2023高考数学二轮复习专题11 函数的图象（解析版）

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专题11 函数的图象
【考点预测】
一、掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.
二、函数图像作法
1.直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.
2.图像的变换
（1）平移变换
①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；
②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；
③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；
④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于坐标原点对称；
②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有
或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；
若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）.

注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.
⑤函数与的图像关于对称.
（3）伸缩变换
①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到.
②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到.
【方法技巧与总结】
(1)若恒成立，则的图像关于直线对称.
(2)设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称.
(3)若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称.
(4)函数与函数的图象关于直线对称.
(5)函数与函数的图象关于直线对称.
(6)函数与函数的图象关于点中心对称.
(7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.





【题型归纳目录】
题型一：由解析式选图（识图）
题型二：由图象选表达式
题型三：表达式含参数的图象问题
题型四：函数图象应用题
题型五：函数图像的综合应用



【典例例题】
题型一：由解析式选图（识图）
例1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
通过判断不是奇函数，排除A，B，又因为，排除C，即可得出答案.
【详解】
因为的定义域为，又因为，所以不是奇函数，排除A，B.
，所以排除C.
故选：D.
例2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数的图象大致是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义域与奇偶性，排除A、B选项；结合导数求得函数在上的单调性，排除D选项，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除B选项；
当时，可得，则，
当时，，单调递减；排除A选项
当时，，单调递增，
所以排除D选项，选项C符合.
故选：C.
例3．（2022·天津·二模）函数的图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
令，该函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，排除AB选项，
当时，，则，排除C选项.
故选：D.
例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数则函数的大致图象为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据时，函数值的正负判断.
【详解】
易知函数为奇函数，也是奇函数，
则函数为偶函数，故排除选项B，C；
因为，
当时，恒成立，所以恒成立，
且当时，，
所以当时，，故选项A正确，选项D错误，
故选：A．
例5．（2022·全国·模拟预测）函数的图象大致是(       )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据f(x)的零点和时函数值变化情况即可判断求解．
【详解】
由得或2，故排除选项A；
当时，函数值无限靠近x轴，但与x轴不相交，只有选项B满足．
故选：B．
例6．（2022·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解.
【详解】
由已知条件得函数的定义域关于原点对称，
∵，
∴为偶函数，函数的图象关于轴对称，则排除选项、,
又∵，
∴排除选项，
故选：.
【方法技巧与总结】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案
题型二：由图象选表达式
例7．（2022·全国·模拟预测）已知y关于x的函数图象如图所示，则实数x，y满足的关系式可以为（       ）


A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将化为，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数的图象，可判断C;根据函数的性质，可判断D.
【详解】
由，得，
所以，即，
化为指数式，得，
其图象是将函数 的图象向右平移1个单位长度得到的，
即为题中所给图象，所以选项A正确；
对于选项B，取，则由，得，
与已知图象不符，所以选项B错误；
由，得，其图象是将函数的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：


与题中所给的图象不符，所以选项C错误；
由，得，该函数为偶函数，图象关于y轴对称，
显然与题中图象不符，所以选项D错误，
故选：A.
例8．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（       ）


A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分三步进行图像变换①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
【详解】



①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
例9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可以是（       ）


A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A，D，根据C项函数没有零点，排除C项，最终选出正确结果.
【详解】
根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A，D；
对于C，当时，，函数显然不存在零点，排除C．
故选：B．
例10．（2022·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为(       )

