人教版九年级下册27.1 图形的相似巩固练习

专题27.1图形的相似测试卷

注意事项：

本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．位于大明湖畔的超然楼是一座拥有几百年历史的名楼，并在年入选“中国名楼”．超然楼与著名的黄鹤楼相距约千米，画在一副图上是6厘米，这幅图的比例尺是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由比例尺=图上距离：实际距离，即可解答．

【详解】因为千米米，

所以比例尺为：．

故选：B．

【点睛】本题考查了比例尺的计算，掌握比例尺的概念是关键，注意图上距离与实际距离的单位要统一．

2．下列线段是成比例线段的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．

【详解】解：A．，故四条线段不成比例，不符合题意；

B．，故四条线段成比例，符合题意；

C．，故四条线段不成比例，不符合题意；

D．，故四条线段不成比例，不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判

3．下列说法不正确的是（     ）

A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似

B．若线段，，则

C．两个边数相等的正多边形相似

D．若两个相似多边形的面积比为，那么这两个相似多边形的周长比是

【答案】A

【分析】根据两个图形相似的概念与性质、线段的比逐项分析判断即可．

【详解】A、设原矩形的长为a，宽为b，四周镶上的金边宽度为c，则新矩形的长为，宽为，而，，当时，，这两个矩形不相似，故本选项错误，符合题意；

B、，本选项正确，故不符合题意；

C、两个边数相同的正多边形，其每个内角都相等，对应边的比值相等，故它们相似，本选项正确，故不符合题意；

D、由相似多边形的性质：两个相似多边形的面积比为，那么这两个相似多边形的周长比是，本选项正确，故不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了线段的比及相似多边形的概念与性质，掌握这些概念与性质是关键．

4．下列命题中，假命题是（　　）

A．任意两个正方形一定相似 B．任意两个边长相等的菱形一定相似

C．任意两个等边三角形一定相似 D．任意两个等腰直角三角形一定相似

【答案】B

【分析】对选项逐个判断，正确的为真命题，错误的为假命题．

【详解】解：A、任意两个正方形一定相似，正确，是真命题，不符合题意；

B、任意两个边长相等的菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故原命题错误，是假命题，符合题意；

C、任意两个等边三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意；

D、任意两个等腰直角三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了真假命题的判断，掌握相似图形的概念是解题关键．

5．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据相似多边形的定义逐项进行判断即可．

【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；

B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；

C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；

D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟练掌握相似多边形的定义，是解题的关键．

6．已知线段、、，作线段，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．

【详解】解：∵，

∴，

观察选项可知，选项B符合题意，

故选：B．

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．

7．如图，矩形矩形，且面积比为4：1，则的值为（　　）

A．1:1 B．2:1 C．3:1 D．4:1

【答案】C

【分析】由相似多边形的性质知，据此设，，则，根据面积比得出，整理可得答案．

【详解】解：矩形矩形，且面积比为，

，

设，，

，

则，

整理，得：，

则，即，

故选：C．

【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质和矩形的性质．

8．矩形相邻的两边长分别为和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（    ）

A．5 B． C． D．10

【答案】B

【分析】将矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似，根据线段成比例的性质即可求解．

【详解】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似，

∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，

∴，解方程得，，（舍弃），

故选：．

【点睛】本题主要考查线段成比例问题，掌握相似图形，对应比成比例是解题的关键．

9．如图，在中，、、分别是、、上一点，，，，，则（    ）cm．

A．12 B．15 C．18 D．21

【答案】C

【分析】根据平行线分线段成比例得出，然后结合即可求解．

【详解】解∶∵，，

∴，

∵，

∴，

又，

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出是解题的关键．

10．如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是（    ）

A．： B．： C．： D．：

【答案】A

【分析】过点D作与BF交于点G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG=3:2

【详解】过点D作与BF交于点G，如图：

是的中线

即

即

故选：A．

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上

11．下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有_______（填序号）

【答案】②⑤

【分析】根据相似图形的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案．

【详解】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；

两个等边三角形一定相似；

两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；

两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；

两个正方形一定相似；

故答案为：②⑤．

【点睛】本题考查了图形相似的知识；解题的关键是熟练掌握相似图形的性质，从而完成求解．

12．地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1：1000000，那么两地间的实际距离是________米．

