10
【正确答案】D
【详解】延长CD交⊙D于点E，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB==15，
∵D是AB中点，∴CD=，
∵G是△ABC的重心，∴CG==5，DG=2.5，
∴CE=CD+DE=CD+DF=10，
∵⊙C与⊙D相交，⊙C的半径为r，
∴ ，
故选D.
本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG的长是解题的关键.
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算：3﹣（﹣2）=____．
【正确答案】2+2
【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．
【详解】3﹣（﹣2）
=3﹣+2
=2+2，
故答案为2+2，
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加法法则是解题的关键．
8. 计算：2sin245°﹣tan45°＝______．
【正确答案】0
【详解】原式==0，
故答案为0.
9. 如果两个相似三角形对应边上的高的比为1：4，那么这两个三角形的周长比是___．
【正确答案】1:4
【详解】∵两个相似三角形对应边上的高的比为1∶4，
∴这两个相似三角形的相似比是1：4
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴它们的周长比1：4，
故1：4
本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高、相似三角形的周长比都等于相似比．
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么cosA=________．
【正确答案】
【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，
∵sinA=，∴c=2a，∴b= ，
∴cosA=，
故答案为.
11. 已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
【正确答案】
【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
【详解】解：∵，
∴坡角=30°．
此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
12. 如图，E是▱ABCD的边AD上一点，AE=ED，CE与BD相交于点F，BD=10，那么DF=__．
【正确答案】4
【详解】∵AE=ED，AE+ED=AD，∴ED=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DF：BF=DE：BC=2：3，
∵DF+BF=BD=10，
∴DF=4，
故答案为4.
13. 抛物线 的顶点坐标是________．
【正确答案】（0，-1）
【详解】∵a=2，b=0，c=-1，∴-=0， ，
∴抛物线的顶点坐标是(0，-1)，
故答案为（0，-1）.
14. 点（-1，a）、（-2，b）是抛物线上的两个点，那么a和b的大小关系是a_______b（填“>”或“<”或“=”）．
【正确答案】＜
【详解】把点（-1，a）、（-2，b）分别代入抛物线，则有：
a=1-2-3=-4，b=4-4-3=-3，
-4<-3，
所以a
15. 如图， AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于__．
【正确答案】18
【详解】连接OB，
∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，
∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，
∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO-∠B=30°，
∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，
∴AB=AC+BC=18，
故答案为18.
16. 正多边形一个内角等于144°，则这个多边形的边数是 _________ ．
【正确答案】10
【分析】先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．
【详解】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：
（n-2）×180°=144°n，
解得：n=10．
故10．
本题考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角和公式列出式子是本题的关键．
17. 两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__．
【正确答案】4或8
【详解】∵两圆内切，一个圆的半径是6，圆心距是2，
∴另一个圆的半径=6-2=4；
或另一个圆的半径=6+2=8，
故答案为4或8．
本题考查了根据两圆位置关系来求圆的半径的方法．注意圆的半径是6，要分大圆和小圆两种情况讨论．
18. 如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A正好落在BC边上的点F处，如果四边形CDEF和矩形ABCD相似，那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是__．
【正确答案】
【详解】由题意易得四边形ABFE是正方形，
设AB=1，CF=x，则有BC=x+1，CD=1，
∵四边形CDEF和矩形ABCD相似，
∴CD：BC=FC：CD，
即1：（x+1）=x：1，
∴x=或x=（舍去），
∴ =，
故答案为.
本题考查了折叠的性质，相似多边形的性质等，熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：sin30°•tan60°+.．
【正确答案】
【详解】试题分析：把相关的三角形函数值代入进行计算即可.
试题解析：原式=.
20. 如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设=，= ，求向量关于、的分解式．
【正确答案】答案见解析
【详解】试题分析：连接BD，由已知可得MN是△BCD的中位线，则MN=BD，根据向量减法表示出BD即可得.
试题解析：连接BD,
∵点M、N分别是边DC、BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，
∴MN∥BD，MN= BD，
∵ ，
∴ .
