宁夏贺兰县重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份宁夏贺兰县重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
2．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．垂直平分两圆，的公共弦的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
5．已知椭圆C：的左焦点是，过的直线l：与圆：交于A，B两点，则的长为（ ）
A．B．C．2D．
6．已知双曲线C：的渐近线方程为，且C过点，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则（ ）
A．3 B． C． D．1
8．已知是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是
A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是
C．在方向上的投影向量是 D．与的夹角为
10．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
11．已知直线：，：，则说法正确的是（ ）
A．恒过点B．若，则
C．若，则或D．若不经过第三象限，则.
12．已知双曲线若圆与双曲线C的渐近线相切，则
A．双曲线C的实轴长为6
B．双曲线C的离心率
C．点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为、，则
D．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则
三、填空题
13．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成的角是 .
14．代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 .
15．圆心在第一象限的圆，截轴所得弦长为2，截轴所得弦长为4，被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，则圆的方程为 .
16．已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ．
三．解答题
17．已知抛物线的顶点为坐标原点，准线方程为.
(1)求的方程； (2)若直线：与交于，两点，求弦的长.
18．已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程.
19．已知圆过点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程．
20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，分别是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．
条件①：平面平面；
条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，为线段上的动点，.
(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的大小为，确定点的位置.
22．已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点M，N在C上，且，证明：直线MN过定点．
参考答案
1．D【详解】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，则其准线方程为，得.
该抛物线的标准方程是.故选：D.
2．D【详解】因直线与圆相切，所以圆的半径等于点到直线的距离，
即，则所求圆的方程为.故选：D．
3．B【详解】根据题意，圆，其圆心为，则，
圆，其圆心为，则，
垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线的方程为，变形可得；故选:B.
4．D【详解】解法一 当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，
解得，此时直线方程为.故选：
解法二 易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.
设直线方程为，则时，，时，，
由题意知，解得或，即直线方程为或.
5．A【详解】由题意可得，代入直线可得，则，
所以直线，所以圆心到直线距离，所以弦长，
6．B【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，
所以可设C的方程为，把点的坐标代入得，
所以C的方程为，即.故选：B.
7．B【详解】，
，，.故选：B
8．D【详解】解：延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，，
设直线的方程，，，
联立，整理得：，
则，，由，则，
整理得：，则，
即，∴椭圆的离心率，∴椭圆的离心率的取值范围．故选：D
9．BC【详解】已知空间中三个向量，，，
对于A选项，因为，故、不共线，A错；
对于B选项，与同向的单位向量是，B对；
对于C选项，在方向上的投影向量是，C对；对于D选项，因为，则、不垂直，D错.故选：BC．
10．BD【详解】易知直线与坐标轴的交点分别为，
当焦点为时，可知抛物线方程为：；
当焦点为时，可知抛物线方程为：.故选：BD
11．AC【详解】A选项：,即，解得，所以直线过定点，故选项A正确；
B选项：若，则，解得，
当时，：，：，两直线重合，舍去；
当时，：，：，两直线平行，符合题意.
所以，故选项B错误；
C选项：若，则，解得或者，故选项C正确；
D选项：当时，直线：不过第三象限，满足题意；
当时，直线：不过第三象限，则
，解得，综上，故选项D错误；故选：AC.
12．BC【详解】解：由题意知的渐近线方程为，所以，
因为，则，所以双曲线的实轴长为，故A错误；
，所以，故B正确；
设，则，，故C正确；
设、，则，两式作差得，
所以，，故D错误.故选：BC.
13．/【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，
则,所以,
故，所以，故异面直线ON，AM所成的角为，
14．4【详解】如图，设点关于直线对称的点为，
则，解得，则“将军饮马”的最短总路程为．故答案为：4
15．【详解】设圆的圆心为，半径为，则点到轴，轴的距离分别为.又圆被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，知圆截轴所得劣弧对的圆心角为，所以圆截轴所得的弦长为，且，故，，又圆截轴所得的弦长为2，所以有，解得，
16．【详解】因为分别为的中点，所以.
又双曲线上的点到焦点的最小距离为，
所以，解得，因此双曲线的离心率e的取值范围是．
17．(1)(2)16【详解】（1）依题意可设C的方程为，
则，解得.所以C的方程为.
（2）将代入，得，则，，，因为过抛物线的焦点，所以.
18．【详解】设点，而点，，在中，，又直线，的斜率存在，即，于是，即，整理得，
所以动点M的轨迹方程.
19．(1)(2)
【详解】（1），则的垂直平分线的斜率为，中点为，
故的垂直平分线为，，解得，即圆心为，
圆的半径，故圆方程为.
（2）反射光线恰好平分圆的圆周，故反射光线过圆心，
设关于直线对称的点为，
则，且，解得，即，
，故反射光线为，即.
20．(1)证明见详解(2)【详解】（1）取的中点，连接，
因为分别为的中点，则∥，且，
又因为为矩形，且分别为的中点，则∥，且，
可得∥，且，即为平行四边形，则∥，
且平面，平面，所以∥平面.
（2）若选条件①：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
如图，以A为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，由题意可知：平面的法向量，可得，所以平面与平面夹角的余弦值；
若选条件②：连接，可知，即，可得，
且，，平面，所以平面，
如图，以A为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，由题意可知：平面的法向量，可得，所以平面与平面夹角的余弦值.
21．(1)证明见解析(2)点为线段的一个三等分点.【详解】（1）取的中点，连接，，
平面平面，平面平面，
平面，平面平面，
，RtRt，，
，
，平面平面，
平面平面；
（2）取的中点，连接，为的中点，为的中点，四边形为矩形，，两两垂直，以点为坐标原点，
分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
设，有，
有，
设平面的法向量为，
由，有
取，可得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
又由，有，
，
可得，
又由，有，解得或，
故若直线与平面所成的角为，则点为线段的一个三等分点.
22．(1)(2)证明见解析
【详解】（1）设椭圆C的方程为，
由题意得解得∴椭圆C的标准方程为．
（2）证明：设点，
∵，∴
整理可得①，
当直线MN的斜率k存在时，设，
联立得，
由得，
则．
∴，，
代入①式化简可得，
即，∴或，
则直线方程为或，
∴直线过定点或，又和A点重合，故舍去．
当直线MN的斜率k不存在时，则，，
此时，即，又，解得或2（舍去），
此时直线MN的方程为，过点．综上所述，直线MN过定点．