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2022-2023学年上海市长宁区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年上海市长宁区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共46页。试卷主要包含了 sin30°的值是， 在下列现象中等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市长宁区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一.单 选 题（共10题；共30分）
1. 如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. π-2 B. π-4 C. 4π-2 D. 4π-4
2. 已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（ ）
A. 2- B. 4-6 C. 8-4 D. 2
3. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A. 175πcm2 B. 350πcm2 C. πcm2 D. 150πcm2
4. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度p（单位：kg／m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m3时，气体的密度是（ ）
A. 50 kg／m3 B. 2 kg／m3 C. 100 kg／m3 D. 1 kg／m3
5. 如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 如果两个相似三角形的相似比是1：， 那么这两个相似三角形的面积比是（ ）
A. 2：1 B. 1： C. 1：2 D. 1：4
7. sin30°的值是（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA值为（ ）
A. B. C. D.
9. 在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
10. 如图所示的抛物线对称轴是直线x＝1，与x轴有两个交点，与y轴交点坐标是（0，3），把它向下平移2个单位后，得到新的抛物线解析式是 y＝ax2+bx+c，以下四个结论：①b2﹣4ac＜0，②abc＜0，③4a+2b+c＝1，④a﹣b+c＞0中，判断正确的有（ ）
A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④
二.填 空 题（共8题；共24分）
11. 如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=120°，则∠BOD= ________．
12. 挂钟分针的长10cm，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm
13. 如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为_______cm．
14. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价2元，其日量就增加4个，为了获得利润，则售价为________元，利润为________元．
15. 写出一个图象位于第二、第四象限反比例函数的解析式________．
16. 若（b+d≠0），则=________
17. 如果， 那么=________
18. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4
m﹣2
m﹣
m
m﹣
m﹣2
m﹣4
…
若1＜m＜1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的取值范围是________ ．
三.解 答 题（共6题；共36分）
19. 如图，某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示． AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角∠ABC为45°，坡长AB为2m．为保障，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD 是改造后的斜坡（点D在直线BC上），坡角∠ADC为31°．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果到0.01m）[参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601， ≈1.414]．
20. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？
21. 如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是多少？
22. 如图，以O为位似，将△ABC放大为原来的2倍．
23. “蘑菇石”是我国自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）
24. 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
四.综合题（共10分）
25. 如图，用20m篱笆围成一个矩形的花圃．设连墙的一边为x（m），矩形的面积为y（m2）．
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x=3时，矩形的面积为多少？
2022-2023学年上海市长宁区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一.单 选 题（共10题；共30分）
1. 如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. π-2 B. π-4 C. 4π-2 D. 4π-4
【正确答案】A
【详解】S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB==π﹣2．
故选：A．
2. 已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（ ）
A. 2- B. 4-6 C. 8-4 D. 2
【正确答案】C
【详解】
如图，连接OC．过点C作CD⊥OA于点D．
∵⊙O的直径为4，
∴AB=4，
∴OA=OC=2．
∵弧AC的度数是30°，
∴∠COD=30°，
∴CD=1，
∴OD==，
则AD=2－，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠ADC,
∵∠A=∠A,
∴△ACB∽△ADC,
∴=,
∴AC2=AD·AB=（2－）×4=8－4．
故选C．
点睛：本题涉及到圆的性质、角的三角函数值、相似的判定与性质，圆里面比较常用的性质有直径所对的圆周角是90°，熟记角的三角函数值、射影定理三组结论.
3. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A. 175πcm2 B. 350πcm2 C. πcm2 D. 150πcm2
【正确答案】B
【分析】贴纸部分的面积等于大扇形的面积减去小扇形ADE的面积，由此即可解答．
【详解】∵AB=25，BD=15，
∴AD=10，
∴S贴纸= =175π×2=350cm2，
故选B．
本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式．
4. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度p（单位：kg／m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m3时，气体的密度是（ ）
A. 50 kg／m3 B. 2 kg／m3 C. 100 kg／m3 D. 1 kg／m3
【正确答案】D
【分析】根据点(5,2)求出反比例函数解析式，再令V=10，即可得出答案.
【详解】设函数解析式为
将点(5,2)代入得：
解得：k=10
∴函数解析式为
令V=10，则
故答案选择D.
本题考查的是反比例函数，属于基础题型，需要掌握待定系数法求反比例函数解析式.
5. 如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据弧长公式即可求出圆锥的底面周长，从而求出圆锥的底面半径，根据圆的面积公式即可求出结论．
【详解】解：圆锥的底面周长为：，
设圆锥的底面半径为r，则，
解得：r=2，
∴圆锥的底面积为
故选A．
6. 如果两个相似三角形的相似比是1：， 那么这两个相似三角形的面积比是（ ）
A. 2：1 B. 1： C. 1：2 D. 1：4
【正确答案】C
【详解】如果两个相似三角形的相似比是1∶， 那么这两个相似三角形的面积比是1∶2.
故选C.
点睛：若两个三角形相似，那么这两个三角形的面积比等于相似比的平方.
7. sin30°的值是（ ）
A. B. C. 1 D.
【正确答案】A
详解】sin30°=.
故选A.
点睛：熟记角三角函数值.
8. 在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】
∵sinA==，
∴设BC=12x，AB=13x，
由勾股定理得：AC==5x，
∴tanA==.
故选C.
点睛：掌握三角函数值得算法，熟记公式.
9. 在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
【正确答案】A
【详解】、②属于旋转，③没有止旋转，④是平移，没有是旋转，所以是旋转的有①、②.
故选A.
点睛：旋转的定义：把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转.
10. 如图所示的抛物线对称轴是直线x＝1，与x轴有两个交点，与y轴交点坐标是（0，3），把它向下平移2个单位后，得到新的抛物线解析式是 y＝ax2+bx+c，以下四个结论：①b2﹣4ac＜0，②abc＜0，③4a+2b+c＝1，④a﹣b+c＞0中，判断正确的有（ ）
A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④
【正确答案】A
【分析】根据平移后的图象即可判定①，根据平移后的对称轴和与y轴的交点坐标，即可判定a和b的关系以及c的值，即可判定②，根据与y轴的交点求得对称点，即可判定③，根据图象即可判定④．
【详解】根据题意平移后的抛物线的对称轴x1，c=3﹣2=1，由图象可知，平移后的抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵抛物线开口向上，∴a＞0，b=﹣2a＜0，∴abc＜0，故②正确；
∵平移后抛物线与y轴的交点为（0，1）对称轴x=1，∴点（2，1）是点（0，1）的对称点，∴当x=2时，y=1，∴4a+2b+c=1，故③正确；
由图象可知，当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．
故选A．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是可以看懂二次函数的图象，根据图象可以判断a、b、c的符号，灵活变化，能够找出所求各结论需要的条件．
二.填 空 题（共8题；共24分）
11. 如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=120°，则∠BOD= ________．
【正确答案】30°
【详解】∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∵∠COD=120°，
∴∠C=∠D=30°，
∵AB∥CD，
∴∠BOD=∠D=30°，
故答案为30°．
点睛：掌握平行线的性质以及等腰三角形的性质.