21. 如图，已知AB是⊙O的弦，C是 的中点，AB=8，AC= ，求⊙O半径的长．
【正确答案】5
【详解】试题分析：连接OC交AB于D，连接OA，由垂径定理得OD垂直平分AB，设⊙O的半径为r，
在△ACD中，利用勾股定理求得CD=2，在△OAD中，由OA2=OD2+AD2，代入相关数量求解即可得.
试题解析：连接OC交AB于D，连接OA，
由垂径定理得OD垂直平分AB，
设⊙O的半径为r，
在△ACD中，CD2+AD2=AC2，CD=2，
在△OAD中，OA2=OD2+AD2，r2=（r-2）2+16，
解得r=5，
∴☉O的半径为5.
22. 如图，MN是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32°的方向上，向东走过780米后到达B处，测得海岛在南偏西37°的方向，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：tan37°=cot53°≈0.755，cot37°=tan53°≈1.327，tan32°=cot58°≈0.625，cot32°=tan58°≈1.600．）
【正确答案】6000
【详解】试题分析：如图：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得AD=0.625CD，同样在Rt△BCD中，可得BD= 0.755CD，再根据AB=BD-CD=780，代入进行求解即可得.
试题解析：如图：过点C作CD⊥AB于点D，
由已知可得：∠ACD=32°，∠BCD =37°，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∴AD=CD·tan∠ACD=CD·tan32°=0.625CD，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∴BD=CD·tan∠BCD=CD·tan37°=0.755CD，
∵AB=BD-CD=780，∴0.755CD-0.625CD=780，∴CD=6000，
答：小岛到海岸线的距离是6000米.
本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形、根据图形灵活选用三角函数进行求解是关键.
23. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．
【正确答案】证明见解析
【详解】试题分析：（1）根据已知求得∠BDF=∠BCD，再根据∠BFD=∠DFC，证明△BFD∽△DFC，从而得BF：DF=DF：FC，进行变形即得；
（2）由已知证明△AEG∽△ADC，得到∠AEG=∠ADC=90°，从而得EG∥BC，继而得 ，
由（1）可得 ，从而得 ，问题得证.
试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD是Rt△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，
∵E是AC的中点，
∴DE=AE=CE，∴∠A=∠EDA，∠ACD=∠EDC，
∵∠EDC+∠BDF=180°-∠BDC=90°，∴∠BDF=∠BCD，
又∵∠BFD=∠DFC，
∴△BFD∽△DFC，
∴BF：DF=DF：FC，
∴DF2=BF·CF；
（2）∵AE·AC=ED·DF，
∴ ，
又∵∠A=∠A，
∴△AEG∽△ADC，
∴∠AEG=∠ADC=90°，
∴EG∥BC，
∴ ，
由（1）知△DFD∽△DFC，
∴ ，
∴ ，
∴EG·CF=ED·DF.
24. 平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x轴另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；
（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．
【正确答案】（1）（1，4）（2）（0，）或（0，-1）
【详解】试题分析：（1）先求得点C的坐标，再由OA=OC得到点A的坐标，再根据抛物线的对称性得到点B的坐标，利用待定系数法求得解析式后再进行配方即可得到顶点坐标；
（2）由OC//PM，可得∠PMC=∠MCO，求tan∠MCO即可 ；
（3）分情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）当x=0时，抛物线y=ax2+bx+3=3，所以点C坐标为（0，3），∴OC=3，
∵OA=OC，∴OA=3，∴A（3，0），
∵A、B关于x=1对称，∴B（-1，0），
∵A、B在抛物线y=ax2+bx+3上，
∴ ，∴ ，
∴抛物线解析式：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点P（1，4）；
（2）由（1）可知P（1，4），C（0，3），所以M（1，0），∴OC=3，OM=1，
∵OC//PM，∴∠PMC=∠MCO，
∴tan∠PMC=tan∠MCO= = ；
（3）Q在C点的下方，∠BCQ=∠CMP，
CM=,PM=4，BC=，
∴或 ，
∴CQ=或4，
∴Q1(0，),Q2（0，-1）.