【答案】

【分析】根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺．

【详解】解：设两地间的实际距离为厘米，

根据题意，

解得厘米米．

即实际距离是米．

故答案为：．

【点睛】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．

13．已知，则________．

【答案】3或##或3

【分析】分两种情况讨论，当；当，根据比例的性质求解即可．

【详解】解：当，

∴，

∴；

当，

∵，

∴，

∴，

∴或，

故答案为：3或．

【点睛】此题考查了比例的性质．分类讨论，注意掌握比例的性质与变形是关键．

14．如图，已知直线，直线分别与直线、、相交于点、、．直线分别与直线、、相交于点、、，直线与交于点．如果，，那么的长为______．

【答案】8

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．

【详解】解：，

，

，

，

，

，

故答案为：8．

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．

15．已知点C在线段上，满足，如果，那么_______cm．

【答案】##

【分析】设，则，根据可得，代入求解即可．

【详解】解：∵点C在线段上，

∴设，则，

∵，

∴，

即，

解得：，（舍），

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了比例的性质，读懂题意，得出是解本题的关键．

16．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果使四周的边衬所占面积是封面面积的五分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上下边衬的宽度为___________，左右边村的宽度为___________

【答案】         

【分析】由条件知道中间矩形的长宽比是，设中间的矩形的长为，宽为．根据封面的面积关系建立方程求出其解即可．

【详解】解：∵封面长，宽，

∴封面的长宽比为．

设中间的矩形的长为，宽为，由题意得：

，

解得：，

∵不符合题意，舍去，

∴．

∴上下边衬为：．

左右边衬为：

故答案为：①，②

【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，相似多边形的性质，一元二次方程的解法的运用，解答时根据矩形的面积公式建立方程是关键．

三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为40cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．

【答案】周长为16cm，面积为12cm2

【分析】设较小多边形的周长为xcm，面积为ycm2，则较大多边形的周长为（40﹣x）cm，面积为（y+15）cm2，根据相似多边形的性质，得到方程并求解即可；

【详解】解：设较小多边形的周长为xcm，面积为ycm2，则较大多边形的周长为（40﹣x）cm，面积为（y+15）cm2，

∵两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，

∴两个相似多边形的相似比为2：3，

∴两个相似多边形的周长比为2：3，面积比为4：9，

∴，

解得，x＝16，y＝12，

经检验，x＝16，y＝12都是原方程的解，

答：较小多边形的周长为16cm，面积为12cm2．

【点睛】本题主要考查相似多边形的性质、分式方程的应用，掌握相似多边形的性质是解题的关键．

18．已知线段a、b、c满足且．

(1)求线段a、b、c的长；

(2)若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长．

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）设，则，，，再代入解方程求出的值，由此即可得；

（2）根据比例中项的定义可得一个关于的方程，解方程即可得．

（1）

解：设，则，，，

，

，

解得，

则，，．

（2）

解：线段是线段、的比例中项，且，，

，

解得或（舍去），

经检验，是所列分式方程的解，

即线段的长为．

【点睛】本题考查了比例的性质、比例中项、解分式方程的应用，熟练掌握比例的性质是解题关键．

19．如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．

(1)求原矩形的长和宽的比．

(2)若，求矩形的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是，根据相似多边形的性质可得，从而得到，即可求解；

（2）由（1）得，从而得到，再根据矩形的面积公式计算，即可求解．

【详解】（1）解：设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是．

由题意得，

∴，

解得或（舍去），

∴原矩形的长和宽的比为；

（2）解：由（1）得，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，根据相似多边形的性质得到原矩形的长和宽的比为是解题的关键．

