七年级数学下册压轴题攻略（人教版）专题05 二元一次方程组的四种特殊解问题（解析版）

专题05 二元一次方程组的四种特殊解问题

类型一、整体思想的应用

例．若方程组的解为，则方程组的解为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解：∵方程组的解为，

∴方程组的解，∴；

故选：B．

【变式训练1】关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是_______．

【答案】2

【详解】解：，

①+②得，

把代入5x+y=得，解得m=2，

故答案为：2．

【变式训练2】已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值．

【答案】

【详解】解：，得，

∴，∴，

∴，

∴，

解得．

【变式训练3】关于的二元一次方程组的解满足，则k的值是（       ）

A．2 B． C． D．3

【答案】B

【详解】解：，

①－②得：，

∵，

∴，

解得：，

故选：B．

【变式训练4】若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【详解】解：由题意得：，联立，

由①②得：，解得，

将代入①得：，解得，

将代入方程得：，解得，

故选：C．

类型二、整数解问题

例．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3

【答案】C

【详解】解：解方程组，得，

∵方程组的解为正整数，∴a＝0时，；a＝2时，，

∴满足条件的所有整数a的和为0+2＝2．故选：C．

【变式训练1】已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】C

【详解】解：解方程组得：，

∵关于x、y的二元一次方程组的解满足，

∴≥，解得：a≥-，

∵关于s的不等式组恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2，

∴，解得-2≤a＜1，

∴≤a＜1，∴符合条件的整数a的值有：-1，0，共2个，

故选：C．

【变式训练2】若整数m使得关于x的不等式组 有且只有三个整数解，且关于x，y的二元一次方程组 的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有m的和为（       ）

A．27 B．22 C．13 D．9

【答案】A

【详解】解：

解不等式①，得： ，解不等式②，得： ，∴不等式的解集为，

∵不等式组有且只有三个整数解，∴ ，解得： ，

∵m为整数，∴ 取5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，

，解得： ，∴当取 时，x，y均为整数，

∴符合条件的所有m的和为 ．

故选：A

【变式训练3】m为正整数，已知二元一次方程组有整数解则m2＝（       ）

A．4 B．1或4或16或25

C．64 D．4或16或64

【答案】D

【详解】解：，①-②得：（m-3）x=10，解得：x=，

把x=代入②得：y=，

由方程组为整数解，得到m-3=±1，m-3=±5，解得：m=4，2，-2，8，

由m为正整数，得到m=4，2，8，则=4或16或64，

故选：D．

【变式训练4】方程组有正整数解，则正整数a的值为________．

【答案】2

【详解】解：

②得：

①-③得：

当时，方程无解，

当时，方程的解为：

为正整数，或或或

解得：或或或

为正整数，

当为正整数，由②得：也为正整数，所以

故答案为：2

类型三、参数问题

例．若方程组的解满足2x﹣3y＞1，则k的的取值范围为 ___．

【答案】

【详解】

①②得，

2x﹣3y＞1，，解得

故答案为：

【变式训练1】若关于x，y的二元一次方程组无解，则______．

【答案】−

【详解】解：，

①×2得：2mx＋6y＝18③，

②×3得：3x−6y＝3④，

③＋④得：（2m＋3）x＝21，∴x＝，

∵方程组无解，∴2m＋3＝0，∴m＝−．

故答案为：−．

【变式训练2】已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于________．

【答案】a＝﹣3，b＝﹣14

【详解】解：∵方程组有无数多个解，

∴，∴a＝−3，b＝−14．故答案为：a＝﹣3，b＝﹣14．

【变式训练3】若关于x和y的二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解；求的值．

【答案】

【详解】解：由题意得： ，②-①得：

把代入②得：

把代入得：

【变式训练4】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足y＝x，求m的值．

【答案】-1

【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解满足，∴，

把②代入①中得：，解得，把代入到②中得：，

把，代入到中得，解得．

类型四、错解复原问题

例．在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的a，求出方程组的解为，乙看错了方程组中的b，求得方程组的解为，甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？求出原方程组的正确解．

【答案】甲把a看4，乙把b看成了，原方程组的正确解是

【详解】解：由题意把代入①得a+6=10，得看错的a=4，把代入②得1+6b=7，解得正确的b=1；

把代入①得-a+12=10，得正确的a=2，把代入②得-1+12b=7，解得看错的b=，

则原方程组为，解得；

所以甲把a看4，乙把b看成了，原方程组的正确解是．

【变式训练1】甲、乙二人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的m值，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为，试求代数式的值．

