吉林省长春市博硕学校（原北京师范大学长春附属学校）2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

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单选题（每小题5分）
多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
填空题（本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分）
13. y=1ex 14. 20 15. y=±2x 16. eq \f(1,e) ； ( eq \f(e－1,2e) ， eq \f(1,2) )
16题【解析】f(x)的定义域为R，f′(x)＝ eq \f(1－x,ex) ，故f(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，
所以f(1)是f(x)的极大值也是最大值．所以最大值为f(1)＝ eq \f(1,e) .
当x>0时f(x)>0，当x＝0时，f(x)＝0，当x<0时，f(x)<0.
由[f(x)]2＋2tf(x)＋2t－1＝0，即[f(x)＋2t－1]·[f(x)＋1]＝0，由上述分析可知f(x)＋1＝0，
f(x)＝－1有一个解x1. 故需f(x)＋2t－1＝0，f(x)＝1－2t有两个不同的解，由上述分析可知：
0<1－2t< eq \f(1,e) ，解得 eq \f(e－1,2e) 四、解答题（共70分）
17题【详解】
（1）等差数列的首项，公差设为，
由，，成等比数列，
则，即， 2分
即，解得， 3分
所以. 5分
（2）bn=12n(2n+2)=141n-1n+1 1分
Sn=141-12+12-13+⋯+1n-1n+1 3分
化简得：Sn=n4(n+1) 5分
18题【详解】
(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数为：
3分
(2)“良好”的学生频率为，“优秀”学生频率为；
由分层抽样可得“良好”的学生有人，“优秀”的学生有3人， 4分
将三名优秀学生分别记为A，B，C，两名良好的学生分别记为a，b，
则这5人中选2人的基本事件有：共10种， 5分
所以都“优秀”的概率是P=310 7分
(3)由第三、四、五组的人数成等差数列得
，①
又由（2）知，②
由①②可得 9分
第五组人数频率为，
第四、五组人数的频率为， 10分
故初试时笔试成绩得分从高到低排名在22%的学生分数在第四组，设至少得x分能进入面试，则
(95-x)×0.04+0.02×5=0.22， 11分
解得x=92，即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到92分才能直接进入复试． 12分
19题【详解】
（1）由题意，， 2分
解得a=1. 4分
（2）由（1）fx=xlnx+x-4，且f'x=lnx+2为增函数. 5分
令f'x=0可得x=e-2， 6分
故当0e-2时，单调递增. 8分
故在x=e-2处有极小值， 10分
极小值为f（e-2）=-e-2-4，无极大值. 12分
20题【详解】
（1）因为数列满足，a1=2，a2a3=32，所以.所以数列为等比数列， 2分
设其公比为q（）.所以a2a3=a12q3，解得：q=2. 4分
所以的通项公式为an=2n. 6分
（2）由（1）可知：bn=n，所以anbn=n2n，所以Sn=1×21+2×22+⋯+n2n ① 8分
2Sn=1×22+2×23+⋯+n2n+1 ② 9分
②-①得：Sn=2n-12n+1 12分
21题【详解】
(1)解：由题意得m2=2p×1812×p2×m=p28，解得p=1，所以抛物线方程为y2=2x； 4分
(2)解：若K不存在，M(1,2) N(1,- 2),则以MN为直径的圆不过O点，不合题意 5分
显然k≠0，设M(x1，y1)，N(x2，y2），
联立，消去y，得k2x2+2(k-1)x+1=0， 6分
，解得k<，
， 7分
因为以MN为直径的圆经过点O，所以OMON，x1x2+y1y2=0， 8分
因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，
所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=， 10分
+=0，k= -， 11分
所以直线的方程为y=-x+1． 12分
22题【详解】
（1）解：由题意，函数fx=lnx-ax+a的定义域为0,+∞，
则， 2分
当时，当时，，当时，， 4分
所以在上单调递增，在上单调递减 5分
（2）解：当时，由（1）知，fx在0,+∞上单调递增，
所以当时，，不合题意 6分
当时，由（1）知，， 7分
因为对成立，所以，即， 8分
令，则， 9分
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以， 11分
所以不等式的解为，综上可得，实数的值为. 12分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
A
C
D
D
A
题号
9
10
11
12
答案
BD
AD
ABD
BC