2023高考数学二轮复习专题09 指数与指数函数（原卷版）

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专题09 指数与指数函数【考点预测】1.指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．(2)根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2.指数函数    图象  性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数
 ⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数  【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．(3)指数函数与的图象关于轴对称．  【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题 【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：______．例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式的解集为___________.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（       ）A．或 B．或C．或 D．或例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．例5．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1） （2）(a>0，b>0).（3）.        【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.  题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数，的图象如图所示，则（       ）A． B． C． D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（       ）A． B． C． D．例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数，下列关于函数的说法错误的是（       ）A．函数的图象关于原点对称B．函数的值域为C．不等式的解集是D．是增函数例9．（2022·河南·三模（文））已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为常数，）是上的奇函数．(1)求实数的值；(2)若函数在区间上的值域为，求的值．       【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（       ）A． B． C． D．例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数．(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．       例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数为实常数.（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.       例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数．（1）若函数在，上有最大值，求实数的值；（2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．    
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，（1）当时，求的值域；（2）若对，成立，求实数的取值范围；（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围．         【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为(       )A．3 B．4 C．5 D．6例19．（2022·北京·二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（       ）A． B．C． D．例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数，则
______．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则______．例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为___________.例23．（2022·江西·二模（文））设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为_______．
【过关测试】一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数，则（       ）A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：）（       ）A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：，其中，则的近似值为（精确到）（       ）A． B． C． D．4．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数，且，则（       ）A．26 B．16 C．－16 D．－265．（2022·四川成都·三模（理））若函数的零点为，则（       ）．A． B．1 C． D．26．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x的不等式有实数解，则实数a
的取值范围是（       ）A． B． C． D．7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数满足：对任意，．当时，，则（       ）A． B． C． D．8．（2022·上海宝山·二模）关于函数和实数的下列结论中正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则二、多选题9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（       ）A． B．C． D．10．（2022·全国·模拟预测）已知，下列选项中正确的为（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若，则下列不等式中正确的有（       ）A． B． C． D．12．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若存在三个实数，使得，则（       ）A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））___________.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①；②在上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数在的值域为______．16．（2022·山西·二模（理））已知函数给出下列结论：①是偶函数；②在上是增函数；③若，则点与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y（单位：）与时间t（单位：）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y与t的函数关系式为（k为常数），如图所示.(1)求y关于t的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为2560，当积水深度小于等于0.05时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？  18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：（﹣9.6）0﹣；（2）已知3，求的值．
   19．（2022·全国·高三专题练习）已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．     20．（2022·全国·高三专题练习）设函数且是定义域为的奇函数；（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；（2）若，且，求在上的最小值．    21．（2022·北京·高三专题练习）定义在上的函数，如果满足:对任意存在常数都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.      22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .(1)设，求方程的根；(2)设，若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；(3)若，函数有且只有1个零点，求的值.