12. 挂钟分针的长10cm，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm
【正确答案】．
【详解】试题分析：先求出45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式l=，求得弧长．
∵分针60分钟，转过360°，
∴45分钟转过270°，
则分针的针尖转过的弧长是l=（cm）．
考点：弧长的计算．
13. 如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为_______cm．
【正确答案】18
【分析】根据题意可画出图形，根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【详解】解：如图，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC．
∴．
设屏幕上的小树高是x，则．
解得x=18cm．
故18．
14. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价2元，其日量就增加4个，为了获得利润，则售价为________元，利润为________元．
【正确答案】 ①. 90 ②. 800
【详解】设降价x元，利润为y，
y=（100－70－x）（20+4×）
=－2x2+40x+600
=－2（x－10）2+800，
当x=10时，y的值为800，
即售价为90元时，利润为800元．
故90，800．
此题关键理解商品降低的价格和销量之间的关系，一般要求利润将利润表示为二次函数的形式，求最值即可.
15. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
【正确答案】（答案没有）
【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可．
【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案没有）．
本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0．
16. 若（b+d≠0），则=________
【正确答案】
【详解】由题意得：b=3a，d=3c，
∴===.
故答案.
17. 如果， 那么=________
【正确答案】
【详解】设x=2k，y=5k，
==.
故答案为.
18. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4
m﹣2
m﹣
m
m﹣
m﹣2
m﹣4
…
若1＜m＜1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的取值范围是________ ．
【正确答案】﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3
【详解】∵1＜m＜1，
∴－1＜m－2＜－，＜m－＜1，
∴y=0在y=m－2与y=m－之间，
∴对应的x的值在－1与0之间，及2与3之间，即－1＜x1＜0，2＜x2＜3．
故－1＜x1＜0，2＜x2＜3．
点睛：根据函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围．
三.解 答 题（共6题；共36分）
19. 如图，某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示． AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角∠ABC为45°，坡长AB为2m．为保障，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD 是改造后的斜坡（点D在直线BC上），坡角∠ADC为31°．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果到0.01m）[参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601， ≈1.414]．
【正确答案】2.35m
【详解】试题分析：首先由AC=AB•sin45°可得出AC的长度，再由tan∠ADC=可求出CD的长度.
试题解析：
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=45°，AB=2m，
∴AC=AB•sin45°=（m），
∴AC=BC=（m），
在Rt△ADC中，∵∠ADC=31°，
∴tan∠ADC=,
∴DC==≈2.35m.
答：斜坡AD底端D与平台AC的距离CD约为2.35m.
点睛:（1）坡角的概念：坡面与水平面的夹角；
（2）掌握三角函数的算法，熟记公式.
20. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？
【正确答案】（2﹣4）米
【详解】试题分析：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，抛物线以y轴为对称轴，由题意得OC=2即抛物线顶点C坐标为（0，2），所以将抛物线解析式设为顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（－2，0）到抛物线解析式得出，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=－1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=－1与抛物线相交的两点之间的距离，将y=－1代入抛物线解析式即可求出，求出增加的宽度即可.
试题解析：
建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，
∵OC=2，
∴顶点C坐标为（0，2），
∴设抛物线解析式为y=ax2+2，
将 A点坐标（－2，0）代入解析式，得：a=－0.5，
∴抛物线解析式为：y=－0.5x2+2，
令y=－1，－1=－0.5x2+2，
解得：x=±，
∴水面宽度增加到2米，
比原先的宽度当然是增加了（2－4）米．
点睛：掌握二次函数的应用，此类问题先建立直角坐标系，解出二次函数解析式，再根据对应的问题进行求解.
21. 如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是多少？
【正确答案】7
【详解】试题分析：根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长，∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF=9，AB=12，∴EF：AB=9：12=3：4，
∴△CEF和△CBA的面积比=9：16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF=7k，∵△CDF与△CEF是同高没有同底的三角形，
∴面积比等于底之比，∴DF：EF=7k：9k，∴DF=7．
考点：相似三角形的判定与性质
22. 如图，以O为位似，将△ABC放大为原来的2倍．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：①连接OA并延长至A′使得AA′=OA，同理，作出B′、C′，连接A′、B′、C′；②延长AO至A″使得A″O=2AO，同理作出B″、C″，连接A″、B″、C″.
试题解析：
如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．
点睛：理解位似的定义，即对应点连线交于一点，对应边互相平行，由放大或者缩小的倍数确定边长之间的比例关系.
23. “蘑菇石”是我国的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）
【正确答案】242.1m
【详解】试题分析：过点D作DF⊥BC交BC于点F，延长DE交AC于点M，先由sin80°= 求出DF即MC的长度，再求出AM的长度，根据sin29°= 计算出AE的长度即可.
试题解析：
如图，过点D作DF⊥BC交BC于点F，延长DE交AC于点M，
由题意可得：EM⊥AC，DF=MC，∠AEM=29°，
∵在Rt△DFB中，sin80°= ，
∴DF=BD•sin80°，
∴MC=DF=1800•sin80°，
∴AM=AC－CM=1890－1800•sin80°，
∵在Rt△AME中，sin29°= ，
∴AE= = ≈242.1（m），
答：斜坡AE的长度约为242.1m．
点睛：掌握解直角三角形的应用，最常用的辅助线是作垂线.
24. 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
【正确答案】汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米
【分析】试题分析：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC﹣（AD+BD）即可求解．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°，
∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5．
在Rt△BCD中，∵∠B=45°，
∴BD=CD=5，BC=5．
∴AC+BC﹣（AD+BD）=10+5﹣（5+5）=5+5﹣5（千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米．
四.综合题（共10分）
25. 如图，用20m的篱笆围成一个矩形的花圃．设连墙的一边为x（m），矩形的面积为y（m2）．
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x=3时，矩形的面积为多少？
【正确答案】（1）y=﹣2x2+20x；（2）42
【详解】试题分析：（1）设连墙的一边为x（m），矩形的面积为y（m2），则另一边长为：（20－2x）m，根据矩形面积公式写出函数关系式即可；（2）将x=3代入函数解析式求出y即可.
试题解析：
（1）设连墙的一边为x（m），矩形的面积为y（m2）， 则另一边长为：（20－2x）m，
∴y关于x的函数解析式为：y=x（20－2x）=－2x2+20x；
（2）当x=3时，矩形的面积为：y=－2×32+20×3=42（cm2） .
点睛：计算矩形另一边的长度时，注意有墙的一边没有用围篱笆.
2022-2023学年上海市长宁区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A. B. C. 3sinα D. 3cosα
2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， =2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）
A B. C. D.