25. 如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，co=，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．
（1）求△ABC的面积；
（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．
【正确答案】（1）12（2）y=（0＜x＜5）（3）或
【详解】试题分析：（1）过点A作AH⊥BC于点H ，根据co=求得BH的长，从而根据已知可求得AH的长，BC的长，再利用三角形的面积公式即可得；
（2）先证明△BPD∽△BAC，得到=，再根据 ，代入相关的量即可得；
（3）分情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）过点A作AH⊥BC于点H ，则∠AHB=90°，∴co= ，
∵co=，AB=5，∴BH=4，∴AH=3，
∵AB=AC，∴BC=2BH=8，
∴S△ABC=×8×3=12
（2）∵PB=PD，∴∠B=∠PDB，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠PDB，
∴△BPD∽△BAC，
∴ ，
即，
解得=，
∴ ，
∴ ，
解得y=（0＜x＜5）；
（3）∠APD＜90°，
过C作CE⊥AB交BA延长线于E，可得cos∠CAE= ，
①当∠ADP=90°时，
cos∠APD=cos∠CAE=，
即 ，
解得x=；
②当∠PAD=90°时，
，
解得x=，
综上所述，PB=或.
本题考查了相似三角形的判定与性质、底在同一直线上且高相等的三角形面积的关系等，图形及已知选择恰当的知识进行解答是关键.
2022-2023学年上海市崇明区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是
A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14
4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1
5. 如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果2x＝3y，那么___．
8. 计算：_________．
9. 如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是km的两地在地图上的图距是_________cm．
10. 如果抛物线y=（a+1）x2﹣4有点，那么a取值范围是_____．
11. 抛物线y＝2x2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为_____．
12. 已知点和是抛物线上的两点，如果，那么______．（填“＞”、“＝”或“＜”）
13. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，如果AC=6，AB=8，那么AD的长度为_____．
14. 已知是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为___________．
15. 正八边形的角等于______度
16. 如图，一个斜坡长 m，坡顶离水平地面的距离为 m，那么这个斜坡的坡度为________．
17. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____________.
18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，连接CF，若AC＝8，AB＝10，则CD的长为__
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：﹣3sin60°+2cos45°．
20. 如图，中，BE平分交AC于点E，过点E作交AB于点D，已知，．
（1）求BC的长度；
（2）如果，，那么请用、表示向量．
21. 如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
22. 如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．
（1）求证：GD•AB=DF•BG；
（2）联结CF，求证：∠CFB=45°．
24. 如图，抛物线y=–x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A没有重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
25. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持没有变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
2022-2023学年上海市崇明区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先利用勾股定理计算出AC，然后根据正切的定义求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴，
∴．
故选：B．
本题考查了勾股定理、锐角正切值的求法，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵抛物线的解析式为：y=2（x+3）2-4，
∴其顶点坐标为：（-3，-4）．
故选D．
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是
A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14
【正确答案】B
【详解】∵DE∥BC，∴．
又∵AE=6，，∴．故选B．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1
【正确答案】B
【分析】根据题意可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
5. 如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
【正确答案】D
【详解】分析：根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R-r＜d＜R+r；内切，则d=R-r；内含，则d＜R-r．
解答：解：∵两圆半径之差=8-5=3=圆心距8，
∴两个圆的位置关系是内切，
故选D．
点评：本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差求解．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】延长FE交BC于点D，作EG⊥AB、作EH⊥AC，由EF∥AC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠GAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△GAE≌△HAE、△DCE≌△HCE得AG=AH、CD=CH，设BD=BG=x，则AG=AH=6-x、CD=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AG=4，再证△CDF∽△CBA，可得，据此得出EF=DF-DE=.
【详解】解：如图，延长FE交BC于点D，作EG⊥AB于点G，作EH⊥AC于点H，
∵EF∥AB、∠ABC=90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED=EH=EG，∠GAE=∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△GAE和△HAE中，
∵，
∴△GAE≌△HAE（AAS），
∴AG=AH，
同理△DCE≌△HCE，
∴CD=CH，
设BD=BG=x，则AG=AH=6﹣x、CD=CH=8﹣x，
∵AC= = =10，
∴6﹣x＋8﹣x=10，
解得：x=2，
∴BD=DE=BG=2，AG=4，
∵DF∥AB，
∴△DCF∽△BCA，
∴，即，
解得：，
则EF=DF﹣DE=，
故选A
本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果2x＝3y，那么___．
【正确答案】
【分析】直接利用已知得出x=y，进而代入得出答案．
【详解】解：∵2x=3y，
∴x=y，
∴．
故．
本题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
8. 计算：_________．
【正确答案】
【详解】试题解析：
=
=.
