8．3　简单几何体的表面积与体积

[A　基础达标]

1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　)

A．2∶3　　　　　　　　　 B．4∶9

C.∶   D.∶

解析：选B.设两个球的半径分别为r，R，

则∶＝r3∶R3＝8∶27，

所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9.

2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S的值是(　　)

A．4π   B．32

C．24   D．12π

解析：选B.设球的内接正方体的棱长为a，由题意知球的半径为2，则3a2＝16，所以a2＝，正方体的表面积S＝6a2＝6×＝32.

3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(　　)

A.   B.

C．8π   D.

解析：选D.设截面圆的半径为r，则πr2＝π，故r＝1，

由勾股定理求得球的半径为＝，

所以球的体积为π()3＝，故选D.

4．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为(　　)

A.   B.

C.    D.

解析：选C.设铁球的半径为 R，因为πr2h＝πR3，

所以R＝ .

5．已知A，B是球O的球面上两点，且球的半径为3，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．当三棱锥O­ABC的体积取得最大值时，则过A，B，C三点的截面的面积为　(　　)

A．6π   B．12π

C．18π   D．36π

解析：选A.因为O为球心，∠AOB＝90°，

所以截面AOB为球大圆，

所以当动点C满足OC⊥平面OAB时，

三棱锥O­ABC的体积最大，

此时，OA＝OB＝OC＝R＝3，

则AB＝AC＝BC＝3，

所以截面ABC的圆心O′为△ABC的中心，

所以圆O′的半径r＝O′C＝3×＝，

所以截面ABC的面积为π×()2＝6π，故选A.

6．已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．

解析：球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为＝5，外接球的半径为.

外接球的表面积为4π＝50π.

答案：50π

7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则＝________．

解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S1＝6π，S2＝4π.所以＝＝.

答案：

8.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.

解析：设球的半径为x cm，由题意得πx2×8＝πx2×6x－πx3×3，解得x＝4.

答案：4

9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．

解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，

该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.

10．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．

解：如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝，

在Rt△BEE1中，

BE1＝＝2，

所以2R＝2，

则R＝，

所以球的体积V球＝πR3＝4π，

球的表面积S球＝4πR2＝12π.

[B　能力提升]

11．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是(　　)

A．S球＜S圆柱＜S正方体　　　

B．S正方体＜S球＜S圆柱

C．S圆柱＜S球＜S正方体 

D．S球＜S正方体＜S圆柱

解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则πr2·2r＝πR3＝a3，＝，＝2π，

S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，

＝＝·＝ ＜1，

＝＝·＝ ＞1.故选A.

12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为π，那么这个正三棱柱的体积是(　　)

A．96   B．16

C．24   D．48

解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝πr3＝π，得r＝2.由S柱底＝a×r×3＝a2，得a＝2r＝4，所以V柱＝S柱底·2r＝48.

13．如图，ABCD 是正方形，是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB 为轴旋转一周，则图中 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ  三部分旋转所得旋转体的体积之比为________．

解析：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球．

设正方形的边长为 a，则Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积分别为 VⅠ、VⅡ、VⅢ，则 VⅠ＝πa3，VⅡ＝πa3÷2－πa3＝πa3，VⅢ＝πa3－πa3÷2＝πa3.

所以三部分所得旋转体的体积之比为 1∶1∶1.

答案： 1∶1∶1

14．将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A.

(1)求面积A以x为自变量的函数关系式；

(2)求出截得棱柱的体积的最大值．

解：(1)横截面如图长方形所示，

由题意得A＝x·(0<x<2)．

(2)V＝1·x＝，

由上述知0<x<2，所以当x＝时，Vmax＝2.

即截得棱柱的体积的最大值为2.

 [C　拓展探究]

15．如图是某几何体的三视图．

(1)求该几何体外接球的体积；

(2)求该几何体内切球的半径．

解：(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，

以DC，DB，DA为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R＝＝，

所以该几何体外接球的体积V＝πR3＝π.

(2)设内切球的球心为O，半径为r，

则VA­BCD＝VO­ADB＋VO­ADC＋VO­DCB＋VO­ABC.

即××2×2×1

＝××2×2r＋××2×r＋××2×r＋××2×r，

得r＝＝.

所以该几何体内切球的半径为.