2022-2023学年北京市十一学校高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市十一学校高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列函数的极限计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对于A B直接用极限的定义求解.

对于C项根据求解,

对于D项根据当时，当时求解.

【详解】对于A项，，故A错误.

对于B项，，故B错误

对于C项，

，故C错误

对于D项，

当时，当时

，

故D正确.

故选：D

2．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】B

【分析】分别求出在区间上的平均变化率和在时的瞬时变化率，利用相等求解即可.

【详解】函数在区间上的平均变化率等于，

在时的瞬时变化率为，

所以，解得.

故选：B

3．某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？

A．72 B．36 C．24 D．12

【答案】A

【分析】先排唱歌节目，利用插空法排舞蹈节目即可.

【详解】先排三个唱歌节目这有：种情况，

然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况，

所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况.

故选：A.

4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则C的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据已知渐近线确定双曲线参数，进而求其离心率.

【详解】由题设双曲线渐近线为，而其中一条为，

所以，则，故C的离心率为.

故选：A

5．已知为奇函数，当x＜0时，，则曲线在点处的切线斜率是（    ）

A．－2 B．2 C．－e D．

【答案】B

【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可.

【详解】当时，因为为奇函数，

所以有，则有，所以有，

故选：B

6．下列结论中正确的个数为（    ）

①若，则；②若，则；③若，则；④若，则

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】运用求导公式求出导函数，再一一判断即可.

【详解】对于①，，所以①不正确；

对于②，，所以，所以②正确；

对于③，，所以③正确；

对于④，，所以④正确；

综上，正确的有②③④.

故选：D

【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导法则，属于基础题.

7．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．曲线在点处的切线斜率小于零

B．函数在区间上单调递增

C．函数在处取得极大值

D．函数在区间内至多有两个零点

【答案】D

【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解.

【详解】根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，A错误；在，故在区间上单调递减，故B错误，在的左右两侧，故不是极值点，故C错误，在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，D正确；

故选：D

8．没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（    ）

A．1176 B．2352 C．1722 D．1302

【答案】A

【分析】根据题意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三种情况分为三组，然后把三组成员分配到A，B，C三个小区

【详解】根据题意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三种情况分为三组，然后把三组成员分配到A，B，C三个小区；

当按照3，3，1的方法分配则有；

当按照2，2，3的方法分配则有；

当按照1，1，5的方法分配则有；

把三组成员分配到A，B，C三个小区的方法为

所以根据分步计数原理可得一共有：种不同的安排方式.

故选：A

9．已知函数，则（    ）

A．是偶函数

B．曲线在点处切线的斜率为

C．在上单调递增

D．有一个零点

【答案】D

【分析】选项A由定义域就可以判断，B，C，D选项通过对函数求导逐一分析即可.

【详解】由函数的定义域为，不关于原点对称，

故非奇非偶函数，故A错误，

因为，

所以，

即在点处切线的斜率为，故B错误，

当时，，所以，

当时，，所以，

所以在上单调递减，在上单调递增

所以函数在有增有减，故选项C错误，

由C选项知在上单调递减，在上单调递增

且，所以当，，

当，，

故函数只有唯一一个零点，故选项D正确，

故选：D.

10．已知函数，则“有极值”是（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据极值点的定义求出的范围，验证充分性和必要性即可.

【详解】定义域为,由得，

令，则，

当时，恒成立，所以在上单调递增，又因为，

所以当时，有极值；

当时，令解得，所以在上小于0，在上大于0，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为当时，，

有极值则，

令，则，，

再令，则，解得，

所以在单调递增，在单调递减，又，

所以当时，，即，解得，

综上有极值，则或或，

所以有极值是的必要不充分条件，

故选：B.

11．已知函数，则该函数的图象在处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出函数的导数，再赋值法求出，然后得到的函数解析式可得切点，后将数据代入点斜式方程可得答案.

【详解】因为，所以，解得，

所以，

即切点

所以切线方程为：，即.

故选：A.

12．已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.

【详解】令，则，，

∴，，即，

若，则，

∴，有，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

∴，即的最小值为.

故选：A.

【点睛】关键点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.

二、填空题

13．在的展开式中，常数项为__________．

【答案】

【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令的指数为零，求解并计算得到答案.

【详解】的展开式的通项

令，解得，

故常数项为．

故答案为：.

14．已知O为坐标原点，抛物线C：上一点A到焦点F的距离为4，设点M为抛物线C准线l上的动点．若为正三角形，则抛物线C方程为______．

【答案】

【分析】根据抛物线的定义，结合等边三角形的性质进行求解即可.

【详解】根据抛物线的对称性，不妨设点A在第一象限，

因为为正三角形，所以，

因为抛物线点到焦点的距离等于该点到准线的距离，

所以与准线垂直，，

因此有，所以抛物线的方程为，

故答案为：

15．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为______．

【答案】或

【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解之即得答案.

【详解】令，

则，

由当时， ，

所以当时，

即在上是增函数，

由题意是定义在上的偶函数，

所以，

所以，

所以是偶函数，在递减，

所以，

，

即不等式等价为，

所以，所以或.

故答案为：或.

16．把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有______种．（用数字作答）

【答案】144

【分析】根据题意分2步进行：①先将票分为符合条件的4份，有2个人各一张，2个人各2张；②再将分好的4份全排列，对应到4个人，即可得答案.