3. 将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. y=﹣（x+1）2+1 B. y=﹣（x﹣1）2+3 C. y=﹣（x+1）2+5 D. y=﹣（x+3）2+3
4. 已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径圆P与x轴的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相离、相切、相交都有可能
5. 已知是单位向量，且，那么下列说法错误的是（ ）
A. ∥ B. ||=2 C. ||=﹣2|| D. =﹣
6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论没有一定正确的是（ ）
A △AOD∽△BOC B. △AOB∽△DOC
C. CD＝BC D. BC•CD＝AC•OA
二、填 空 题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分）
7. 若线段a、b满足，则的值为_____．
8. 正八边形的角等于______度
9. 若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是________．
10. 抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为_____．
11. 已知与相似，且与的相似比为，若的面积为，则的面积等于_______．
12. 已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．
13. 已知某斜面的坡度为1:，那么这个斜面的坡角等于_____度．
14. 已知点A（﹣2，m）、B（2，n）都在抛物线y=x2+2x﹣t上，则m与n的大小关系是m_____n．（填“＞”、“＜”或“=”）
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G作DG∥BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则△ADG的周长等于_____．
16. 已知⊙的半径为4，⊙的半径为R，若⊙与⊙相切，且，则R的值为________．
17. 如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于_____．
18. 如图，在边长为2菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于_____．
三、解 答 题（本大题共7题, 满分78分）
19. 计算：．
20. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．
21. 如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．
22. 如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．
（参考数据：≈1.414，≈1.732．结果到0.1米）
23. 如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE＝AB•AD．
24. 在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c点A与点C，且与x轴另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．
25. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P没有与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．
2022-2023学年上海市长宁区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A. B. C. 3sinα D. 3cosα
【正确答案】A
【详解】RtABC中，∠C=90°，∴cos= ，
∵，AC=，
∴cosα= ，
∴AB= ，
故选A.
考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数值是余弦值的知识是解决本题的关键．
2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， =2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【分析】只要证明，可得△BAC∽△DAE，证得∠B=∠D，即可解决问题．
【详解】解：A、 ，可得AE：AC=1：1，与已知没有成比例，故没有能判定；
B、，可得AC：AE=1：1，与已知没有成比例，故没有能判定；
C、即与已知的，可得两组边对应成比例，但夹角没有知是否相等，因此没有一定能判定；
D、，又∠BAC=∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠B=∠D，则DE//BC，符合题意，
故选D．
本题考查相似三角形的判定、平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3. 将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. y=﹣（x+1）2+1 B. y=﹣（x﹣1）2+3 C. y=﹣（x+1）2+5 D. y=﹣（x+3）2+3
【正确答案】B
【详解】解：∵将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y=﹣（x+1﹣2）2+3=﹣（x﹣1）2+3．故选B．
4. 已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相离、相切、相交都有可能
【正确答案】A
【分析】先求出点P到x轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：点P(-2，3)到x轴的距离是3，
3>2，
所以圆P与轴的位置关系是相离，
故选A.
本题考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系等知识点，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
5. 已知是单位向量，且，那么下列说法错误的是（ ）
A. ∥ B. ||=2 C. ||=﹣2|| D. =﹣
【正确答案】C
【详解】解：∵是单位向量，且，，
∴，， ， ，
故C选项错误，
故选C.
6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论没有一定正确的是（ ）
A. △AOD∽△BOC B. △AOB∽△DOC
C. CD＝BC D. BC•CD＝AC•OA
【正确答案】D
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴∽ ，故A没有符合题意；
∵∽ ，∴AO：OD=OB：OC，∵∠AOB=∠DOC，∴∽，故B没有符合题意；
∵∽，∴∠CDB=∠CAB，
∵∠CAD=∠CAB，∠DAC =∠DBC，∴∠CDB=∠DBC，∴CD=BC；
没有条件可以证明，
故选D.
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定方法①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.
二、填 空 题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分）
7. 若线段a、b满足，则的值为_____．
【正确答案】
【分析】由可得b=2a，然后代入求值.
【详解】解:由可得b=2a，
所以 =，
故答案为.
本题考查分式的化简求值，掌握比例的性质是本题的解题关键.
8. 正八边形的角等于______度
【正确答案】45
【分析】已知该多边形为正八边形，代入角公式即可得出．
【详解】∵该多边形为正八边形，故n=8
∴
故45．
本题考查了正多边形的角，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的角，正n边形的每个角都等于．
9. 若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是________．
【正确答案】a＞2
【分析】利用二次函数图像的性质直接求解.
【详解】解:∵抛物线的开口向上，
∴a-2>0，
∴a＞2，
故答案为a＞2.
本题考查二次函数图像的性质，掌握二次项系数决定开口方向是本题的解题关键.
10. 抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为_____．
【正确答案】（2，﹣1）．
【详解】先把函数解析式配成顶点式得到y=（x-2）2-1，然后根据顶点式即可得到顶点坐标．
解：y=（x-2）2-1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，-1）．
故答案为（2，-1）．
“点睛”本题考查了二次函数的性质．二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=（x-h）2+k；两根式：y=a（x-x1）（x-x2）．
11. 已知与相似，且与的相似比为，若的面积为，则的面积等于_______．
【正确答案】
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得．
【详解】相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，
则，
，
，
解得，
故．
本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题关键．
12. 已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．
【正确答案】（6﹣2）cm．
【分析】根据黄金分割点的定义和AP＜BP得出PB=AB，代入数据即可得出BP的长度．
【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP＜BP，
则BP=×4=（2 -2）cm．
∴AP=4-BP=
故()cm．
【点评】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的 ．
13. 已知某斜面的坡度为1:，那么这个斜面的坡角等于_____度．
【正确答案】30°
【详解】分析：画出示意图，利用坡角的定义直接得出tanA=求出∠A即可．
详解：如图所示：
∵某坡面的坡比为1:，
∴tanA==，
则它的坡角是：30∘.
故答案为30.
点睛：本题考查三角函数的知识，解题的关键是掌握角度的三角函数值，常见的角的三角函数值包括30°、60°、90°、45°的三角函数值，直接根据角度的三角函数值进行求解即可.
14. 已知点A（﹣2，m）、B（2，n）都在抛物线y=x2+2x﹣t上，则m与n的大小关系是m_____n．（填“＞”、“＜”或“=”）
【正确答案】<
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=x2+2x-t的开口向上，有最小值为-t-1，对称轴为直线x=-1，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，进而解答即可．
【详解】∵y=x2+2x-t=（x+1）2-t-1，
∴a=1＞0，有最小值为-t-1，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y=x2+2x-t对称轴为直线x=-1，
∵-2＜0＜2，
∴m＜n．
故＜
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G作DG∥BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则△ADG的周长等于_____．
【正确答案】10
【详解】延长AG交BC于点E，
∵点G是重心，
∴AG：AE=2：3，BE =BC=4.5，
∵∠BAC=90°，∴AE=BE=4.5，
∵DG//BC，
∴△ADG∽△ABE，
∴AD：AB=DG：BE=AG：AE=2：3，
又∵AB=6，
∴AD=4，DG=3，AG=3，
∴AD+DG+AG=10，
故答案为10.
