2023高考数学二轮名师原创数学专题卷：专题13 圆锥曲线与方程

2022衡水名师原创数学专题卷

专题十三《圆锥曲线与方程》

考点40：椭圆及其性质(1-3题，9-11题，13,14题)

考点41：双曲线及其性质（4,5题，6-10题，15题）

考点42：抛物线及其性质（6,7题，16题）

考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题）

考点44：圆锥曲线的综合问题（8题，16题，17-22题）

考试时间：120分钟   满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围(   )
A.                     B.  C.   D.

2.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为(   )

A． B． C． D．

3.已知椭圆的短袖长为2，上顶点为，左顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（   ）

A.  B.  C.  D.

4.设点是双曲线与圆在第一象限的交点,分别是双曲线的左、右焦点,且,则双曲线的离心率为(   )

A. B. C. D.

5.若直线与双曲线的右支交于不同的两点,则实数的取值范围是(    )

A. B. C. D.

6.已知F是抛物线的焦点，抛物线C上动点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为5，则(   )

A. B. C. D.

7.已知抛物线与直线交于两点.若(为坐标原点),则实数(   )

A. B. C.1 D.2

8.已知点是椭圆与双曲线的公共焦点,点是它们在第一象限的公共点,满足.若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的取值范围为(   )

A. B. C. D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9.已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，，…组成公差为的等差数列，则（   ）

A．该椭圆的焦距为6  B．的最小值为2

C．的值可以为 D．的值可以为

10.已知过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线左支交于点,过原点与弦的中点D的直线交直线于点E,若为等腰直角三角形,则直线l的方程为(    )

A. B.

C. D.

11.已知椭圆的左顶点和上顶点分别为点，若它的右焦点到直线的距离为，且椭圆上有一点，则(   )

A.椭圆方程为 B.离心率

C.  D.

12.抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于两点,交抛物线C的准线于D,若,则

A.

B.直线的方程为

C.点B到准线的距离为6

D.(O为坐标原点)的面积为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.设是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点P满足，则点P的横坐标为              .

14.已知点，椭圆上两点满足，则当____________________时，点横坐标的绝对值最大.

15.过点)作直线与双曲线相交于两点,且为线段的中点,则直线的方程（表示为一般式）为____________.

16.已知抛物线，过C的焦点的直线与C交于A，B两点。弦长为2，则线段的中垂线与x轴交点的横坐标为__________．

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）如图，点为圆上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线

与曲线相交于，两点，且，试问在曲线上是否存

在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.

18.（本题满分12分）已知点，过点作抛物线的切线，切点在第二象限．

（1）求切点的纵坐标；

（2）有一离心率为的椭圆恰好经过切点，设切线与椭圆的另一交点为点，记切线的斜率分别为，，，若，求椭圆的方程．

19.（本题满分12分）已知抛物线为抛物线的焦点．以为圆心，为半径作圆，与抛物线在第一象限交点的横坐标为2．

（1）求抛物线的方程；

（2）直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线，设切线的交点为，求证：为直角三角形.

20.（本题满分12分）已知抛物线的焦点为,直线，直线与的交点为，同时直线，直线与的交点为,与轴交于点.

(1)求抛物线的方程；

(2)若求的长.

21.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，直线，若动点在直线上的射影为，且，设点的轨迹为.

（1）求的轨迹方程；

（2）设直线与曲线相交与两点，试探究曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（本题满分12分）椭圆将圆的圆周分为四等份,且椭圆的离心率为.

求椭圆的方程；

若直线与椭圆交于不同的两点,且的中点为,线段的垂直平分线为,直线与轴交于点,求的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：直线恒过定点，

直线与椭圆恒有公共点,即点在椭圆内或椭圆上，

∴，即，又，

∴或.

故选：C.

2.答案：A

解析：由,椭圆，

作出椭圆图象如图：

则.

由题意可得：，

∴，

∴.

∴ (负值舍去).

故选：A.

3.答案：D

解析：由已知的，故.∵的面积为，

∴，∴.

又∵，

∴，

∴.

又,∴,

∴.

∴的取值范围为.

4.答案：B

解析：点到原点的距离为.因为在中,,所以,所以是直角三角形,即.由双曲线的定义知.又因为,所以.在中,由勾股定理,得,解得.故选B.

5.答案：A

解析：将直线代入双曲线方程,并整理得.

以题意,直线与双曲线的右支交于不同两点,故,故选A.

6.答案：D

解析：过点A作x轴的垂线，垂足是C，交的延长线于点D.

设，则，，

，即，，

，

，

联立①②③解得，

.

7.答案：B

解析：设,联立消去得,故.易知.因为,故,故.因为,故,即,解得.

