2021-2022学年湖南省衡阳市高二年级下册学期期末数学试题【含答案】

这是一份2021-2022学年湖南省衡阳市高二年级下册学期期末数学试题【含答案】，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省衡阳市高二下学期期末数学试题 一、单选题1．双曲线的渐近线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的标准方程直接写出渐近线方程即可.【详解】双曲线的渐近线方程是.故选：B2．下列说法中，正确的是（    ）A．过点且在轴截距相等的直线方程为B．直线在轴上的截距为C．直线的倾斜角为D．过点并且倾斜角为的直线方程为【答案】B【分析】根据直线截距的概念、倾斜角与斜率之间的关系逐一判断即可.【详解】对于A，过点且在轴截距相等的直线方程为或，故A不正确；对于B，，令，可得，所以在轴上的截距为，故B正确；对于C，，则直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故C不正确.对于D，过点并且倾斜角为的直线方程为，故D不正确.故选：B.3．设是公差为正数的等差数列，若，，则（    ）A．12 B．35 C．75 D．90【答案】B【解析】求出首项和公差后可得．【详解】设公差为，则，∵，故解得，∴．故选：B．4．已知数列是等比数列，是其前项之积，若，则的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】先设等比数列的公比为，根据题意，得到，再由等比数列的性质，即可求出结果.【详解】因为数列是等比数列，设公比为，由得，即，即，由等比数列的性质可得，.故选：A5．设等比数列的前项和为，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等比数列的前项和公式，列式求解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，由条件可知，，，解得：，.故选：A6．设是数列的前项和，若，则（    ）A．2 B．2022 C．1011 D．1010【答案】C【分析】推导出数列是以为周期的周期数列，由可得出，代值计算即可得解.【详解】在数列中，，，则，，，以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，，所以.故选：C.7．对圆上任意一点，若点P到直线和的距离之和都与x，y无关，则a的取值区间为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由点到线的距离公式表示出点到直线与的距离之和，取值与，无关，即这个距离之和与无关，可知直线平移时，点与直线，的距离之和均为，的距离，即此时与，的值无关，即圆夹在两直线之间，临界条件为直线恰与圆相切，即可求出的取值范围.【详解】解：点到直线与直线距离之和取值与，无关，这个距离之和与无关，如图所示：可知直线平移时，点与直线，的距离之和均为，的距离，即此时与，的值无关，当直线与圆相切时，，化简得，解得或（舍去），故选：．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题8．已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点. 的重心为，内心为，且，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c•|y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率．【详解】椭圆的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，则∥，∴I的纵坐标为，又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=•|F1F2|•|y0|，又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，∴该椭圆的离心率，故选：A．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 二、多选题9．若，则方程可以表示下列哪些曲线（    ）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆【答案】ABD【分析】分别讨论的取值，结合方程的形式，得到可能表示的曲线.【详解】当时，，方程表示双曲线，当时，方程为，即，表示两条直线，当时，，方程表示焦点在轴的椭圆，当时，，方程表示焦点在轴的椭圆，当时，，方程表示圆.故选：ABD10．已知数列，下列说法正确的有（    ）A．若，则为递减数列B．若，则为等比数列C．若数列的公比，则为递减数列D．若数列的前项和，则为等差数列【答案】AB【分析】A.计算可得答案；B.变形得可得答案；C.举例求出可得答案；D.求出可得答案.【详解】A.当时，，即，A正确；B.，，由已知得，则是以3为公比的等比数列，B正确；C.当时，，，则，故不是递减数列，C错误；D.由得，，故不是等差数列，D错误.故选：AB.11．已知直线，圆，则（    ）A．存在一个实数，使直线经过圆心B．无论为何值，直线与圆一定有两个公共点C．圆心到直线的最大距离是D．直线与圆交点弦长的取值范围是【答案】BC【分析】代入圆心坐标求m值判断A，确定直线所过定点可判断B，由定点到圆心距离可判断C，利用结合选项A、C即可判断D.【详解】圆心C的坐标为，半径，将代入直线l的方程，得，无解，所以不论m为何值，圆心C都不在直线l上，A错误；直线l的方程可整理为，由，得，即直线l过定点，所以，所以点M在圆C内部，所以直线l与圆C一定有两个公共点，B正确；设直线与圆相交于两点，弦中点为，则，为到直线的距离，显然，重合时取等号，故圆心C到直线l的最大距离为，C正确；，当，即直线过圆心时，，但由A知直线不会过圆心，所以2取不到，D错误；故选：BC．12．已知数列满足，则（    ）A．为等比数列B．的通项公式为C．的前项和D．的前项和【答案】ACD【分析】利用取倒数构造法、等比数列的通项公式、求和公式、以及错位相减法、分组求和法进行计算.