16. 已知⊙的半径为4，⊙的半径为R，若⊙与⊙相切，且，则R的值为________．
【正确答案】6或14
【分析】⊙O1和⊙O2相切，有两种情况需要考虑：内切和外切．内切时，⊙O2半径=圆心距+⊙O1的半径；外切时，⊙O2的半径=圆心距-⊙O1的半径．
【详解】若⊙与⊙外切，则有4+R=10，解得：R=6；
若⊙与⊙内切，则有R-4=10，解得：R=14，
故答案为6或14.
17. 如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于_____．
【正确答案】16
【分析】如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．易知四边形BEDF是矩形，理由面积法求出DE，再利用等腰三角形的性质，求出DF即可解决问题．
【详解】连接BD，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥DC于点N，
∵梯形ABCD是等距四边形，点B是等距点，
∴AB=BD=BC=10，
∵= ，
∴AM=，∴BM==3，
∵BM⊥AD，∴AD=2AM=2，
∵AB//CD，
∴S△ABD=，
∴BN=6，
∵BN⊥DC，∴DN==8，
∴CD=2DN=16，
故答案为16.
18. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：如图，作GH⊥BA交BA的延长线于H，EF交BG于O．
∵四边形ABCD是菱形，∠D=60°，
∴△ABC，△ADC度数等边三角形，AB=BC=CD=AD=2，
∴∠BAD=120°，∠HAG=60°，
∵AG=GD=1，
∴AH=AG=，HG=，
在Rt△BHG中，BG=，
∵△BEO∽△BGH，
∴，
∴，
∴BE=，
故答案．
三、解 答 题（本大题共7题, 满分78分）
19. 计算：．
【正确答案】2+
【详解】试题分析：根据角三角函数值，可得答案．
试题解析：解：原式=﹣
=﹣
=2+﹣
=2+．
20. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．
【正确答案】(1)见解析；（2）=﹣．
【分析】（1）由 得，由DE//BC得，再由DF//AC即可得；
（2）根据已知可得 ， ，从而即可得.
【详解】（1）∵ ， ∴，
∵DE//BC，∴，
又∵DF//AC，∴ ；
（2）∵，∴，
∵，与方向相反 ， ∴ ，
同理： ，
又∵，∴.
21. 如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO值．
【正确答案】（1）40；（2）
【详解】试题分析：（1）根据，CD过圆心O，可得到CD⊥AB，AB=2AD=2BD，在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD长即可得；
（2）利用勾股定理求得半径长，然后再根据正弦三角形函数的定义即可求得.
试题解析：（1）∵CD过圆心O， ，
∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，
∵CD=40， ，
又∵∠ADC=，
∴，
∴AB=2AD=40；
（2）设圆O的半径为r，则OD=40-r，
∵BD=AD=20， ∠ODB= ， ∴，
∴，
∴r=25，OD=15，
∴.
22. 如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．
（参考数据：≈1.414，≈1.732．结果到0.1米）
【正确答案】商务楼的高度为37.9米．
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．
【详解】过点B作BE⊥CD与点E，由题意可知∠DBE=，
∠DAC=，CE=AB=16
设AC=x，则，BE=AC=x
∵
∵∴BE=DE ∴
∴
∴
∴
答： 商务楼的高度为37.9米.
23. 如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE＝AB•AD．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△FDA，推出∠DAE=∠F，依据∠ADB＝∠CDE，推出∠FDB=∠ADC，即可得到结论；
（2）根据△BFD∽△CAD，推出，∠B=∠C，得到AB=AC，由此推出结论．
【详解】解：（1）∵AD2＝DE•DF．
∴，
又∵∠ADE=∠FDA，
∴△ADE∽△FDA，
∴∠DAE=∠F，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠FDB=∠ADC，
∴△BFD∽△CAD；
（2）∵△BFD∽△CAD，
∴，
∵，
∴，
∵△BFD∽△CAD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴，
∴BF•DE＝AB•AD．
此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定及性质定理并熟练应用解决问题是解题的关键．
24. 在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x+2；（2）；（3）（﹣，）或（﹣3，2）．
【分析】（1）由直线得到A、C的坐标，然后代入二次函数解析式，利用待定系数法即可得；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，由已知可得 ，从而可得、的长，然后再根据三角函数的定义即可得；
（3）分情况讨论即可得．
【详解】（1）令直线y=x+2中y=0得x+2=0
解得x=-4，∴A(-4，0)，
令x=0得y=2，∴C(0，2)
把A、C两点的坐标代入得，
，
∴ ，
∴ ；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，
由上可知B（1，0），
∵，
∴ ，
∴，
将代入直线y=x+2，解得
∴
∴ ，
∵
∴；
（3）∵DF⊥AC ，
∴，
①若，则CD//AO ，
∴点D的纵坐标为2，
把y=2代入得x=-3或x=0（舍去），
∴D(-3，2) ；
②若时，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DG交x轴于点Q，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
设Q(m，0)，则，
∴ ，
∴，
易证：∽ ，
∴ ，
设D(-4t，3t+2)代入得t=0(舍去)或者，
∴．
综上，D点坐标为（﹣，）或（﹣3，2）
25. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P没有与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．
【正确答案】（1）1；（2）y=；（3）PD的长为±1或．
【详解】试题分析：（1）根据矩形ABCD ， A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，可得， ，得一，从而可得 ；
（2）先证明∽ ，从而得到 ，由AD//BC ，可得，从而根据三角函数可得 ，由得 ，代入，即可得；
（3）分∠CPF的∠FPE的内部与外部两种情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）∵矩形ABCD ，∴，
∴ ， ∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，
∴ ， ∴，
∴，∵，
∴ ， ∴，
∴ ；
（2）∵PF⊥BP ，∴，
∴ ，∵ ，∴，
∴， 又∵∠BAP =∠FPE，
∴∽ ，∴ ，
∵AD//BC ， ∴，
∴ ， 即 ，
∵ ， ∴ ，
∴，
∴；
（3）∠CPF=∠BPE，
①如图所示，当点F在CE上时，
∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，
∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，
∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，
∴△PAB∽△CPD，
∴PB：CD=AB：PD，
∴PB·PD=CD·AB，
∴x（）=2×2，
∴x=；
②如图所示，当点F在EC延长线上时，
过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，
则有PC：PM=CH：MH，
∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，
∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，
∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，
∵∠ABD=∠BDC，
∴△PAB∽△MPD，
∴PB：MD=AB：PD，
由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，
易得：DN= ，PN=，CN=2-，
PH=2x，FH= ，CH=2-x，
由PB：MD=AB：PD可得MD= ，从而可得MN，
在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，
由PC：PM=CH：MH可得PM，
在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程，
解得x= ，
综上：PD的长为：或 .
本题考查了相似综合题，涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例等，解题的关键是根据图形正确地确定相似的三角形，添加适当的辅助线等.