8.答案：D

解析：因为,所以点在的垂直平分线上.由题意知椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为.设半焦距为,则所以,所以,当且仅当时取“=”.故的取值范围为.故选D.

9.答案：ABC

解析：由椭圆， 得 ， 故 A 正确；，故 B 正确； 设组成的等差数列为， 由已知可得该数列是单调递增数列， 则
，又， 所以， 所以 ，所 以的最大值是 ， 故 C 正确， D 错误.故选 ABC.

10.答案：AC

解析：易知,则由题意可设直线,代入双曲线C的方程,消去x,整理得,设,由根与系数的关系,得,,即

所以直线的方程为,令,得,即

所以直线的斜率为,,则必有,即,解得,又,

,从而直线l的方程为或

11.答案：BC

解析：，

直线的表达式为，即.

又，

点到直线的距离为,

即.

又，

，

即,

，

故离心率，故选项B正确;

设椭圆方程为，代人点得，

，故选项A错误；

又，可得，故选项C正确；

，故选项D错误，故选BC.

12.答案：BCD

解析：如图,不妨令点B在第一象限,设点K为准线于x轴的交点,分别过点作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,,所以点F为的中点,又,所以中,,

,则点B到准线的距离为6,故C正确;,则,故A错误;由,易得,所以直线的方程为,故B正确;连接,故D正确,故选BCD.

13.答案：3

解析：由椭圆的定义，得.而，所以.

设点P的坐标为，则.

联立得方程组消去y并整理，得，

解得或(舍去).所以点P的横坐标为3.

14.答案：5
解析：

设，，

当直线斜率不存在时，，.

当直线斜率存在时，设为.联立得，，，

.

∵，∴，解得，.

∴（当且仅当时取“”）.

，，得，

∴当时，点横坐标最大.

15.答案：

解析：由双曲线的标准方程：，设，，

可设直线的方程为，

代入，整理得 ①，

则是方程①的两个不同的根，

所以，且，

由是的中点得，

，

解得，

直线的方程为.

故答案为：.

16.答案：

解析：由题意得，抛物线，则其焦点为，

又过C的焦点的直线与C交于两点，，

当斜率不存在时，直线，代入C得，

解得，则，与题干相矛盾。

故斜率存在，设斜率为k,则直线的方程为，

联立直线与抛物线C的方程，得，

整理得，

设，则，，

则，

即，解得，

设中点，则，

故点的坐标为，

设线段的中垂线与x轴交点的横坐标为，

故直线的斜率为，

且，

则，化简得，

因为，故.

17.答案：（1）设，，则，，   

由题意知，所以为中点，

由中点坐标公式得，即，

又点在圆：上，故满足，       

得.                                         

（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，

因为，故，即  ①，

联立，消去得：，

设，，

，，       

，    

因为为平行四边形，故，

点在椭圆上，故，整理得，②，

将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.      

解析：

18.答案：（1）设切点则有，

由切线的斜率为，

得的方程为，

又点在上所以，即，

所以点A的纵坐标．

（2）由（1）得，切线斜率，

设，切线方程为，

由得又，

所以．

所以椭圆方程为且过，

所以．

由得，

所以，

又因为，

即

解得，所以 ,

所以椭圆方程为 .

解析：

19.答案：（1）记抛物线与圆在第一象限的交点为.由题意可得：圆与抛物线的准线相切，且到抛物线准线的距离等于圆的半径.所以点的坐标为，代入抛物线方程得：，所以.

（2）设由得，求导得，所以两点处切线斜率分别为

由得

所以，所以，所以,即为直角三角形.

解析：

20.答案：解：(1)得：.

设，

由求根公式得:，，.

则.

⑵设直线，

得：.

，

设，

可知，，，  ，

.

解之得：或.

，

当时，；当时，.

解析：

21.答案：解：（1）设，由得，平方化简得.

（2）设，联立，得，即，所以.

假设存在点使得四边形为平行四边形，则，所以，所以.

由点在曲线上得，代入得，解得.

所以当时，曲线上存在点使得四边形为平行四边形，此时点的坐标为或者.当，曲线上不存在点使得四边形为平行四边形.

解析：

22.答案：(1)不妨取第一象限的交点为,由椭圆将圆的圆周分为四等份,知.

所以.

因为点在椭圆上,所以.①

因为,所以.②

①②联立,解得.

所以椭圆的方程为.

(2)设,则两式相减,得.

又因的中点为,所以.

所以直线的斜率.

当时,直线的方程为,直线即轴,此时.

当时,直线的斜率.

所以直线的方程为,即.

令,则.

因为点在椭圆内部,所以.

所以,所以.

综上所述,的取值范围为.

解析：