初中数学湘教版八年级下册1.4 角平分线的性质精品习题

湘教版数学八年级下册课时练习1.4

《角平分线的性质》

一              、选择题

1.如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为(       )

A.PN＜3                       B.PN＞3                      C.PN≥3                    D.PN≤3

2.如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(　　)

A.30°      B.35°        C.45°       D.60°

3.如图，用直尺和圆规作∠AOB的角平分线，能得出射线OC就是∠AOB的角平分线的根据是(　　)

A.SSS         B.SAS         C.ASA         D.AAS

4.如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在(　　)

A.在AC、BC两边高线的交点处             

B.在AC、BC两边中线的交点处             

C.在∠A、∠B两内角平分线的交点处             

D.在AC、BC两边垂直平分线的交点处

5.数学课上，小明进行了如下的尺规作图(如图所示)：

(1)在△AOB(OA＜OB)边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD＝OE；

(2)分别以点D、E为圆心，以大于0.5DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；

(3)作射线OC交AB边于点P.

那么小明所求作的线段OP是△AOB的(　　)

A.一条中线   B.一条高         C.一条角平分线     D.不确定

6.如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD    P点到∠AOB两边距离之和.(       )

A.小于                       B.大于                      C.等于                        D.不能确定

7.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是(　　)

A.PQ＞6         B.PQ≥6         C.PQ＜6         D.PQ≤6

8.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长是(　　)

A.3         B.4          C.5       D.6

9.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是(    )

A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D.以上均不正确

10.如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是(　　)

A.AD＋BC=AB             B.与∠CBO互余的角有两个

C.∠AOB=90°            D.点O是CD的中点

二              、填空题

11.如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，AD为∠BAC平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠DEF＝    .

12.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，AC＝8cm，AE＝4cm，则DE的长是　　    .

13.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE＝3cm，则点D到AC的距离为      .

14.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有     对全等三角形.

15.如图，△ABC的角平分线交于点P，已知AB，BC，CA的长分别为5，7，6，则S△ABP∶S△BPC∶S△APC＝_________.

16.如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC＝3：2，△ABD的面积为15，则△ACD面积为　   　.

三              、解答题

17.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF.

求证：(1)△BED≌△CFD；

(2)AD平分∠BAC.

18.(1)如图1，在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC的延长线交于点F，∠B＝45°，∠F＝30°，∠CGF＝70°，求∠A的度数.

(2)利用三角板也能画出一个角的平分线，画法如下：

①利用三角板在∠AOB的两边上分别取OM＝ON；

②分别过点M、N画OM、ON的垂线，交点为P；

③画射线OP，所以射线OP为∠AOB的角平分线.

请你评判这种作法的正确性，并加以证明.

19.如图，在Rt△ABC的场地上，∠B＝90°，AB＝BC，∠CAB的平分线AE交BC于点E.甲、乙两人同时从A处出发，以相同的速度分别沿AC和A→B→E线路前进，甲的目的地为C，乙的目的地为E.请你判断一下，甲、乙两人谁先到达各自的目的地？并说明理由.

20.如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝CF.

21.已知射线AP是△ABC的外角平分线，连结PB、PC.

(1)如图1，若BP平分∠ABC，且∠ACB＝30°，直接写出∠APB＝　      .

(2)如图1，若P与A不重合，求证：AB＋AC＜PB＋PC.

参考答案

1.C.

2.B.

3.A.

4.C

5.C.

6.B.

7.B.

8.B

9.A.

10.B

11.答案为：25°;

12.答案为：3cm.

13.答案为：3cm.

14.答案为：3

15.答案为：5：7：6.

16.答案为：10；

17.证明；(1)∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，

(2)∵Rt△BED≌Rt△CFD，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC，

又∵D为BC的中点，

∴AD平分∠BAC..

18.解：(1)∵∠CGF＝70°，

∴∠AGE＝70°，

∵∠B＝45°，∠F＝30°，

∴∠AEF＝∠B＋∠F＝75°，

∴∠A＝180°﹣75°﹣70°＝35°；

(2)证明：这种作法的正确.

理由如下：由作图得∠PMO＝∠PNO＝90°，

在Rt△PMO和Rt△PNO中

，

∴Rt△PMO≌Rt△PNO，

∴∠POM＝∠PON，

即射线OP为∠AOB的角平分线.

19.解：同时到达.理由如下：

过点E作EF⊥AC于点F.

∵AB＝BC，∠B＝90°，

∴∠C＝＝45°.

∵EF⊥AC，

∴∠EFC＝90°，

∴∠CEF＝90°－∠C＝45°＝∠C，

∴EF＝CF.

又∵AE平分∠CAB，

∴EF＝EB.

易证得△AEF≌△AEB，

得AF＝AB，

可知AB＋BE＝AF＋CF＝AC，

故同时到达.

20.证明：连接DB.

∵点D在BC的垂直平分线上，

∴DB＝DC；

∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF；

∵∠DFC＝∠DEB＝90°，

在Rt△DCF和Rt△DBE中，

DB＝DC，DE＝DF.

∴Rt△DCF≌Rt△DBE(HL)，

∴CF＝BE(全等三角形的对应边相等).

21.解：(1)∵∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，∠1＝∠2＋∠APB，

∵AE平分∠DAC，PB平分∠ABC，

∴∠1＝∠DAC，∠2＝∠ABC，

∴∠APB＝∠1﹣∠2＝∠DAC﹣ABC＝∠ACB＝15°，

(2)在射线AD上取一点H，是的AH＝AC，连接PH.则△APH≌△APC，

∴PC＝PD，

在△BPH中，PB＋PH＞BH，

∴PB＋PC＞AB＋AC.