2022-2023学年上海市长宁区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一.单 选 题（共10题；共30分）
1. 如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. π-2 B. π-4 C. 4π-2 D. 4π-4
2. 已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（ ）
A. 2- B. 4-6 C. 8-4 D. 2
3. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A. 175πcm2 B. 350πcm2 C. πcm2 D. 150πcm2
4. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度p（单位：kg／m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m3时，气体的密度是（ ）
A. 50 kg／m3 B. 2 kg／m3 C. 100 kg／m3 D. 1 kg／m3
5. 如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 如果两个相似三角形的相似比是1：， 那么这两个相似三角形的面积比是（ ）
A. 2：1 B. 1： C. 1：2 D. 1：4
7. sin30°的值是（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA值为（ ）
A. B. C. D.
9. 在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
10. 如图所示的抛物线对称轴是直线x＝1，与x轴有两个交点，与y轴交点坐标是（0，3），把它向下平移2个单位后，得到新的抛物线解析式是 y＝ax2+bx+c，以下四个结论：①b2﹣4ac＜0，②abc＜0，③4a+2b+c＝1，④a﹣b+c＞0中，判断正确的有（ ）
A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④
二.填 空 题（共8题；共24分）
11. 如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=120°，则∠BOD= ________．
12. 挂钟分针的长10cm，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm
13. 如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为_______cm．
14. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价2元，其日量就增加4个，为了获得利润，则售价为________元，利润为________元．
15. 写出一个图象位于第二、第四象限反比例函数的解析式________．
16. 若（b+d≠0），则=________
17. 如果， 那么=________
18. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4
m﹣2
m﹣
m
m﹣
m﹣2
m﹣4
…
若1＜m＜1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的取值范围是________ ．
三.解 答 题（共6题；共36分）
19. 如图，某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示． AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角∠ABC为45°，坡长AB为2m．为保障，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD 是改造后的斜坡（点D在直线BC上），坡角∠ADC为31°．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果到0.01m）[参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601， ≈1.414]．
20. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？
21. 如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是多少？
22. 如图，以O为位似，将△ABC放大为原来的2倍．
23. “蘑菇石”是我国自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）
24. 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
四.综合题（共10分）
25. 如图，用20m篱笆围成一个矩形的花圃．设连墙的一边为x（m），矩形的面积为y（m2）．
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x=3时，矩形的面积为多少？
2022-2023学年上海市长宁区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一.单 选 题（共10题；共30分）
1. 如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. π-2 B. π-4 C. 4π-2 D. 4π-4
【正确答案】A
【详解】S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB==π﹣2．
故选：A．
2. 已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（ ）
A. 2- B. 4-6 C. 8-4 D. 2
【正确答案】C
【详解】
如图，连接OC．过点C作CD⊥OA于点D．
∵⊙O的直径为4，
∴AB=4，
∴OA=OC=2．
∵弧AC的度数是30°，
∴∠COD=30°，
∴CD=1，
∴OD==，
则AD=2－，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠ADC,
∵∠A=∠A,
∴△ACB∽△ADC,
∴=,
∴AC2=AD·AB=（2－）×4=8－4．
故选C．
点睛：本题涉及到圆的性质、角的三角函数值、相似的判定与性质，圆里面比较常用的性质有直径所对的圆周角是90°，熟记角的三角函数值、射影定理三组结论.
3. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A. 175πcm2 B. 350πcm2 C. πcm2 D. 150πcm2
【正确答案】B
【分析】贴纸部分的面积等于大扇形的面积减去小扇形ADE的面积，由此即可解答．
【详解】∵AB=25，BD=15，
∴AD=10，
∴S贴纸= =175π×2=350cm2，
故选B．
本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式．
4. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度p（单位：kg／m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m3时，气体的密度是（ ）
A. 50 kg／m3 B. 2 kg／m3 C. 100 kg／m3 D. 1 kg／m3
【正确答案】D
【分析】根据点(5,2)求出反比例函数解析式，再令V=10，即可得出答案.
【详解】设函数解析式为
将点(5,2)代入得：
解得：k=10
∴函数解析式为
令V=10，则
故答案选择D.
本题考查的是反比例函数，属于基础题型，需要掌握待定系数法求反比例函数解析式.
5. 如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据弧长公式即可求出圆锥的底面周长，从而求出圆锥的底面半径，根据圆的面积公式即可求出结论．
【详解】解：圆锥的底面周长为：，
设圆锥的底面半径为r，则，
解得：r=2，
∴圆锥的底面积为
故选A．
6. 如果两个相似三角形的相似比是1：， 那么这两个相似三角形的面积比是（ ）
A. 2：1 B. 1： C. 1：2 D. 1：4
【正确答案】C
【详解】如果两个相似三角形的相似比是1∶， 那么这两个相似三角形的面积比是1∶2.
故选C.
点睛：若两个三角形相似，那么这两个三角形的面积比等于相似比的平方.
7. sin30°的值是（ ）
A. B. C. 1 D.
【正确答案】A
详解】sin30°=.
故选A.
点睛：熟记角三角函数值.
8. 在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】
∵sinA==，
∴设BC=12x，AB=13x，
由勾股定理得：AC==5x，
∴tanA==.
故选C.
点睛：掌握三角函数值得算法，熟记公式.
9. 在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
【正确答案】A
【详解】、②属于旋转，③没有止旋转，④是平移，没有是旋转，所以是旋转的有①、②.
故选A.
点睛：旋转的定义：把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转.
10. 如图所示的抛物线对称轴是直线x＝1，与x轴有两个交点，与y轴交点坐标是（0，3），把它向下平移2个单位后，得到新的抛物线解析式是 y＝ax2+bx+c，以下四个结论：①b2﹣4ac＜0，②abc＜0，③4a+2b+c＝1，④a﹣b+c＞0中，判断正确的有（ ）
A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④
【正确答案】A
【分析】根据平移后的图象即可判定①，根据平移后的对称轴和与y轴的交点坐标，即可判定a和b的关系以及c的值，即可判定②，根据与y轴的交点求得对称点，即可判定③，根据图象即可判定④．
【详解】根据题意平移后的抛物线的对称轴x1，c=3﹣2=1，由图象可知，平移后的抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵抛物线开口向上，∴a＞0，b=﹣2a＜0，∴abc＜0，故②正确；
∵平移后抛物线与y轴的交点为（0，1）对称轴x=1，∴点（2，1）是点（0，1）的对称点，∴当x=2时，y=1，∴4a+2b+c=1，故③正确；
由图象可知，当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．
故选A．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是可以看懂二次函数的图象，根据图象可以判断a、b、c的符号，灵活变化，能够找出所求各结论需要的条件．
二.填 空 题（共8题；共24分）
11. 如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=120°，则∠BOD= ________．
【正确答案】30°
【详解】∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∵∠COD=120°，
∴∠C=∠D=30°，
∵AB∥CD，
∴∠BOD=∠D=30°，
故答案为30°．
点睛：掌握平行线的性质以及等腰三角形的性质.