故答案为.
9. 如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是km的两地在地图上的图距是_________cm．
【正确答案】6
【分析】设两地在地图上的图距是xcm，然后根据比例尺的定义，即可得到方程，解此方程即可求得答案，
【详解】解：设两地在地图上的图距是xcm，
根据题意得：
∴x=6cm
故6．
此题考查了比例线段．此题难度没有大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．
10. 如果抛物线y=（a+1）x2﹣4有点，那么a的取值范围是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵抛物线有点，
∴a+1＜0，
即a＜-1．
故答案为a＜-1．
11. 抛物线y＝2x2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为_____．
【正确答案】y=2（x+2）2+4
【详解】试题解析：∵二次函数解析式为y=2x2+4，
∴顶点坐标（0，4）
向左平移2个单位得到点是（-2，4），
可设新函数的解析式为y=2（x-h）2+k，
代入顶点坐标得y=2（x+2）2+4，
故答案为y=2（x+2）2+4．
点睛：函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
12. 已知点和是抛物线上的两点，如果，那么______．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【正确答案】＞
【详解】由抛物线得，a=2>0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y=2（x-3）2+5对称轴为直线x=3，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大.
∵，
∴y1 ＞y2．
故填＞．
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
13. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，如果AC=6，AB=8，那么AD的长度为_____．
【正确答案】4.8
【详解】∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC==10，
∵AD⊥BC，
∴6×8=AD×10，
解得：AD=4.8．
故答案为4.8．
14. 已知是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为___________．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵△ABC是等边三角形，AB=，
∴AD=，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=AD=．
故答案为.
15. 正八边形的角等于______度
【正确答案】45
【分析】已知该多边形为正八边形，代入角公式即可得出．
【详解】∵该多边形为正八边形，故n=8
∴
故45．
本题考查了正多边形的角，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的角，正n边形的每个角都等于．
16. 如图，一个斜坡长 m，坡顶离水平地面的距离为 m，那么这个斜坡的坡度为________．
【正确答案】1：2.4
【详解】试题解析：如图，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m，
∴AC==120m，
∴tan∠BAC=．
17. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____________.
【正确答案】(-1,1)
【详解】试题解析：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，
即圆心的坐标是（-1，1），
18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，连接CF，若AC＝8，AB＝10，则CD的长为__
【正确答案】
【分析】由对称性可知CF⊥DE，可得∠CDE=∠ECF=∠B，得出CF=BF，同理可得CF=AF，由此可得F是AB的中点，求得CF=5，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2=CD×CA，进而得出CD的长．
【详解】解：由对称性可知CF⊥DE，
又∵∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠EDF=∠B，
四点在同一个圆上，
∴CF=BF，
CF=AF，
∴F是AB的中点，
∴CF=AB=5，
又∵∠DFC=∠ACF=∠A，∠DCF=∠FCA，
∴△CDF∽△CFA，
∴，即52=CD×8，
∴CD=.
故答案是.
考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F是AB的中点．
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：﹣3sin60°+2cos45°．
【正确答案】
【分析】先把锐角三角函数换为它们的三角函数值，再把项的分子、分母都乘以分母有理化，然后合并同类二次根式化简.
【详解】解：﹣3sin60°+2cos45°
=
=
=．
20. 如图，在中，BE平分交AC于点E，过点E作交AB于点D，已知，．
（1）求BC的长度；
（2）如果，，那么请用、表示向量．
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD=DE，，从而可求出结论；
（2）由，得.故 又与同向，所以，由，得，因此
试题解析：（1）∵平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
又∵，，
∴，
∴，∴.
（2）∵，
∴.
∴
又∵与同向
∴
∵，
∴
∴
21. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
【正确答案】（1）AB=4；（2）⊙O的半径是．
【详解】试题分析：（1）由，得，，可证.从而AF=CE，故可求得AB的长；
（2）由垂径定理得BE=CE，故BE=AB，从而∠A=30°，在直角三角形AFO中即可求出AO的值.