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知图象的对称性，结合AC的奇偶性可排除AC，根据已知图象f(0)=0可排除D，从而正确可得B为正确选项．
【详解】
对于A，，故为偶函数，图象应该关于y轴对称，与已知图象不符；
对于C，也为偶函数，故排除AC；
对于D，，与已知图象不符，故排除D．
对于B，，故f(x)关于x=1对称，f(0)=0，均与已知图象符合，故B正确．
故选：B．
例11．（2022·河北沧州·模拟预测）下列图象对应的函数解析式正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由图可知，函数的图象关于原点中心对称，所以函数为奇函数，且，对选项B、C：由函数为偶函数即可判断，对选项A：函数为奇函数，但即可判断；对选项D：函数为奇函数，且即可判断.
【详解】
解：由图可知，函数的图象关于原点中心对称，所以函数为奇函数，且，
对A：因为，所以函数为奇函数，但，故选项A错误；
对B：因为，所以函数为偶函数，故选项B错误；
对C：因为，所以函数为偶函数，故选项C错误；
对D：因为，所以函数为奇函数，且
，符合题意，故选项D正确.
故选：D.
例12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，，下图可能是下列哪个函数的图象（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象体现的函数性质，结合每个选项中函数的性质，即可判断和选择.
【详解】
由图可知，图象对应函数为奇函数，且；
显然对应的函数都不是奇函数，故排除；
对：，其为奇函数，
且当时，，故错误；
对：，其为奇函数，
且当时，，故正确.
故选：.
【方法技巧与总结】
1.从定义域值域判断图像位置；
2.从奇偶性判断对称性；
3.从周期性判断循环往复；
4.从单调性判断变化趋势；
5.从特征点排除错误选项．
题型三：表达式含参数的图象问题
（多选题）例13．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
讨论、、、四种情况下，的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性.
【详解】
当时，；
当时，定义域为R且为奇函数，在上，在上递增，在上递减，A可能；
当时，定义域为且为奇函数，在上且递增，在上且递增，B可能；
当时，且定义域为，此时为偶函数，
若时，在上(注意)，在上，则C不可能；
若时，在上，在上，则D可能；
故选：ABD
（多选题）例14．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数的大致图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，可排除D选项，然后对 的取值进行分类讨论，比如，可判断A可能，再对分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C是否可能.
【详解】
因为为定义域上的偶函数，
图象关于轴对称，所以D不可能.
由于为定义域上的偶函数，只需考虑的情况即可.
①当时，函数，所以A可能；
②当时，，，
所以在单调递增，在单调递减，所以C可能；
③当时，，，
所以在单调递减，在单调递减，所以B不可能；
故选:AC.
（多选题）例15．（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知的图像可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据a的取值分类讨论函数f(x)的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可.
【详解】
若a＝0，则f(x)＝，图像为C；
若a＞0，则f(x)定义域为{x|x≠±}，f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，
x∈(－∞，－)时，f(x)＜0，x∈(－，0)时，f(x)＞0，x∈(0，)，f(x)＜0，x∈(，＋∞)时，f(x)＞0，
又x≠0时，f(x)＝，函数y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f(x)在(－∞，－)，(－，0)，(0，)，(，＋∞)均单调递减，综上f(x)图像如A选项所示；
若a＜0，则f(x)定义域为R，f(x)为奇函数，f(0)＝0，
当x＞0时，f(x)＞0，当x＜0时，f(x)＜0，
当x≠0时，f(x)＝，函数y＝x＋时双勾函数，x∈时，y均单调递减，x∈时，y均单调递增，
∴f(x)在单调递增，在单调递减，结合以上性质，可知B图像符合.
故选：ABC.
（多选题）例16．（2022·湖北武汉·高一期末）设，函数的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
令，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为，再根据和三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解.
【详解】
由题意，函数，令，
可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为，
当时，即时，可得，
此时函数在单调递减，在上单调递增，且
可得在递减，在上递增，且；
当时，即时，可得，
此时函数在单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性，可得在递减，在上递增，且，
此时选项B符合题意；
当当时，即时，此时函数有两个零点，
不妨设另个零点分别为且，
此时函数在单调递减，在上单调递增，
可得在递减，在上递增，且，
则在递减，在上递增，且，
此时选项D符合题意.
综上可得，函数的图象可能是选项BD.
故选：BD.
（多选题）例17．（2022·广东东莞·高一期末）已知函数，则其图像可能为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
按照，，讨论的取值范围，利用排除法解决.
【详解】
，，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A选项错误；时，在上递增，也在递增，两个增函数相加还是增函数，即在上递增，故D选项错误，C选项正确.；时，由对勾函数的性质可知B选项正确.
故选：BC.
（多选题）例18．（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据给定条件对a值进行分类讨论函数的单调性及0一侧的函数值，再结合图象与y轴交点位置即可判断作答.
【详解】
依题意，当时，函数图象与y轴交点在点上方，排除B，C，
而，因此，在上递减，且x