2022-2023学年广东省广州市北京师范大学广州实验学校高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市北京师范大学广州实验学校高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据并集运算求解即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：D

2．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用题给条件列出不等式组，解之即可求得函数的定义域.

【详解】要使函数有意义，必须，解之得且

则函数的定义域为

故选：C

3．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过单位圆上的点，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据终边经过点，且，利用三角函数的定义求解.

【详解】因为角终边经过点，且，且终边经过单位圆上的点，

，故，

解得

故选：C

4．y＝cos在[0，π]上的单调递减区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先通过的单减区间求出整体的范围，再结合已知解出的范围即可.

【详解】由的单调递减区间为，可得，解得，

又，时， .

故选：D.

5．函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理确定正确答案.

【详解】的定义域是，图象是连续不断的且在上递增，

，

所以零点所在区间为.

故选：D

6．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数运算知，再由指数函数单调性比较得，由正弦函数的单调性比较与的大小即可.

【详解】，

由为减函数知，，

又，

，

故选：B

7．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式求，再利用同角三角函数关系式求的值.

【详解】，

，，

.

故选：D

8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升，小于0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上6点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早点（结果取整数）开车才不构成酒驾.（参考数据：，）（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【分析】根据题意可得不等式，解不等式可求得，由此可得结论.

【详解】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，

则，即，，

则，，

次日上午最早点，该驾驶员开车才不构成酒驾.

故选：C.

二、多选题

9．关于函数，说法正确的是（    ）

A．函数的图象沿轴向左平移个单位可以得到函数的图象

B．函数沿轴向左平移个单位，可以得到的图象

C．函数图象的横坐标伸长到原来的2倍，可以得到的图象

D．函数图象的横坐标缩小到原来的倍，可以得到的图象

【答案】AC

【分析】根据三角函数图象的平移与伸缩变换，逐项分析即可得解.

【详解】对A，函数的图象沿轴向左平移个单位可以得到图象，即的图象，故A正确；

对B，函数沿轴向左平移个单位得到的图象，故B错误；

对C，函数图象的横坐标伸长到原来的2倍可以得到图象，即的图象，故C正确；

对D，函数图象的横坐标缩小到原来的倍可以得到的图象，故D错误.

故选：AC

10．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．“”是“”的必要不充分条件

C．，使成立

D．命题“，”的否定是“，”

【答案】ACD

【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项.

【详解】对于A选项，若，则，由不等式的性质可得，即“”“”，若，取，则，即“”推不出“”，故“”是“”的充分不必要条件，A对；

对于B选项，若，取，但推不出，即“”推不出“”，若，取，，则，即“”推不出“”，所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，B错；

对于C选项，取，则成立，C对；

对于D选项，命题“，”的否定是“，”，D对.

故选：ACD.

11．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ）

A． B．函数的最小正周期是

C．是函数的一个零点 D．函数的图象关于直线对称

【答案】BD

【分析】根据三角函数的图象求得的解析式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由图可知，，B选项正确.

，，

由于，

所以，所以.

，A选项错误.

，所以C选项错误.

，所以D选项正确.

故选：BD

12．如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（    ）

A．野生水葫芦的面积每月增长率为1

B．野生水葫芦从蔓延到历时至少需要1.5个月

C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有

D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度小于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度

【答案】ACD

【分析】根据图象求出指数函数的解析式，再根据解析式、增长率的定义、平均速度的定义以及对数知识可得答案.

【详解】因为函数关系为指数函数，所以设函数为，由图可知，，所以，

所以，

设野生水葫芦的面积每月增长率为，则第个月的面积，第个月的面积为，

则，得，得，

所以野生水葫芦的面积每月增长率为1，故A正确；

由，得，得，

由，得，得，

所以野生水葫芦从蔓延到的时间为，

因为，所以，所以B不正确；

因为，，，

所以，，，

所以，，

所以，故C正确；

野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为月，

野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为月，故D正确；

故选：ACD

三、填空题

13．若关于的不等式的解集是，则___________.

【答案】

【分析】由一元二次不等式的解集与对应的方程的解的关系结合二次方程根于系数的关系求解即可.

【详解】由题意知，是的两个根，

则，

解得.

故

故答案为：.

14．若扇形的面积为5，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为___________.

【答案】

【分析】求出半径，然后根据扇形的面积公式列方程求解.

【详解】设该扇形的弧长为，则该扇形的半径为

，解得

故答案为：

15．在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则___________.

【答案】

【分析】利用三角函数定义求出，再利用倍角公式计算即可.

【详解】由三角函数的定义可得，

故答案为：.

16．已知函数有两个零点分别为，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据函数零点及对数函数的性质可得，再由对勾函数求范围即可.

【详解】由题意，有两个不等实根，即有2个实根，

即图象有2个交点，如图，

不妨设，则，即，

解得，

，（）

在上为增函数，

故答案为：

四、解答题

17．求解下列问题：

(1)求值：；

(2)已知，化简并求值：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数、对数、三角函数的知识进行化简求值.

（2）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【详解】（1）

.

（2）

.

18．已知函数，.

(1)求的最小正周期；

(2)求的单调递增区间；

(3)当时，求的最大值和最小值.

【答案】(1)；

(2)，；

(3)，1.

【分析】（1）由三角恒等变换化简后由周期公式直接可得；

（2）利用正弦函数的单调区间解不等式可得；

（3）先根据x的范围求出的范围，然后由正弦函数的性质可得.

【详解】（1）

，

的最小正周期．

（2）由，，得，．

所以函数的单调递增区间为，．

（3）∵，∴．

当，即时，．

当，即时，.

19．已知函数（，为常数，且）的图象经过点，.

(1)求函数的解析式；

(2)若关于不等式对都成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将，，代入函数，利用待定系数法即可得出答案；

（2）转化为，，再由函数单调性求解即可.

【详解】（1）∵函数的图象经过点，，

∴，即，

又∵，∴，，

∴.

（2）由（1）知，，

∴对都成立，即对都成立，

∴，，

在上为增函数，

∴，

∴，

∴的取值区间为．

20．在①两个相邻对称中心的距离为，②两个相邻最高点的由距离为，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解.

问题：函数的图象过点，且满足________，当时，，求的值.

【答案】

【分析】选①得到函数周期，求出，再由图象过点求出，得出函数解析式，再利用角的变换求解即可；选②可得函数周期为，解法下同①.

【详解】选①，由题意可知函数周期，

所以，又图象过点，

所以，又，所以，

所以，

，，

，

选②，由题意知函数周期，

下同①的解法.

21．已知函数.

(1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增；

(2)若对，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据函数单调性的定义法证明即可；

（2）问题可转化为，由函数单调性求出即可.

【详解】（1）设且，

则

当时，，

，，即，

在区间上单调递减.

当时，，，，

，即，

在区间上单调递增.

（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

因为，都有，

所以，

因为当时，，

所以，故，

所以实数的取值范围为.

22．已知函数，其中.

(1)若函数在上单调递减，求的取值范围；

(2)若函数在的最小值是3，求实数的值.

【答案】(1)；

(2)2.

【分析】（1）根据二次函数的性质即得；

（2）分，，讨论，根据二次函数的图象和性结合条件即得.

【详解】（1）因为在上单调递减，

所以，

所以；

（2）因为，

当，即时，函数在上单调递增，

所以，即(舍去)；

当，即时，，

解得或 (舍去)；

当，即时，函数在上单调递减，

所以，不合题意；

综上，实数的值为2.