试题解析：（1）∵，
∴
在中
∴
∴
∵,
∴
∵是的直径，
∴
∴.
（2） ∵是的半径，,
∴,
∵,
∴
∵，
∴.
又∵
∴
∴
即的半径是.
22. 如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【正确答案】35km
【分析】过点C作CH⊥AD于H．.构造直角三角形的模型，然后解直角三角形和平行线分线段成比例的定理列方程求解即可.
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AD于H．.设.
在中，，
∵，
∴.
在中，，
∵，
∴.
∵，
∴.
∴
∴.
又C为AB的中点，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
因此，E处距离港口A大约为35km.
点睛：本题考查了解直角三角形应用--方向角问题，航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机，体现了数学应用于实际生活的思想．
23. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．
（1）求证：GD•AB=DF•BG；
（2）联结CF，求证：∠CFB=45°．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先证明△BGC∽△DGF，然后根据相似三角形的性质列比例式整理即可；（2）连接BD、CF，由△BGC∽△DGF，可得,变形得，可证△BGD∽△CGF，从而∠BDG=∠CFG，再根据正方形的性质求出∠BDG即可.
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC，
∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
∴∠BCD=∠GFD，
∵∠BGC=∠FGD，
∴△BGC∽△DGF，
∴，
∴DG•BC=DF•BG，
∵AB=BC，
∴DG•AB=DF•BG；
（2）如图，连接BD、CF，
∵△BGC∽△DGF，
∴，
∴，
又∵∠BGD=∠CGF，
∴△BGD∽△CGF，
∴∠BDG=∠CFG，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴，
∴∠CFG=45°．
24. 如图，抛物线y=–x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A没有重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
【正确答案】（1） ，；（2）；（3）
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设， 得 ,再由点坐标公式得出方程，求解即可；
（3）分两种情况进行讨论即可得解.
【详解】（1）解：设直线的解析式为（）
∵，
∴ 解得
∴直线的解析式为
∵抛物线点，
∴ 解得
∴
（2）∵轴，
∴设，
∴，
∵点是的中点
∴
∴
解得，（没有合题意，舍去）
∴
（3）∵，，
∴，
∴
∵
∴当与相似时，存在以下两种情况：
①
∴ 解得
∴
②
∴ ,解得
∴点M的坐标为
25. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持没有变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
【正确答案】（1）；（2）没有变；（3）或3或.
【详解】试题分析：（1）由已知条件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；
（2）过点作，，垂足分别为点、，由（1）可得DH=3，DG=4；再证，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论即可.
（1）∵，
∴
∵
∴
∵是边的中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∵
∴
又∵
∴四边形是矩形
∴
∵在中，
∴
（2）没有变
过点作，，垂足分别为点、
由（1）可得，
∵，
∴
又∵，
∴四边形矩形
∴
∵
∴ 即
又∵
∴
∴
∵
∴
（3）1° 当时，易证，即
又∵，D是AB的中点
∴
∴
2° 当时，易证
∵在中，
∴设，则，
当时，易证，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
3° 在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出
当时，易证
∴设，则，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
2022-2023学年上海市崇明区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知：a、b是没有等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，下列各式中正确的是（ ）
A. a=b•cosA B. c=a•sinA C. a•cotA=b D. a•tanA=b
3. 将抛物线y＝﹣（x+1）2+4平移，使平移后所得抛物线原点，那么平移过程为（ ）
A. 向下平移3个单位 B. 向上平移3个单位
C. 向左平移4个单位 D. 向右平移4个单位
4. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 一个三角形框架模型三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度没有符合条件的是（ ）
A. 30厘米、45厘米； B. 40厘米、80厘米； C. 80厘米、120厘米； D. 90厘米、120厘米
6. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（ ）
A. r＜5 B. r＞5 C. r＜10 D. 5＜r＜10
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算：3﹣（﹣2）=____．
8. 计算：2sin245°﹣tan45°＝______．
9. 如果两个相似三角形对应边上的高的比为1：4，那么这两个三角形的周长比是___．
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么cosA=________．
11. 已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
12. 如图，E是▱ABCD的边AD上一点，AE=ED，CE与BD相交于点F，BD=10，那么DF=__．
13. 抛物线 的顶点坐标是________．
14. 点（-1，a）、（-2，b）是抛物线上的两个点，那么a和b的大小关系是a_______b（填“>”或“<”或“=”）．
15. 如图， AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于__．
16. 正多边形一个内角等于144°，则这个多边形的边数是 _________ ．