【答案】9.25

【详解】解：将代入②得：﹣6+2n＝﹣3，解得：n＝1.5，将代入①得：

﹣5m+4＝﹣6，解得：m＝2，

当m＝2，n＝1.5时，m2+n2+mn＝4+2.25+3＝9.25．

【变式训练2】解关于x、y的二元一次方程组时，小虎同学把c看错而得到，而正确的解是，试求a+b+c的值．

【答案】19

【详解】解：∵方程组的正确解为，

∴把代入方程cx﹣7y=8，可得3c+14=8，解得c=﹣2；

把小虎求得的解和正确解分别代入方程ax+by=2，可得，，解得，

∴a+b+c=10+11﹣2=19．

【变式训练3】甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得，试求的值．

【答案】0

【详解】解：将代入得：，解得

将代入方程组中的得：，即

．

【变式训练4】如图，小红和小明两人共同解方程组

根据以上他们的对话内容，请你求出，的正确值，并计算的值．

【答案】，，0

【详解】解：因为小明看错了方程①中的，所以满足方程②，

即，解得，

因为小红看错了方程②中的，所以满足方程①，

即，解得，

所以．

课后练习

1．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则a的值为______．

【答案】-3

【详解】

解：两个方程相加得：3x+3y=3a+9，

∵x、y互为相反数，

∴x+y=0，

∴3x+3y=0，

∴3a+9=0，

解得：a=-3，

故答案为：-3．

2．若方程组有正整数解，则整数a的值为____．

【答案】-3或-1或±2

【详解】

解：，

由②得，

把入①得，

解得，

∵方程组有正整数解，

∴y要为正整数，即要为正整数，

∴或或或

∴a=－3或－1或±2．

故答案为：-3或-1或±2．

3．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得，求原方程组的正确解．

【答案】

【详解】解：根据题意，可得，解得，

将a，b代入原方程组，得，

由②可得③，

将③代入①，可得，

解得，

把代入③，解得．

故原方程组的正确解是．

4．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：4x＋10y＋y＝5 即2（2x＋5y）＋y＝5③

把方程①带入③得：2×3＋y＝5，∴y＝﹣1

把y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为．

请你解决以下问题：

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组

（2）已知x，y满足方程组．

（i）求x2＋4y2的值；

（ii）求＋的值．

【答案】（1）；（2）（i）17；（ii）±

【详解】解：（1）把方程②变形为： ，

，

，

把 代入 得 ，

即方程组的解为；

（2）（i）原方程变形为 ，

①+② 得， ，

，

（ii）由 代入②得 ，

∴（x＋2y）2＝x2＋4y2＋4xy＝17＋8＝25，

∴ x＋2y＝5或x＋2y＝﹣5，

则＝＝±．

5．已知关于x、y的方程组中，x为非负数、y为负数．

(1)试求m的取值范围；

(2)当m取何整数时，不等式3mx+2x>3m+2的解集为x<1．

【答案】(1)；(2)x<1

【解析】(1)解：（1），

①+②得：2x＝18﹣4m，x＝9﹣2m，

①﹣②得：﹣2y＝4+2m，y＝﹣2﹣m，

∵x为非负数、y为负数，

∴，解得：﹣2<m≤；

(2)3mx+2x>3m+2，

（3m+2）x>3m+2，

∵不等式3mx+2x>3m+2的解为x<1，

∴3m+2<0，

∴m<﹣，

由（1）得：﹣2<m≤，

∴﹣2<m<﹣，

∵m整数，

∴m＝﹣1；

即当m＝﹣1时，不等式3mx+2x>3m+2的解为x<1．

6．m取哪些整数时，方程组的解是正整数？求出正整数解

【答案】当m=-3时，；当m=-2时，；当m=0时,．

【详解】解：，

由②得，x=2y③，

③代入①得，4y+my=4，

∴y=，

∵方程组的解是正整数，

∴4+m=1或4+m=2或4+m=4，

解得m=-3或m=-2或m=0，

当m=-3时,；

当m=-2时,；

当m=0时,．

7．当m，n为何值时，方程组

（1）有唯一解；

（2）有无数多个解：

（3）无解

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】

解：解方程组

由①变形得到代入②得到，

∴，

（1）当（m-6）≠0，即m≠6，方程有唯一解

将此y的值代入中，

得：x＝，因而原方程组有唯一一组解；

（2）当＝0且＝0时，即时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解；

（3）当＝0且≠0时，即时，方程无解，因此原方程组无解．