12. 挂钟分针的长10cm，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm
【正确答案】．
【详解】试题分析：先求出45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式l=，求得弧长．
∵分针60分钟，转过360°，
∴45分钟转过270°，
则分针的针尖转过的弧长是l=（cm）．
考点：弧长的计算．
13. 如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为_______cm．
【正确答案】18
【分析】根据题意可画出图形，根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【详解】解：如图，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC．
∴．
设屏幕上的小树高是x，则．
解得x=18cm．
故18．
14. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价2元，其日量就增加4个，为了获得利润，则售价为________元，利润为________元．
【正确答案】 ①. 90 ②. 800
【详解】设降价x元，利润为y，
y=（100－70－x）（20+4×）
=－2x2+40x+600
=－2（x－10）2+800，
当x=10时，y的值为800，
即售价为90元时，利润为800元．
故90，800．
此题关键理解商品降低的价格和销量之间的关系，一般要求利润将利润表示为二次函数的形式，求最值即可.
15. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
【正确答案】（答案没有）
【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可．
【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案没有）．
本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0．
16. 若（b+d≠0），则=________
【正确答案】
【详解】由题意得：b=3a，d=3c，
∴===.
故答案.
17. 如果， 那么=________
【正确答案】
【详解】设x=2k，y=5k，
==.
故答案为.
18. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4
m﹣2
m﹣
m
m﹣
m﹣2
m﹣4
…
若1＜m＜1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的取值范围是________ ．
【正确答案】﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3
【详解】∵1＜m＜1，
∴－1＜m－2＜－，＜m－＜1，
∴y=0在y=m－2与y=m－之间，
∴对应的x的值在－1与0之间，及2与3之间，即－1＜x1＜0，2＜x2＜3．
故－1＜x1＜0，2＜x2＜3．
点睛：根据函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围．
三.解 答 题（共6题；共36分）
19. 如图，某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示． AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角∠ABC为45°，坡长AB为2m．为保障，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD 是改造后的斜坡（点D在直线BC上），坡角∠ADC为31°．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果到0.01m）[参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601， ≈1.414]．
【正确答案】2.35m
【详解】试题分析：首先由AC=AB•sin45°可得出AC的长度，再由tan∠ADC=可求出CD的长度.
试题解析：
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=45°，AB=2m，
∴AC=AB•sin45°=（m），
∴AC=BC=（m），
在Rt△ADC中，∵∠ADC=31°，
∴tan∠ADC=,
∴DC==≈2.35m.
答：斜坡AD底端D与平台AC的距离CD约为2.35m.
点睛:（1）坡角的概念：坡面与水平面的夹角；
（2）掌握三角函数的算法，熟记公式.
20. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？
【正确答案】（2﹣4）米
【详解】试题分析：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，抛物线以y轴为对称轴，由题意得OC=2即抛物线顶点C坐标为（0，2），所以将抛物线解析式设为顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（－2，0）到抛物线解析式得出，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=－1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=－1与抛物线相交的两点之间的距离，将y=－1代入抛物线解析式即可求出，求出增加的宽度即可.
试题解析：
建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，
∵OC=2，
∴顶点C坐标为（0，2），
∴设抛物线解析式为y=ax2+2，
将 A点坐标（－2，0）代入解析式，得：a=－0.5，
∴抛物线解析式为：y=－0.5x2+2，
令y=－1，－1=－0.5x2+2，
解得：x=±，
∴水面宽度增加到2米，
比原先的宽度当然是增加了（2－4）米．
点睛：掌握二次函数的应用，此类问题先建立直角坐标系，解出二次函数解析式，再根据对应的问题进行求解.
21. 如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是多少？
【正确答案】7
【详解】试题分析：根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长，∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF=9，AB=12，∴EF：AB=9：12=3：4，
∴△CEF和△CBA的面积比=9：16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF=7k，∵△CDF与△CEF是同高没有同底的三角形，
∴面积比等于底之比，∴DF：EF=7k：9k，∴DF=7．
考点：相似三角形的判定与性质
22. 如图，以O为位似，将△ABC放大为原来的2倍．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：①连接OA并延长至A′使得AA′=OA，同理，作出B′、C′，连接A′、B′、C′；②延长AO至A″使得A″O=2AO，同理作出B″、C″，连接A″、B″、C″.
试题解析：
如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．
点睛：理解位似的定义，即对应点连线交于一点，对应边互相平行，由放大或者缩小的倍数确定边长之间的比例关系.
23. “蘑菇石”是我国的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）
【正确答案】242.1m
【详解】试题分析：过点D作DF⊥BC交BC于点F，延长DE交AC于点M，先由sin80°= 求出DF即MC的长度，再求出AM的长度，根据sin29°= 计算出AE的长度即可.
试题解析：
如图，过点D作DF⊥BC交BC于点F，延长DE交AC于点M，
由题意可得：EM⊥AC，DF=MC，∠AEM=29°，
∵在Rt△DFB中，sin80°= ，
∴DF=BD•sin80°，
∴MC=DF=1800•sin80°，
∴AM=AC－CM=1890－1800•sin80°，
∵在Rt△AME中，sin29°= ，
∴AE= = ≈242.1（m），
答：斜坡AE的长度约为242.1m．
点睛：掌握解直角三角形的应用，最常用的辅助线是作垂线.
24. 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
【正确答案】汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米
【分析】试题分析：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC﹣（AD+BD）即可求解．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°，
∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5．
在Rt△BCD中，∵∠B=45°，
∴BD=CD=5，BC=5．
∴AC+BC﹣（AD+BD）=10+5﹣（5+5）=5+5﹣5（千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米．
四.综合题（共10分）
25. 如图，用20m的篱笆围成一个矩形的花圃．设连墙的一边为x（m），矩形的面积为y（m2）．
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x=3时，矩形的面积为多少？
【正确答案】（1）y=﹣2x2+20x；（2）42
【详解】试题分析：（1）设连墙的一边为x（m），矩形的面积为y（m2），则另一边长为：（20－2x）m，根据矩形面积公式写出函数关系式即可；（2）将x=3代入函数解析式求出y即可.
试题解析：
（1）设连墙的一边为x（m），矩形的面积为y（m2）， 则另一边长为：（20－2x）m，
∴y关于x的函数解析式为：y=x（20－2x）=－2x2+20x；
（2）当x=3时，矩形的面积为：y=－2×32+20×3=42（cm2） .
点睛：计算矩形另一边的长度时，注意有墙的一边没有用围篱笆.
2022-2023学年上海市长宁区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A. B. C. 3sinα D. 3cosα
2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， =2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）
A B. C. D.