17. 两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__．
18. 如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A正好落在BC边上的点F处，如果四边形CDEF和矩形ABCD相似，那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是__．
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：sin30°•tan60°+.．
20. 如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设=，= ，求向量关于、的分解式．
21. 如图，已知AB是⊙O的弦，C是 的中点，AB=8，AC= ，求⊙O半径的长．
22. 如图，MN是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32°的方向上，向东走过780米后到达B处，测得海岛在南偏西37°的方向，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：tan37°=cot53°≈0.755，cot37°=tan53°≈1.327，tan32°=cot58°≈0.625，cot32°=tan58°≈1.600．）
23. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．
24. 平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；
（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．
25. 如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，co=，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．
（1）求△ABC面积；
（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．
2022-2023学年上海市崇明区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知：a、b是没有等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵2a=3b，∴ ，∴ ，∴A、C、D选项错误，B选项正确，
故选B.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，下列各式中正确是（ ）
A. a=b•cosA B. c=a•sinA C. a•cotA=b D. a•tanA=b
【正确答案】C
【详解】∵∠C=90°，
∴cosA=，sinA= ，tanA=，cotA=，
∴c·cosA=b，c·sinA=a，b·tanA=a，a·cotA=b，
∴只有选项C正确，
故选C.
本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义并且灵活运用是解题的关键.
3. 将抛物线y＝﹣（x+1）2+4平移，使平移后所得抛物线原点，那么平移的过程为（ ）
A 向下平移3个单位 B. 向上平移3个单位
C. 向左平移4个单位 D. 向右平移4个单位
【正确答案】A
【详解】将抛物线平移，使平移后所得抛物线原点，
若左右平移n个单位得到，则平移后的解析式为：，将（0，0）代入后解得：n=-3或n=1，所以向左平移1个单位或向右平移3个单位后抛物线原点；
若上下平移m个单位得到，则平移后的解析式为：，将（0，0）代入后解得：m=-3，所以向下平移3个单位后抛物线原点，
故选A.
4. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】∵AD//BC，DE//AB，∴四边形ABED是平行四边形，
∴ ， ，
∴选项A、C错误，选项D正确，
选项B错误，
故选D.
5. 一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度没有符合条件的是（ ）
A. 30厘米、45厘米； B. 40厘米、80厘米； C. 80厘米、120厘米； D. 90厘米、120厘米
【正确答案】C
【详解】当60cm的木条与20cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为90cm与120cm；
当60cm的木条与30cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为40cm与80cm；
当60cm的木条与40cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为30cm与45cm；
所以A、B、D选项没有符合题意，C选项符合题意，
故选C.
6. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（ ）
A. r＜5 B. r＞5 C. r＜10 D. 5＜r＜10
【正确答案】D
【详解】延长CD交⊙D于点E，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB==15，
∵D是AB中点，∴CD=，
∵G是△ABC的重心，∴CG==5，DG=2.5，
∴CE=CD+DE=CD+DF=10，
∵⊙C与⊙D相交，⊙C的半径为r，
∴ ，
故选D.
本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG的长是解题的关键.
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算：3﹣（﹣2）=____．
【正确答案】2+2
【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．
【详解】3﹣（﹣2）
=3﹣+2
=2+2，
故答案为2+2，
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加法法则是解题的关键．
8. 计算：2sin245°﹣tan45°＝______．
【正确答案】0
【详解】原式==0，
故答案为0.
9. 如果两个相似三角形对应边上的高的比为1：4，那么这两个三角形的周长比是___．
【正确答案】1:4
【详解】∵两个相似三角形对应边上的高的比为1∶4，
∴这两个相似三角形的相似比是1：4
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴它们的周长比1：4，
故1：4
本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高、相似三角形的周长比都等于相似比．
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么cosA=________．
【正确答案】
【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，
∵sinA=，∴c=2a，∴b= ，
∴cosA=，
故答案为.
