2022-2023学年宁夏银川市贺兰县第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年度第一学期高一年级期末考试考前必刷题

数学试题

试卷满分：150分；考试时间：120分钟；命题人：王嘉成

考试范围：第一章至第五章第三节诱导公式

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，）

1. 已知，则“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由，当时，不能推出；而当时，可以推出，利用必要不充分条件的定义可得选项．

【详解】因为，所以当时，的终边可能在第三象限，也可能在第四象限，所以，不满足充分性；当时，的终边在第四象限，所以成立，满足必要性.

故选：B

2. 已知函数，则为（）

A. 奇函数 B. 偶函数

C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数定义域后可判断其奇偶性.

【详解】因，则，得定义域为：.

因定义域不关于原点对称，则既不是奇函数又不是偶函数.

故选：D

3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】由同一函数要求定义域与对应关系相同逐一判断即可

【详解】对于A：两组函数的定义域都是，

但，故不是同一函数，故A错误；

对于B：的定义域与对应关系都相同，故是同一函数，故B正确；

对于C：的定义域是，的定义域是，

故不是同一函数，故C错误；

对于D：的定义域是，的定义域是，

且，故不是同一函数，故D错误；

故选：B

4. 奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则的值为（）

A. 2 B. 1 C. －1 D. －2

【答案】D

【解析】

【分析】由已知函数的奇偶性可先求出函数的周期，结合奇偶性及函数的周期性把所求函数值转化可求．

【详解】由为偶函数，∴，

令，则，即，

因为为奇函数，有，所以，

令，得，∴，即函数是周期为4的周期函数，

奇函数中，已知，，

则．

故选：D．

5. 设，，函数，若恒成立，则（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的解析式进行分类讨论，当时，结合二次函数的图象和性质即可求解.

【详解】因为，

当时，恒成立，

当时，恒成立，

则恒成立，因为，

则有，故，

故选：.

6. 已知，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数性质可判断b的范围，利用三角函数诱导公式求得c,并利用对数函数的性质比较的大小，即得答案.

【详解】因为，

所以,

故选：B.

7. 函数的图像大致为（）

A B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先判断函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.

【详解】函数有意义，则，即，即函数的定义域为.

，∴为偶函数，图像关于y轴对称，故排除A，C；

当时，，故排除B；

故选：D

8. 用二分法判断方程在区间内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：，）（　　）

A. 0.825 B. 0.635 C. 0.375 D. 0.25

【答案】B

【解析】

【分析】设，由题意可得是上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．

【详解】设，

，，

，

在内有零点，

在内有零点，

方程根可以是0.635.

故选：B．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 若，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据不等式的性质依次判断ABC，取特殊值判断D.

【详解】对于A，因为，所以， A正确．

对于B，因为，所以， B错误．

对于C，因为，所以，所以， C正确．

对于D，取，故，故D错误．

故选：AC

10. 若函数的图像经过点，则（）

A.  B. 在上单调递减

C. 的最大值为 81 D. 的最小值为

【答案】AC

【解析】

【分析】利用函数经过点,可求出,再应用函数性质每个选项分别判断即可.

【详解】对于:由题意得，得 ,故正确;

对于:令函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．

因为减函数，所以在上单调递增，在上单调递减，故错误;

对于:因为在上单调递增，在上单调递减,

所以 ,无最小值．故正确, 错误;

故选:.

11. 已知函数，则下列说法正确的是（　　）

A. 函数的单调减区间是；

B. 函数在定义域上有最小值为0，无最大值；

C. 若方程有1个实根，则实数t的取值范围是

D. 设函数，若方程有四个不等实根，则实数m的取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】函数变形得，即可根据函数形式得出函数的单调性及值域，即可判断AB；由数形结合即可判断C；对D，方程等价于，结合①解的个数的情况，即可判断②中解的个数及范围，即可根据零点存在定理列不等式求解.

【详解】

由于在上单调递减，在上单调递增，且在单调递减，

所以由复合函数单调性可得当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的图象如图所示，

对AB，在，单调递增，值域；

在，当时，有最大值，即在单调递增，在单调递减，值域为，

综上，的值域为，故AB对；

对C，方程有1个实根等价于与有一个交点，则实数t的取值范围是，C错；

对D，方程等价于，

由于时方程①一解；时方程①两解；时方程①三解.

故有四个不等实根等价于有两根，其中，.

∵，，∴只需即可，此时，，故m的取值范围为，D对.

故选：ABD

12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）

A. ，

B. ，

C. ，，若，则有

D. 方程的解集为

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A：取，不成立；

对于B：设， ,讨论与求解；

对于C：，，由得证；

对于D：先确定，将代入不等式得到的范围，再求得值.

【详解】对于A：取，，故A错误；

对于B：设,

，

当时，，，则 ，

则，,故当时成立.

当时，，则 ，

则，故当时成立.

综上B正确.

对于C：设，则，，则，因此，故C正确;   

对于D：由知，一定为整数且，

所以，所以，所以，

由得，

由解得，只能取，

由解得或(舍)，故，

所以或，

当时，当时，

所以方程的解集为，

故选：BCD.

【点睛】高斯函数常见处理策略:

(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.

(2)由求时直接按高斯函数的定义求即可.由求时因为不是一个确定的实数,可设，处理.