【详解】因为，，所以，所以， ，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；因为数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，故B错误；因为，所以，所以的前项和，故C正确；因为，所以，所以的前项和,令，则，两式错位相减得：，所以，所以，故D正确.故选：ACD. 三、填空题13．已知成等差数列，成等比数列，则__________.【答案】21【分析】根据等差数列及等比数列定义的性质即得.【详解】因为成等差数列，则；又成等比数列，则，所以．故答案为：21.14．已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前项和最大.则满足的的最大值为__________.【答案】19【分析】利用等差数列的单调性、求和公式以及以及一元二次不等式进行求解.【详解】由题可知，等差数列为递减数列，且，又，所以，解得，所以，所以，所以，解得，所以满足的的最大值为19.故答案为：19.15．过抛物线的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于两点，过两点分别向轴引垂线交轴于，若梯形的面积为，则__________.【答案】【分析】将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得的长度进而得到梯形的面积解即可.【详解】设，抛物线焦点，直线方程为，联立 ，得，所以，则，则梯形的面积 ，解得.故答案为：.16．双曲线的右焦点为为双曲线上的一点，且位于第一象限，直线分别交于曲线于两点，若为正三角形，则直线的斜率等于__________.【答案】【分析】记双曲线左焦点为，根据题中条件，结合双曲线定义，得到；再设，，得到，由点差法求出，得到，进而可求出结果.【详解】记双曲线左焦点为，因为为正三角形，，所以，即，，则有，，由双曲线定义可得：，设，，则，所以，两式作差可得，即，即，又，则故答案为：. 四、解答题17．已知的角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求的周长的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用余弦定理结合三角形三边关系可求得的取值范围，即可求得的取值范围.【详解】（1）由，得，即，则，，，（2）由，得，故，当时取等号，又，故，所以的周长的取值范围为.18．已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切.(1)求圆的标准方程；(2)已知过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）设圆心为，利用距离公式求出，即可得到圆心坐标与半径，从而得解；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在时直接求出交点坐标，即可得到弦长，斜率存在，设斜率为，利用圆心到直线的距离求出参数的值，即可得解.【详解】（1）解：设圆心为，依题意有，解得或（舍去），，则，故圆的标准方程为（2）若斜率不存在，则，代入圆方程得，解得或，，符合题意；若斜率存在，设斜率为，则直线，即，由圆心到直线的距离为，即，所以，，即综上，所求直线的方程为或.19．已知是等差数列的前项和，且.(1)求；(2)若，记数列前项和为，若对恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用通项公式、求和公式建立方程组求解.（2）利用裂项相消法进行计算求解.【详解】（1）设公差为，则有，解得，故.（2）由(1)有：，故，即，所以，所以，所以在上单调递增，，由恒成立，得，故.20．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，为中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用线面平行判定定理作辅助线证明.（2）通过面面垂直的性质作辅助线证明线面垂直，再建立直角坐标系，求两个平面的法向量，再利用公式求两平面的夹角余弦值.【详解】（1）取中点，连接.为中点，，又，，四边形为平行四边形，，平面，平面，故平面；（2）取中点，因为中，，所以，又因为侧面底面，平面平面，平面，所以平面，因为，所以，如图，以点为原点，所在直线分别为轴，过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系.则，则，，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，设平面与平面的夹角为，则.故平面与平面的夹角余弦值为.21．已知数列满足.(1)写出数列的前4项；(2)记，判断数列是否为等差数列，并说明理由；(3)求数列的前30项和.【答案】(1).(2)是等差数列，理由见解析(3)690 【分析】（1）利用代入法，结合数列的通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列的定义进行求解即可；（3）根据数列奇数项和偶数项的性质，结合等差数列的前n项和公式分组求和即可.【详解】（1）.（2）为常数，故数列是为等差数列.（3）由（2）知，，.设数列前30项和为，则即，故数列前30项和为690.22．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为为椭圆上一点，与轴交于点，(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆相交于两点，过作与轴垂直的直线，试问轴上是否存在定点，使得直线与直线交点的横坐标为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)轴上存在定点，使得直线与直线交点的横坐标为定值-2. 【分析】(1)根据条件可以求出点坐标，进而可以求出结果；（2）联立直线和椭圆方程，表示出直线与直线交点的横坐标，进而利用根与系数关系即可求出结果.【详解】（1），又椭圆的对称性，，故为中点，，且，代入，得，又，解得，故椭圆的方程为（2）设，由，得，故，则，假设存在，满足已知条件.，代入，得，故，代入，得，要使得直线与直线交点的横坐标为定值，则有，即，故轴上存在定点，使得直线与直线交点的横坐标为定值-2.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．