11. 已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
【正确答案】
【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
【详解】解：∵，
∴坡角=30°．
此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
12. 如图，E是▱ABCD的边AD上一点，AE=ED，CE与BD相交于点F，BD=10，那么DF=__．
【正确答案】4
【详解】∵AE=ED，AE+ED=AD，∴ED=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DF：BF=DE：BC=2：3，
∵DF+BF=BD=10，
∴DF=4，
故答案为4.
13. 抛物线 的顶点坐标是________．
【正确答案】（0，-1）
【详解】∵a=2，b=0，c=-1，∴-=0， ，
∴抛物线的顶点坐标是(0，-1)，
故答案为（0，-1）.
14. 点（-1，a）、（-2，b）是抛物线上的两个点，那么a和b的大小关系是a_______b（填“>”或“<”或“=”）．
【正确答案】＜
【详解】把点（-1，a）、（-2，b）分别代入抛物线，则有：
a=1-2-3=-4，b=4-4-3=-3，
-4<-3，
所以a
15. 如图， AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于__．
【正确答案】18
【详解】连接OB，
∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，
∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，
∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO-∠B=30°，
∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，
∴AB=AC+BC=18，
故答案为18.
16. 正多边形一个内角等于144°，则这个多边形的边数是 _________ ．
【正确答案】10
【分析】先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．
【详解】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：
（n-2）×180°=144°n，
解得：n=10．
故10．
本题考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角和公式列出式子是本题的关键．
17. 两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__．
【正确答案】4或8
【详解】∵两圆内切，一个圆的半径是6，圆心距是2，
∴另一个圆的半径=6-2=4；
或另一个圆的半径=6+2=8，
故答案为4或8．
本题考查了根据两圆位置关系来求圆的半径的方法．注意圆的半径是6，要分大圆和小圆两种情况讨论．
18. 如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A正好落在BC边上的点F处，如果四边形CDEF和矩形ABCD相似，那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是__．
【正确答案】
【详解】由题意易得四边形ABFE是正方形，
设AB=1，CF=x，则有BC=x+1，CD=1，
∵四边形CDEF和矩形ABCD相似，
∴CD：BC=FC：CD，
即1：（x+1）=x：1，
∴x=或x=（舍去），
∴ =，
故答案为.
本题考查了折叠的性质，相似多边形的性质等，熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：sin30°•tan60°+.．
【正确答案】
【详解】试题分析：把相关的三角形函数值代入进行计算即可.
试题解析：原式=.
20. 如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设=，= ，求向量关于、的分解式．
【正确答案】答案见解析
【详解】试题分析：连接BD，由已知可得MN是△BCD的中位线，则MN=BD，根据向量减法表示出BD即可得.
试题解析：连接BD,
∵点M、N分别是边DC、BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，
∴MN∥BD，MN= BD，
∵ ，
∴ .
21. 如图，已知AB是⊙O的弦，C是 的中点，AB=8，AC= ，求⊙O半径的长．
【正确答案】5
【详解】试题分析：连接OC交AB于D，连接OA，由垂径定理得OD垂直平分AB，设⊙O的半径为r，
在△ACD中，利用勾股定理求得CD=2，在△OAD中，由OA2=OD2+AD2，代入相关数量求解即可得.
试题解析：连接OC交AB于D，连接OA，
由垂径定理得OD垂直平分AB，
设⊙O的半径为r，
在△ACD中，CD2+AD2=AC2，CD=2，
在△OAD中，OA2=OD2+AD2，r2=（r-2）2+16，
解得r=5，
∴☉O的半径为5.
22. 如图，MN是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32°的方向上，向东走过780米后到达B处，测得海岛在南偏西37°的方向，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：tan37°=cot53°≈0.755，cot37°=tan53°≈1.327，tan32°=cot58°≈0.625，cot32°=tan58°≈1.600．）
【正确答案】6000
【详解】试题分析：如图：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得AD=0.625CD，同样在Rt△BCD中，可得BD= 0.755CD，再根据AB=BD-CD=780，代入进行求解即可得.