【详解】解：根据题意，可分为两步进行：

①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张，

则有2个人各一张，2个人各2张，且分得的票必须连号，相当于将1，2，3，4，5，6这6个数字用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，

即在其中的5个空隙中插入3个板子，其有种情况；

其中出现3张三连号的有：123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345，6；1，2，3，456；共4种情况，不满足题意，

所以有10-4=6种情况；

②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有种情况，

由分步计数原理可得，共有种不同的分法.

故答案为：144

17．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______．

【答案】

【分析】先求出时，，再求解当时，分类讨论，分，，，利用导函数求解函数单调性，从而求出实数a的取值范围.

【详解】，所以，所以，

当时，单调递增，所以当时，，

此时值域为R，符合题意；

当时，当时，，所以单调递增，当时，值域为R，

所以满足题意；

当时，当时，，当时，，

当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，

要想值域为R，则要满足，

解得：，

综上：实数a的取值范围是

故答案为：.

18．函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定叫曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：

①存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

②设点A、B是抛物线上任意不同的两点，则；

③设曲线上不同两点，，且，若恒成立，则实数t的取值范围是；

④与在原点处的“弯曲度”一样．

以上正确命题的序号为______．（写出所有正确的）

【答案】①②

【分析】举例说明①正确；由新定义，利用导数求出函数在点与点之间的“弯曲度”判断②；求出曲线上点与点之间的“弯曲度”，然后结合得不等式，举反例说明③错误； 求与在原点处的“弯曲度”比较大小判断④．

【详解】命题①：如函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数0，成立，①正确；

命题②：，，

，②正确；

命题③：由，得，，．

恒成立，即恒成立，时该式成立，③错误．

命题④：当时，，设曲线上不同两点，，

，

，∴在原点处的“弯曲度”为0；

当时，，设曲线上不同两点，，

，

，∴在原点处的“弯曲度”为2； ④错误.

故答案为：①②

三、解答题

19．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．

条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；

条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；

条件③：展开式中常数项为第三项．

问题：已知二项式，若______，求：

(1)展开式中二项式系数最大的项；

(2)展开式中所有的有理项；

(3)展开式中所有项的系数之和．

【答案】(1)；

(2)，，，

(3).

【分析】（1）利用二项展开式的性质求出，再求展开式中二项式系数最大的项；

（2）设第项为有理项，，求出即得解；

（3）利用赋值法进行求解即可.

【详解】（1）解：选①，由，得（负值舍去）．

选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0．

由得．

选③，设第项为常数项，，由，得．

由得展开式的二项式系数最大为，

则展开式中二项式系数最大的项为．

（2）解：设第项为有理项，，

因为，，，

所以，

则有理项为，，，．

（3）在中，令，即，

所以展开式中所有项的系数之和为.

20．已知函数，．

(1)若函数在x＝1处取得极值，求a的值．

(2)讨论函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求定义域，求导，根据求出，验证后得到答案；

（2）求定义域，求导并对导函数进行因式分解，分，，与分类讨论，得到函数的单调区间.

【详解】（1）定义域为，

，因为在x＝1处取得极值，

所以，解得：，

经验证，此时x＝1为极大值点，满足要求，故；

（2），

当时，恒成立，令得：，

令得：，

故的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，，故令得：或，

令得：，

故的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，恒成立，故的单调递增区间为；

当时，，令得：或，

令得：，

故的单调递增区间为，，单调递减区间为；

综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；

21．如图，椭圆（a>b>0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.

（1）求该椭圆的离心率；

（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记△GDF的面积为，△OED（O坐标原点）的面积为.求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【详解】（1）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°.设，则.将代入，得.所以椭圆的离心率.

（2）由（1）知，椭圆方程可设为，设，.依题意，直线AB不能与x、y轴垂直，故设直线AB的方程为，将其代入，整理得.

则.

所以.

因为，所以.

因为，

所以.

所以的取值范围是.

22．已知函数．

(1)若a＜1且仅存在两个的整数，使得，求的取值范围；

(2)讨论零点的个数；

(3)证明，，有．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知满足不等式的整数只有两个，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可；

（2）考查直线与函数图象相切时实数的值，数形结合可得出实数在不同取值下函数的零点个数；

（3）构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，由以及函数的单调性可证得所证不等式成立.

【详解】（1）解：令，其中，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，且当时，；当时，.

由可得，作出函数、的图象如下图所示：

因为有且只有两个整数，使得，

则满足不等式的整数只有两个，所以，

解得.

（2）解：考查当直线与函数相切时，实数的值，

设切点坐标为，则切线斜率为，

所求切线方程为，

即，

所以，，解得或，

当时，；当时，.

如下图所示：当时，直线与函数的图象只有一个公共点；

当或时，直线与函数的图象有个公共点；

当或时，直线与函数的图象只有个公共点；

当时，直线与函数的图象无公共点.

综上所述，当时，函数无零点；

当或或时，函数只有个零点；

当或时，函数只有个零点.

（3）证明：不妨设，构造函数，其中，

因为，

，

令，其中，则且不恒为零，

故函数在上为增函数，

因为，故，

所以，，故，

所以，函数在上为减函数，

故当时，，

因为，则，

因此，、且，有.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.