3. 将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. y=﹣（x+1）2+1 B. y=﹣（x﹣1）2+3 C. y=﹣（x+1）2+5 D. y=﹣（x+3）2+3
4. 已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径圆P与x轴的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相离、相切、相交都有可能
5. 已知是单位向量，且，那么下列说法错误的是（ ）
A. ∥ B. ||=2 C. ||=﹣2|| D. =﹣
6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论没有一定正确的是（ ）
A △AOD∽△BOC B. △AOB∽△DOC
C. CD＝BC D. BC•CD＝AC•OA
二、填 空 题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分）
7. 若线段a、b满足，则的值为_____．
8. 正八边形的角等于______度
9. 若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是________．
10. 抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为_____．
11. 已知与相似，且与的相似比为，若的面积为，则的面积等于_______．
12. 已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．
13. 已知某斜面的坡度为1:，那么这个斜面的坡角等于_____度．
14. 已知点A（﹣2，m）、B（2，n）都在抛物线y=x2+2x﹣t上，则m与n的大小关系是m_____n．（填“＞”、“＜”或“=”）
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G作DG∥BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则△ADG的周长等于_____．
16. 已知⊙的半径为4，⊙的半径为R，若⊙与⊙相切，且，则R的值为________．
17. 如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于_____．
18. 如图，在边长为2菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于_____．
三、解 答 题（本大题共7题, 满分78分）
19. 计算：．
20. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．
21. 如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．
22. 如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．
（参考数据：≈1.414，≈1.732．结果到0.1米）
23. 如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE＝AB•AD．
24. 在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c点A与点C，且与x轴另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．
25. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P没有与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．
2022-2023学年上海市长宁区九年级上册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A. B. C. 3sinα D. 3cosα
【正确答案】A
【详解】RtABC中，∠C=90°，∴cos= ，
∵，AC=，
∴cosα= ，
∴AB= ，
故选A.
考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数值是余弦值的知识是解决本题的关键．
2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， =2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【分析】只要证明，可得△BAC∽△DAE，证得∠B=∠D，即可解决问题．
【详解】解：A、 ，可得AE：AC=1：1，与已知没有成比例，故没有能判定；
B、，可得AC：AE=1：1，与已知没有成比例，故没有能判定；
C、即与已知的，可得两组边对应成比例，但夹角没有知是否相等，因此没有一定能判定；
D、，又∠BAC=∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠B=∠D，则DE//BC，符合题意，
故选D．
本题考查相似三角形的判定、平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3. 将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. y=﹣（x+1）2+1 B. y=﹣（x﹣1）2+3 C. y=﹣（x+1）2+5 D. y=﹣（x+3）2+3
【正确答案】B
【详解】解：∵将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y=﹣（x+1﹣2）2+3=﹣（x﹣1）2+3．故选B．
4. 已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相离、相切、相交都有可能
【正确答案】A
【分析】先求出点P到x轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：点P(-2，3)到x轴的距离是3，
3>2，
所以圆P与轴的位置关系是相离，
故选A.
本题考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系等知识点，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
5. 已知是单位向量，且，那么下列说法错误的是（ ）
A. ∥ B. ||=2 C. ||=﹣2|| D. =﹣
【正确答案】C
【详解】解：∵是单位向量，且，，
∴，， ， ，
故C选项错误，
故选C.
6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论没有一定正确的是（ ）
A. △AOD∽△BOC B. △AOB∽△DOC
C. CD＝BC D. BC•CD＝AC•OA
【正确答案】D
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴∽ ，故A没有符合题意；
∵∽ ，∴AO：OD=OB：OC，∵∠AOB=∠DOC，∴∽，故B没有符合题意；
∵∽，∴∠CDB=∠CAB，
∵∠CAD=∠CAB，∠DAC =∠DBC，∴∠CDB=∠DBC，∴CD=BC；
没有条件可以证明，
故选D.
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定方法①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.
二、填 空 题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分）
7. 若线段a、b满足，则的值为_____．
【正确答案】
【分析】由可得b=2a，然后代入求值.
【详解】解:由可得b=2a，
所以 =，
故答案为.
本题考查分式的化简求值，掌握比例的性质是本题的解题关键.
8. 正八边形的角等于______度
【正确答案】45
【分析】已知该多边形为正八边形，代入角公式即可得出．
【详解】∵该多边形为正八边形，故n=8
∴
故45．
本题考查了正多边形的角，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的角，正n边形的每个角都等于．
9. 若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是________．
【正确答案】a＞2
【分析】利用二次函数图像的性质直接求解.
【详解】解:∵抛物线的开口向上，
∴a-2>0，
∴a＞2，
故答案为a＞2.
本题考查二次函数图像的性质，掌握二次项系数决定开口方向是本题的解题关键.
10. 抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为_____．
【正确答案】（2，﹣1）．
【详解】先把函数解析式配成顶点式得到y=（x-2）2-1，然后根据顶点式即可得到顶点坐标．
解：y=（x-2）2-1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，-1）．
故答案为（2，-1）．
“点睛”本题考查了二次函数的性质．二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=（x-h）2+k；两根式：y=a（x-x1）（x-x2）．
11. 已知与相似，且与的相似比为，若的面积为，则的面积等于_______．
【正确答案】
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得．
【详解】相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，
则，
，
，
解得，
故．
本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题关键．
12. 已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．
【正确答案】（6﹣2）cm．
【分析】根据黄金分割点的定义和AP＜BP得出PB=AB，代入数据即可得出BP的长度．
【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP＜BP，
则BP=×4=（2 -2）cm．
∴AP=4-BP=
故()cm．
【点评】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的 ．
13. 已知某斜面的坡度为1:，那么这个斜面的坡角等于_____度．
【正确答案】30°
【详解】分析：画出示意图，利用坡角的定义直接得出tanA=求出∠A即可．
详解：如图所示：
∵某坡面的坡比为1:，
∴tanA==，
则它的坡角是：30∘.
故答案为30.
点睛：本题考查三角函数的知识，解题的关键是掌握角度的三角函数值，常见的角的三角函数值包括30°、60°、90°、45°的三角函数值，直接根据角度的三角函数值进行求解即可.
14. 已知点A（﹣2，m）、B（2，n）都在抛物线y=x2+2x﹣t上，则m与n的大小关系是m_____n．（填“＞”、“＜”或“=”）
【正确答案】<
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=x2+2x-t的开口向上，有最小值为-t-1，对称轴为直线x=-1，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，进而解答即可．
【详解】∵y=x2+2x-t=（x+1）2-t-1，
∴a=1＞0，有最小值为-t-1，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y=x2+2x-t对称轴为直线x=-1，
∵-2＜0＜2，
∴m＜n．
故＜
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G作DG∥BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则△ADG的周长等于_____．
【正确答案】10
【详解】延长AG交BC于点E，
∵点G是重心，
∴AG：AE=2：3，BE =BC=4.5，
∵∠BAC=90°，∴AE=BE=4.5，
∵DG//BC，
∴△ADG∽△ABE，
∴AD：AB=DG：BE=AG：AE=2：3，
又∵AB=6，
∴AD=4，DG=3，AG=3，
∴AD+DG+AG=10，
故答案为10.