(3)求由构成的方程时先求出的范围,再求的取值范围.

(4)求由与混合构成的方程时,可用放缩为只有构成的不等式求解.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，）

13. 函数的定义域为________．

【答案】

【解析】

【分析】利用对数函数的定义域及根式有意义求解即可.

【详解】由根式有意义及对数的真数部分大于0可得，

解得，

故答案为：

14. 若是第三象限角且，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据，且，求得，再根据是第三象限角，确定的范围，然后利用平方关系求解.

【详解】因为，且，

所以，

又因为是第三象限角，

所以，

则第二或第四象限，

又，

所以在第二象限，

所以，

故答案为：

15. 已知函数所过的定点在一次函数的图像上，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由指数函数性质与基本不等式求解，

【详解】令得，

由题意得过的定点为，则，

，

当且仅当即时等号成立，

故的最小值为，

故答案为：

16. 已知函数，若，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】设，证明其为奇函数，减函数，不等式化为，再由奇偶性与单调性变形为，分离参数为，然后求得最大值，即可得结论．

【详解】令，

则，是奇函数，

设，则，，，

，∴，从而，

所以在上是减函数，又是奇函数，所以它在上也是减函数，

所以在上是减函数，

不等式可化为，

即，，

所以，，

令

设，，

，

当时，，，，递减，

当时，，，，递增，

所以，，∴在上的最大值为，

故答案为：．

【点睛】结论点睛：不等式恒成立与能成立问题：

的定义域是，的定义域是，

（1）对任意，任意，总有成立等价于，

（2）对任意，存在，使得成立等价于，

（3）存在，对任意，使得成立等价于．

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤，）

17. 求值：

（1）

（2）

【答案】（1）6（2）0

【解析】

【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；

(2)根据诱导公式化简求值即可.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

．

18. 已知函数的定义域为A，的值域为B.

（1）求A和B；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）A为，B为

（2）3

【解析】

【分析】（1）根据函数的解析式有意义，得到满足，即可求解函数的定义域A；根据在定义域内为增函数，即可求出值域B.

（2）由（1）可知，根据集合间的包含关系可求出参数a的范围，则可得出的最大值.

【小问1详解】

解：由题意，函数，满足，

解得，所以函数的定义域为，

而函数在R上是增函数，

，，

所以函数的值域为，

故定义域A为，值域B为.

【小问2详解】

解：由（1）可知，若，

则，解得，

所以的最大值为3，此时满足，

故最大值为3.

19. 已知

（1）求函数的表达式，并判断函数的单调性（不需要证明）；

（2）关于x的不等式在上有解，求实数的取值范围.

【答案】（1），单调递增

（2）

【解析】

【分析】（1）令，则，代入条件可得答案，然后任取，通过计算的正负可得单调性；

（2）将原式整理得到在上有解，转化为，求出的最大值即可.

【小问1详解】

令，则，

故，

任取，

则，

，

，

故在R上单调递增；

【小问2详解】

由已知

化简得，

令，

因为在上单调递增，又，

故在上有解，

即在上有解，

.

又

.

20. （1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由.

（2）若，，求值.

【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）假设存在实数，根据是第二象限角，可得、求出参数的取值范围，再根据平方关系求出参数的值，得出矛盾，即可说明；

（2）首先求出，再通分计算可得.

【详解】解：（1）假设存在实数，使，，

因为是第二象限角，

所以，，解得，

又，即，解得，

与矛盾，故不存在实数满足题意；

（2）因为，所以，

，

．

．

21. 如图，病人服下一粒某种退烧药后，每毫升血液中含药量 (微克) 与时间 (小时)之间的关系满足：前 5 个小时按函数递增，后 5 个小时随着时间变化的图像是一条线段．

（1）求关于的函数关系式；

（2）已知每毫升血液中含药量不低于 3 微克时有治疗效果，含药量低于 3 微克时无治疗效果，试问病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为多少小时？

【答案】（1）

（2）小时

【解析】

【分析】(1)根据图像中特殊点,求出函数的解析式即可.

(2)根据题意构造不等式,分段求解即可.

【小问1详解】

由图可得,函数过点,可得，得．

当时，设，

由图可得得所以．

故

【小问2详解】

由题意得或得或，即．

故病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为小时．

22. 对于函数，若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即

（1）设函数，求A和B；

（2）请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；

（3）若，且，求实数a的取值范围.

【答案】（1），；

（2），证明见解析；

（3）.

【解析】

【分析】（1）根据不动点、稳定点定义，令、求解，即可得结果；

（2）问题化为与有交点，根据交点横纵坐标的关系知，即可证.

（3）问题化为有实根、中无实根，或与有相同的实根，求参数a范围.

【小问1详解】

令，可得，故；

令，可得，故.

【小问2详解】

，证明如下：

由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标，

若与有交点，则横纵坐标相等，则，

所以.

【小问3详解】

由，则：

令，即有实根，

当时，，符合题设；

当时，，可得.

令，即有实根，

所以，

因为，则无实根，或有与相同的实根，

当无实根，有且，可得且；

当有实根，此时，即，

所以，则，代入得：，可得.

综上，.

【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为、与的交点理解，注意交点横纵坐标性质；第三问，化为有实根、中无实根或与的实根相同.