2022-2023学年宁夏贺兰县第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年宁夏贺兰县第一中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，,则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，再根据交集的定义即可求得.

【详解】解：因为=，

所以或，

,

所以.

故选：C.

2．已知命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由全称命题的否定判定.

【详解】由题意得为.

故选：C

3．设函数则（    ）

A． B． C．3 D．7

【答案】D

【分析】根据分段函数解析式逐步求值即可.

【详解】因为，所以.

故选：D

4．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】B

【分析】通过考查函数的定义域和对应关系可得.

【详解】A中，的定义域为，的定义域为R，故A错误；

B中，，B正确；

C中，的定义域为R，的定义域为，故C错误；

D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误.

故选：B

5．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数的单调性比较大小．

【详解】∵是减函数，，所以，

又，

∴．

故选：C．

6．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】AD选项不是奇函数，B选项不满足在上单调递增，C选项满足要求.

【详解】，故不是奇函数，A错误；

为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，故B错误；

，在上单调递增，且定义域为R，，故为奇函数，满足要求，C正确；

定义域为R，且，故不是奇函数，D错误.

故选：C

7．已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复合函数的单调性即可求解.

【详解】令，则，

因为在上是减函数，由复合函数的单调性知，

函数与的单调性相反；

又因为单调递减，

所以需在上单调递增.

函数的对称轴为，所以只需要，

故选:A.

8．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式求得的取值范围.

【详解】，

，

当且仅当时等号成立.

所以，

解得或，

所以的取值范围是.

故选：C

二、多选题

9． (多选)已知命题:，，则命题成立的一个充分条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性的定义、子集的性质进行求解即可.

【详解】由命题:，成立，得，解得.

故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合，

故选：ABD.

10．已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】不等式变形后，确定相应二次方程的根有大小得不等式解集．

【详解】不等式变形为，又，所以，

时，不等式解集为空集；

，，

时，，

因此解集可能为ABD．

故选：ABD．

11．具有性质： 的函数，我们称为满足“倒负“变换的函数，下列函数中满足“倒负“变换的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据中给出的“倒负”变换的函数的定义，对四个选项中的函数进行逐一的判断即可．

【详解】解：对于，，则，不满足“倒负”变换的函数的定义，故选项错误；

对于，，因为，满足“倒负”变换的函数的定义，故选项正确；

对于，，因为，不满足“倒负”变换的函数的定义，故选项错误；

对于，，

当时，，

当时，，

当时，，满足“倒负”变换的函数的定义，故选项正确；

故选：．

12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：；，当时，都有；.则下列选项成立的是（    ）

A．

B．若，则

C．若，则

D．，，使得

【答案】ACD

【分析】根据函数的单调性，奇偶性以及最值的应用，对每个选项进行注意判断，即可选择.

【详解】因为函数定义在上的函数，

所以由：，得函数为偶函数．

又因为由知：，，当时，都有，所以函数在上单调递减．

对：因为函数为偶函数，所以，

而函数在上单调递减，因此，即，故正确；

对：因为定义在上的偶函数在上单调递减且连续，且，

所以，解得或，故错误；

对：因为，函数为偶函数，所以．

因为函数为偶函数，在单调递减，

当时，令，解得；当时，令，解得，

所以由，得或，故正确；

对：由知：是函数的最大值，

因此，，使得，故正确.

故选：．

三、填空题

13．计算_______.

【答案】##

【分析】根据分数指数幂的运算法则即可求出答案.

【详解】.

故答案为：.

14．已知常数且，若无论取何值，函数（、为实数）的图像过定点，则的值为________

【答案】3

【分析】函数过定点得到，得到答案.

【详解】，当时，，故函数过定点，即，

.

故答案为：3.

15．已知定义在非零实数上的奇函数，满足，则等于______.

【答案】

【分析】由可得，再根据奇函数的定义，即可求解.

【详解】∵，

∴，

∵为定义在非零实数上的奇函数，

∴，即，

∴.

故答案为：.

16．已知函数，且对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】先根据条件得到分段函数在R上单调递增，从而要求每段上都单调递增，且分段处左侧函数的函数值大于等于右侧函数的函数值，列出不等式组，求出实数的取值范围.

【详解】因为，所以在R上单调递增，

所以满足，解得：.

故答案为：.

四、解答题

17．若函数为偶函数，当时，．

（1）求函数的表达式，画出函数的图象；

（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．

【答案】（1）；作图见解析；（2）．

【分析】（1）根据题意，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，作出函数的图象即可，

（2）结合函数的图象可得关于的不等式，解可得的取值范围，即可得答案．

【详解】解：（1）当时，，．

由是偶函数，得．

所以．

函数的图象，如图．

（2）由图象可知，函数的单调递减区间是和．

要使在上单调递减，

则，解得，

所以实数a的取值范围是．

18．已知幂函数是偶函数．

(1)求函数的解析式；

(2)函数，，若的最大值为15，求实数a的值．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）根据幂函数的特征，得，解得或，检验是偶函数，得出答案；

（2）求出，利用的单调性，得，求解即可．

【详解】（1）由题知，即，解得或．

当时，，不是偶函数，舍去，

当时，，是偶函数，满足题意，

所以．

（2）由（1）知，且图象的对称轴为，

所以在上是增函数，

则，

解得或，

又，所以．

19．已知函数，.

(1)若，判断的奇偶性并加以证明.

(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)奇函数，理由见解析

(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，判断的关系，即可得解；

（2）对任意，恒成立，即在上恒成立，求出在上的最大值，即可得解.

【详解】（1）解：函数为奇函数，理由如下：

，定义域为，

因为，

所以函数为奇函数；

（2）解：对任意，恒成立，

即为在上恒成立，

即在上恒成立，

因为，当时，取等号，

所以，

所以，

所以实数的取值范围.

20．已知函数．

（）判断并证明函数在的单调性．

（）若时函数的最大值与最小值的差为，求m的值．

【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）.

【分析】（1）由函数单调性的定义任取，且，证明即可得解；

（2）由函数的单调性可得，代入即可得解.

【详解】（1）函数在上单调递增.证明如下：

任取，且，

因为，

则，

因为，所以，，，

所以，即，

所以函数在上单调递增；

（2）由（1）知函数在上单调递增，

所以函数的最大值为，最小值为，

所以，即，解得.

21．新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32万台，且每万台的销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万台）的函数关系式近似满足：

(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；

(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？

【答案】(1)；

(2)年产量为30万台，利润最大.

【分析】（1）根据题设给定的函数模型及已知条件，求函数解析式.

（2）利用二次函数、分式型函数的性质求分段函数各区间的最大值，并确定对应的自变量值，即可得解.

【详解】（1），

∴.

（2）当时，，故在上单调递增，

∴时，取最大值，

当时，，当且仅当时等号成立，

∴当时，，

综上，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元.

22．已知函数．

（1）是否存在实数使得为奇函数？若存在，求出实数，若不存在，请说明理由；

（2）在（1）的结论下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）通过奇函数的性质，可以求出，然后证明是奇函数即可；（2）对函数求导可证明是上单调递增函数，由奇函数的性质，原不等式等价于，从而，即，再求出在上的最小值，令小于得到的最小值即可．

【详解】（1）若为奇函数，则，

即，解得，

，

故存在，使得为奇函数

（2）（），，

则在上为增函数，

∵为奇函数，，

即，

又在上为增函数，∴，

则恒成立，

令，则，

令，

，∴

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，考查了含参不等式恒成立问题，属于难题．