高中人教A版 (2019)4.2 等差数列精品同步训练题

4.2.2等差数列的前n项和公式（2）  -B提高练

一、选择题

1．（2020·全国高二课时练）某城市年有人口万，该年医疗费用投入亿元，此后年该城市每年新增人口万，医疗费用投入每年新增亿元，已知年该城市医疗费用人均投入元，则的值为（    ）．

A．B．C．D．

【答案】A

【详解】从年起该城市的人口组成一个首项为，公差为的等差数列，

到年，该城市的人口为万，

故年的医疗费用投入为(元)，即亿元，

由于从年到年医疗费用投入组成一个首项为，公差为的等差数列，

∴，解得，故选A．

2．（2020·吉林市第二中学高二期中）中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为（    ）

A．71 B．72 C．89 D．90

【答案】C

【详解】设这些老人的年龄形成数列，设最年长者的年龄为，

则由题可知数列是公差为-1的等差数列，且，

则，解得.故选：C.

3．（2021·上海松江区高二期末）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】解：由已知可得，由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，所以，当n=4或5时， 取得最大值为20，

因为有且只有两个正整数n满足，所以满足条件的和，

因为，所以实数k的取值范围是．故选：C．

4．（2021·榆树市第一高级中学校高二期末）风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：，，，…，，其中．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若，．则这五层正六边形的周长总和为（    ）

A．100 B．110 C．120 D．130

【答案】C

【详解】由已知得：，，

因此数列是以为首项，公差为的等差数列，设数列前5项和为，因此有，

所以这五层正六边形的周长总和为.故选：C.

5．（多选题）（2020·扬州大学附属中学高二期中）等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B． C．当或时，取得最大值 D．

【答案】ABD

【详解】∵等差数列的前项和为，，∴，解得，故，故A正确；∵，，故有，故B正确；该数列的前项和 ，它的最值，还跟的值有关，故C错误；由于，，故，故D正确，故选：ABD.

6. （多选题）（2021·随州一中高二期末）在数列中，，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（    ）

A．数列为等差数列 B．

C． D．

【答案】BD

【详解】依题意得，当n是奇数时，，即数列中的偶数项构成以为首项，1为公差的等差数列，所以，当n是偶数时，，所以，两式相减，得，即数列中的奇数项从开始，每隔一项的两项相等，即数列的奇数项呈周期变化，所以，在中，令，得，因为，所以，对于数列的前31项，奇数项满足，偶数项构成以为首项，1为公差的等差数列，所以，故选：BD

二、填空题

7．（2021·安徽六安市高二期末）设等差数列的前n项和为，公差且，则取得最小值时，n的值为_________．

【答案】3或4

【详解】由，可得，因为，所以，

所以，所以．因为，所以是递增数列，所以，显然前3项和或前4项和最小．

8．（2021·河南信阳市高二期末）设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．

【答案】

【详解】设等差数列的公差为，由，解得，

.

所以，当时，取得最大值，

对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，.

9．（2021·河南驻马店市高二期末）数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，的有个，则该数列第2020项是__________．

【答案】

【详解】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，

因为，则2020项前共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，且第2016项的符号为负，故2020项为第64组第4个数字，由奇偶交替规则，其为.

10．（2020·山东菏泽高二期末）植树节某班41名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在第（）个树坑旁边，则将树苗集中放置在第______个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小.

【答案】.

【详解】设每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和为，

则，

所以

，所以当时，取得最小值.

三、解答题

11．（2021·云南省保山第九中学高二期末）已知正项数列的前项和为，且.

（1）求；

（2）求证：数列是等差数列.

（3）令，问数列的前多少项的和最小？最小值是多少？

【详解】解：（1）由已知得，，，；

，，

化简得，，又由已知得，，

（2）由题意得，，①

令，得，②

得，，

化简得，，进而得到，

，又由为正项数列得，，故有，

，所以，，故数列是等差数列，由（1）得，，所以，

（3）由（2）得，，明显地，为等差数列，设的前项和为，故有，，根据二次函数的性质，的对称轴为，因为为正整数，明显地，取或时，有最小值，故最小值为，

，所以，数列的前9或前10项的和最小，最小值为.

12．（2021·上海浦东新区华师大二附中高二期末）某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发，据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部分采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止.

（1）设11月日当天新感染人数为，求的通项公式（用表示）；

（2）若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.

【详解】(1)由题意得, 当时是以公差为50,首项为20的等差数列,

此时,().

当时是以公差是,首项为的等差数列,

此时

故,,.

(2)由(1)可知,前日患者共有人.

又第日有人,

第30日有人.故日至30日共天的时间里共有

人

故1到30日共有人

故即,又

故.当天新增患病人数为人.

故11月12日,该市感染此病毒的新患者人数最多,这一天的新患者人数为570人