试题解析：如图：过点C作CD⊥AB于点D，
由已知可得：∠ACD=32°，∠BCD =37°，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∴AD=CD·tan∠ACD=CD·tan32°=0.625CD，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∴BD=CD·tan∠BCD=CD·tan37°=0.755CD，
∵AB=BD-CD=780，∴0.755CD-0.625CD=780，∴CD=6000，
答：小岛到海岸线的距离是6000米.
本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形、根据图形灵活选用三角函数进行求解是关键.
23. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．
【正确答案】证明见解析
【详解】试题分析：（1）根据已知求得∠BDF=∠BCD，再根据∠BFD=∠DFC，证明△BFD∽△DFC，从而得BF：DF=DF：FC，进行变形即得；
（2）由已知证明△AEG∽△ADC，得到∠AEG=∠ADC=90°，从而得EG∥BC，继而得 ，
由（1）可得 ，从而得 ，问题得证.
试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD是Rt△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，
∵E是AC的中点，
∴DE=AE=CE，∴∠A=∠EDA，∠ACD=∠EDC，
∵∠EDC+∠BDF=180°-∠BDC=90°，∴∠BDF=∠BCD，
又∵∠BFD=∠DFC，
∴△BFD∽△DFC，
∴BF：DF=DF：FC，
∴DF2=BF·CF；
（2）∵AE·AC=ED·DF，
∴ ，
又∵∠A=∠A，
∴△AEG∽△ADC，
∴∠AEG=∠ADC=90°，
∴EG∥BC，
∴ ，
由（1）知△DFD∽△DFC，
∴ ，
∴ ，
∴EG·CF=ED·DF.
24. 平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x轴另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；
（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．
【正确答案】（1）（1，4）（2）（0，）或（0，-1）
【详解】试题分析：（1）先求得点C的坐标，再由OA=OC得到点A的坐标，再根据抛物线的对称性得到点B的坐标，利用待定系数法求得解析式后再进行配方即可得到顶点坐标；
（2）由OC//PM，可得∠PMC=∠MCO，求tan∠MCO即可 ；
（3）分情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）当x=0时，抛物线y=ax2+bx+3=3，所以点C坐标为（0，3），∴OC=3，
∵OA=OC，∴OA=3，∴A（3，0），
∵A、B关于x=1对称，∴B（-1，0），
∵A、B在抛物线y=ax2+bx+3上，
∴ ，∴ ，
∴抛物线解析式：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点P（1，4）；
（2）由（1）可知P（1，4），C（0，3），所以M（1，0），∴OC=3，OM=1，
∵OC//PM，∴∠PMC=∠MCO，
∴tan∠PMC=tan∠MCO= = ；
（3）Q在C点的下方，∠BCQ=∠CMP，
CM=,PM=4，BC=，
∴或 ，
∴CQ=或4，
∴Q1(0，),Q2（0，-1）.
25. 如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，co=，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．
（1）求△ABC的面积；
（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．
【正确答案】（1）12（2）y=（0＜x＜5）（3）或
【详解】试题分析：（1）过点A作AH⊥BC于点H ，根据co=求得BH的长，从而根据已知可求得AH的长，BC的长，再利用三角形的面积公式即可得；
（2）先证明△BPD∽△BAC，得到=，再根据 ，代入相关的量即可得；
（3）分情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）过点A作AH⊥BC于点H ，则∠AHB=90°，∴co= ，
∵co=，AB=5，∴BH=4，∴AH=3，
∵AB=AC，∴BC=2BH=8，
∴S△ABC=×8×3=12
（2）∵PB=PD，∴∠B=∠PDB，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠PDB，
∴△BPD∽△BAC，
∴ ，
即，
解得=，
∴ ，
∴ ，
解得y=（0＜x＜5）；
（3）∠APD＜90°，
过C作CE⊥AB交BA延长线于E，可得cos∠CAE= ，
①当∠ADP=90°时，
cos∠APD=cos∠CAE=，
即 ，
解得x=；
②当∠PAD=90°时，
，
解得x=，
综上所述，PB=或.
本题考查了相似三角形的判定与性质、底在同一直线上且高相等的三角形面积的关系等，图形及已知选择恰当的知识进行解答是关键.
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