16. 已知⊙的半径为4，⊙的半径为R，若⊙与⊙相切，且，则R的值为________．
【正确答案】6或14
【分析】⊙O1和⊙O2相切，有两种情况需要考虑：内切和外切．内切时，⊙O2半径=圆心距+⊙O1的半径；外切时，⊙O2的半径=圆心距-⊙O1的半径．
【详解】若⊙与⊙外切，则有4+R=10，解得：R=6；
若⊙与⊙内切，则有R-4=10，解得：R=14，
故答案为6或14.
17. 如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于_____．
【正确答案】16
【分析】如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．易知四边形BEDF是矩形，理由面积法求出DE，再利用等腰三角形的性质，求出DF即可解决问题．
【详解】连接BD，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥DC于点N，
∵梯形ABCD是等距四边形，点B是等距点，
∴AB=BD=BC=10，
∵= ，
∴AM=，∴BM==3，
∵BM⊥AD，∴AD=2AM=2，
∵AB//CD，
∴S△ABD=，
∴BN=6，
∵BN⊥DC，∴DN==8，
∴CD=2DN=16，
故答案为16.
18. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：如图，作GH⊥BA交BA的延长线于H，EF交BG于O．
∵四边形ABCD是菱形，∠D=60°，
∴△ABC，△ADC度数等边三角形，AB=BC=CD=AD=2，
∴∠BAD=120°，∠HAG=60°，
∵AG=GD=1，
∴AH=AG=，HG=，
在Rt△BHG中，BG=，
∵△BEO∽△BGH，
∴，
∴，
∴BE=，
故答案．
三、解 答 题（本大题共7题, 满分78分）
19. 计算：．
【正确答案】2+
【详解】试题分析：根据角三角函数值，可得答案．
试题解析：解：原式=﹣
=﹣
=2+﹣
=2+．
20. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．
【正确答案】(1)见解析；（2）=﹣．
【分析】（1）由 得，由DE//BC得，再由DF//AC即可得；
（2）根据已知可得 ， ，从而即可得.
【详解】（1）∵ ， ∴，
∵DE//BC，∴，
又∵DF//AC，∴ ；
（2）∵，∴，
∵，与方向相反 ， ∴ ，
同理： ，
又∵，∴.
21. 如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO值．
【正确答案】（1）40；（2）
【详解】试题分析：（1）根据，CD过圆心O，可得到CD⊥AB，AB=2AD=2BD，在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD长即可得；
（2）利用勾股定理求得半径长，然后再根据正弦三角形函数的定义即可求得.
试题解析：（1）∵CD过圆心O， ，
∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，
∵CD=40， ，
又∵∠ADC=，
∴，
∴AB=2AD=40；
（2）设圆O的半径为r，则OD=40-r，
∵BD=AD=20， ∠ODB= ， ∴，
∴，
∴r=25，OD=15，
∴.
22. 如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．
（参考数据：≈1.414，≈1.732．结果到0.1米）
【正确答案】商务楼的高度为37.9米．
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．
【详解】过点B作BE⊥CD与点E，由题意可知∠DBE=，
∠DAC=，CE=AB=16
设AC=x，则，BE=AC=x
∵
∵∴BE=DE ∴
∴
∴
∴
答： 商务楼的高度为37.9米.
23. 如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE＝AB•AD．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△FDA，推出∠DAE=∠F，依据∠ADB＝∠CDE，推出∠FDB=∠ADC，即可得到结论；
（2）根据△BFD∽△CAD，推出，∠B=∠C，得到AB=AC，由此推出结论．
【详解】解：（1）∵AD2＝DE•DF．
∴，
又∵∠ADE=∠FDA，
∴△ADE∽△FDA，
∴∠DAE=∠F，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠FDB=∠ADC，
∴△BFD∽△CAD；
（2）∵△BFD∽△CAD，
∴，
∵，
∴，
∵△BFD∽△CAD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴，
∴BF•DE＝AB•AD．
此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定及性质定理并熟练应用解决问题是解题的关键．
24. 在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x+2；（2）；（3）（﹣，）或（﹣3，2）．
【分析】（1）由直线得到A、C的坐标，然后代入二次函数解析式，利用待定系数法即可得；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，由已知可得 ，从而可得、的长，然后再根据三角函数的定义即可得；
（3）分情况讨论即可得．
【详解】（1）令直线y=x+2中y=0得x+2=0
解得x=-4，∴A(-4，0)，
令x=0得y=2，∴C(0，2)
把A、C两点的坐标代入得，
，
∴ ，
∴ ；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，
由上可知B（1，0），
∵，
∴ ，
∴，
将代入直线y=x+2，解得
∴
∴ ，
∵
∴；
（3）∵DF⊥AC ，
∴，
①若，则CD//AO ，
∴点D的纵坐标为2，
把y=2代入得x=-3或x=0（舍去），
∴D(-3，2) ；
②若时，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DG交x轴于点Q，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
设Q(m，0)，则，
∴ ，
∴，
易证：∽ ，
∴ ，
设D(-4t，3t+2)代入得t=0(舍去)或者，
∴．
综上，D点坐标为（﹣，）或（﹣3，2）
25. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P没有与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．
【正确答案】（1）1；（2）y=；（3）PD的长为±1或．
【详解】试题分析：（1）根据矩形ABCD ， A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，可得， ，得一，从而可得 ；
（2）先证明∽ ，从而得到 ，由AD//BC ，可得，从而根据三角函数可得 ，由得 ，代入，即可得；
（3）分∠CPF的∠FPE的内部与外部两种情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）∵矩形ABCD ，∴，
∴ ， ∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，
∴ ， ∴，
∴，∵，
∴ ， ∴，
∴ ；
（2）∵PF⊥BP ，∴，
∴ ，∵ ，∴，
∴， 又∵∠BAP =∠FPE，
∴∽ ，∴ ，
∵AD//BC ， ∴，
∴ ， 即 ，
∵ ， ∴ ，
∴，
∴；
（3）∠CPF=∠BPE，
①如图所示，当点F在CE上时，
∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，
∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，
∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，
∴△PAB∽△CPD，
∴PB：CD=AB：PD，
∴PB·PD=CD·AB，
∴x（）=2×2，
∴x=；
②如图所示，当点F在EC延长线上时，
过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，
则有PC：PM=CH：MH，
∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，
∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，
∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，
∵∠ABD=∠BDC，
∴△PAB∽△MPD，
∴PB：MD=AB：PD，
由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，
易得：DN= ，PN=，CN=2-，
PH=2x，FH= ，CH=2-x，
由PB：MD=AB：PD可得MD= ，从而可得MN，
在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，
由PC：PM=CH：MH可得PM，
在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程，
解得x= ，
综上：PD的长为：或 .
本题考查了相似综合题，涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例等，解题的关键是根据图形正确地确定相似的三角形，添加适当的辅助线等.
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