20．（1）已知，求的值．

（2）如图，直线，直线和被，，所截．如果，求的长．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据，可得，再代入，即可求解；

（2）根据平行线分线段成比例，即可求解．

【详解】解：（1）∵，

∴，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∵，

∴，

解得：．

【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，平行线分线段成比例，熟练掌握比例的基本性质，平行线分线段成比例是解题的关键．

21．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，且．仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：

(1)如图1，画出的中线；

(2)如图1，画出的高线；

(3)如图2，在线段上作点，使；

(4)如图3，在（1）的条件下，在上找一点，使最小．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

(4)见解析

【分析】（1）利用网格特点结合矩形的对角线互相平分，再根据中线的定义画出图形即可；

（2）利用网格特点，结合高的定义画出图形即可；

（3）取格点P，Q，连接交于点F，点F即为所求；

（3）取格点R，连接交点G，连接，点G即为所求．

【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求；

（2）如图1中，线段即为所求；

（3）如图2中，取格点P，Q，连接交于点F，点即为所求；

理由如下：由，而，

取，而，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∴，

解得：，经检验：符合题意．

（4）如图3中，取格点R，连接交点G，连接，，点即为所求．

理由如下：由勾股定理可得：，

∴，

∴四边形为菱形，

∴，关于直线对称，

∴，

∴，此时最短．

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的中线，高，角平分线，轴对称最短问题，矩形的性质，菱形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

22．材料一：如图①，点C把线段分成两部分，若，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．类似地，对于实数：，如果满足，则称为的黄金数．

材料二：如果一条直线把一个面积为S的图形分成面积为和两部分，且满足，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图②，在中，若线段所在的直线是的黄金分割线，过点C作一条直线交边于点E，过点D作交的一边于点F，连接，交于G．

问题：

(1)若实数，a为0，1的黄金数，求a的值．

(2)        （填）

(3)是的黄金分割线吗？为什么？

【答案】(1)

(2)

(3)是，理由见解析

【分析】（1）根据黄金数的定义，即可求解；

（2）根据平行线间的距离处处相等，可得，即可求解；

（3）根据，可得，，从而得到，再由线段所在的直线是的黄金分割线，可得，即可求解．

【详解】（1）解：∵a为0，1的黄金数，且实数，

∴，即，

解得： （舍确），；

（2）解：设点F到的距离为h，

∵，

∴，

即，

∴；

故答案为：

（3）解：是 理由如下：

∵，

∴，，

∴，

又∵线段所在的直线是的黄金分割线，

∴，

∴，

∴是的黄金分割线．

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平行线的性质，黄金分割点，黄金分割线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

23．如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形就是矩形ABCD的“减半”矩形．

(1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，∵，∴___________，___________；∴满足要求的矩形B存在；（完成填空）

请你继续解决下列问题：

(2)当矩形的长和宽分别为7和 1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由；

(3)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．

【答案】(1)，；

(2)存在，理由见解析；

(3)不存在，理由见解析．

【分析】（1）根据题意所列方程，解一元二次方程可得 从而可得答案；

（2）设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，再判断方程是否有解即可得到结论；

（3）利用两个正方形是相似图形，则周长之比与面积之比不相等，从而可得答案．

【详解】（1）解：由题意，得，消去y得：

，

则，

∴

∴，；

当时，

当时，，

所以方程组的解为：或

∴满足要求的矩形B存在，边长分别为：．

（2）设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意，得，

消去y可得，

∵，

∴，

∴

∴存在“减半”矩形；

（3）不存在．理由如下：

因为两个正方形是相似图形，

当它们的周长比为时，面积比必定是，

所以正方形不存在“减半”正方形．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，方程组的解法，相似图形的判定与性质，理解题意，建立合适的数学模型解题是解本题的关键．