专题7.2 复数的四则运算-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3096" 【题型1 复数的加、减运算】 PAGEREF _Tc3096 \h 3
\l "_Tc18949" 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 PAGEREF _Tc18949 \h 3
\l "_Tc9654" 【题型3 复数的乘、除运算】 PAGEREF _Tc9654 \h 4
\l "_Tc32237" 【题型4 根据复数的四则运算结果求参数】 PAGEREF _Tc32237 \h 5
\l "_Tc28759" 【题型5 根据复数的四则运算结果求复数特征】 PAGEREF _Tc28759 \h 5
\l "_Tc12568" 【题型6 复数范围内分解因式】 PAGEREF _Tc12568 \h 6
\l "_Tc19274" 【题型7 复数范围内方程的根】 PAGEREF _Tc19274 \h 7
【知识点1 复数的四则运算】
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意,,∈C，有
①交换律：+=+；
②结合律：(+)+=+(+).
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差
-对应的向量是-，即向量.
如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意,,∈C，有
①交换律：=；
②结合律：()=()；
③分配律：(+)=+.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=，
=，=.
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是(a,b)，(c,d)，则||=
，又复数-=(a-c)+(b-d)i，则|-|=.
故||=|-|，即|-|表示复数，在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
【题型1 复数的加、减运算】
【例1】（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若复数z1=2+3i,z2=−4−5i，则z1+z2= （ ）
A．−2−2iB．6+8iC．2−2iD．−6−8i
【变式1-1】（2023下·陕西西安·高二校考阶段练习）已知i是虚数单位，则3+5i+1+i=（ ）
A．2B．iC．−3iD．4+6i
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设z的共轭复数为z，若2z−3z=2−5i，则z=（ ）
A．−2−iB．2−iC．1−2iD．1+2i
【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）若z−3+5i=8−2i，则z等于（ ）
A．5−3iB．11−7iC．8+7iD．8−7i
【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】
【例2】（2023·高三课时练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,−2+i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ）．
A．3+iB．3−iC．1−3iD．−1+3i
【变式2-1】（2022下·高一课时练习）若向量AB,AC分别表示复数z1=2−i,z2=3+i，则BC=（ ）
A．5B．5C．25D．22
【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）如图，设向量OP，PQ，OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【变式2-3】（2023下·全国·高一专题练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1=1, z3=−2+i，则z2=（ ）
A．1+iB．1－iC．－1+iD．－1－i
【题型3 复数的乘、除运算】
【例3】（2023上·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）已知复数z满足z−1=i3−z，则z=（ ）
A．2−iB．2+iC．1+iD．1−i
【变式3-1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知复数z满足1+iz=1−i，则z2023=（ ）
A．iB．−1C．−iD．1
【变式3-2】（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）设z=2+ii1+i，则z+z=（ ）
A．2B．1C．−1D．−2
【变式3-3】（2023上·湖南邵阳·高二校考阶段练习）若z=1−2i，则(1+z)⋅z=（ ）
A．-2-4iB．-2+4iC．6-2iD．6+2i
【题型4 根据复数的四则运算结果求参数】
【例4】（2023上·云南临沧·高二校考期末）若1+ia+i=−5+bi，其中a,b∈R，则b=（ ）
A．3B．2C．-2D．-3
【变式4-1】（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知复数z=a+bi（a,b∈R），且zi1+i=1+2i，则ab=（ ）
A．-9B．9C．-3D．3
【变式4-2】（2023下·全国·高一专题练习）已知i是虚数单位，若复数z=a+i1+ia∈R的实部是虚部的2倍，则a=（ ）
A．−13B．13C．−12D．12
【变式4-3】（2023下·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知i为虚数单位，若11+i=a−bia,b∈R，则ab=（ ）
A．1B．22C．2D．2
【题型5 根据复数的四则运算结果求复数特征】
【例5】（2023·全国·高一专题练习）复数z满足z+(1−2i)=3−4i，则复数z的虚部为（ ）
A．−6iB．−6C．−2iD．−2
【变式5-1】（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）设复数z1=−2+3i,z2=1+2i，则复数z1−z2在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式5-2】（2022下·陕西咸阳·高二统考期中）设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z=2−i，则z+iz在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【变式5-3】（2022下·江西九江·高二校考阶段练习）设复数z的共轭复数为z、复数z满足1+i=2−4iz（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．3B．−3C．3iD．−3i
【知识点2 复数范围内方程的根】
1．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根
，=；
当=0时，方程有两个相等的实根==-；
当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复
数.
【题型6 复数范围内分解因式】
【例6】（2023·高一课时练习）在复数范围内分解因式：
(1)x2＋4
(2)x4－4
【变式6-1】（2023下·吉林·高一东北师大附中校考期中）（1）已知复数z满足z1+i=3+i，求z；
（2）在复数范围内因式分解：z2−2z+2.
【变式6-2】（2023·高一课时练习）在复数范围内分解因式：
(1)x2+8；
(2)x2−2x+3；
(3)3x2−2x+1.
【变式6-3】（2023·江苏·高一专题练习）在复数范围内分解因式：
(1)a4−b4
(2)x2+4
(3)x2+2x+5
(4)a2+b2+c2+2ab
【题型7 复数范围内方程的根】
【例7】（2023下·青海海东·高一统考阶段练习）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A2,3，Bm,−4，其中m∈R．
(1)若m＝1，求z1−z2；
(2)若z2是关于x的方程x2+2x+17=0的一个复数根，求m的值及z2．
【变式7-1】（2023上·浙江宁波·高二校考开学考试）已知复数z=4+ai，其中a是正实数，i是虚数单位．
(1)如果z3a+ai为纯虚数，求实数a的值；
(2)如果a=2，z1=z1−i是关于x的方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个复根，求b+c的值．
【变式7-2】（2023下·上海杨浦·高一校考期末）设常数p∈R，已知关于x的方程x2+px+2=0.
(1)若p=2，求该方程的复数根；
(2)若方程的两个复数根为α、β，且α−β=1，求p的值.
【变式7-3】（2023下·江苏连云港·高一校考期中）在①z2z2=10a>0；②复平面上表示z1z2的点在直线x+2y=0上；③z1a−i>0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数z1=1+i，z2=a+3ia∈R（i为虚数单位），满足____.
(1)若z=z1+z2，求复数z以及z；
(2)若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4−3m=0的根，求实数m的值.