2023-2024学年宁夏石嘴山市平罗中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年宁夏石嘴山市平罗中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用交集的运算可求得答案．
【详解】解：集合，，
.
故选：C．
2．已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据分式不等式解得的取值范围，根据充分不必要条件的定义，可得答案.
【详解】由不等式，等价于，解得，
由，故是的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知命题，则以下结论正确的是（ ）
A．是真命题，的否定为：
B．是真命题，的否定为：
C．是假命题，的否定为：
D．是假命题，的否定为：
【答案】B
【分析】根据二次方程的求解，结合特称命题的否定，可得答案.
【详解】由方程，分解因式可得，解得或，故命题是真命题；
其否定为：.
故选：B.
4．下列各组函数中为同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】同一函数的定义是两个函数有相同的定义域和表达式，对选项中各式分别求出定义域和化简后的解析式，对比可得是否为同一函数
【详解】选项A, 的定义域是, 的定义域是, 两个函数对应关系不相同, 所以不是同一个函数, 选项A错误;
选项B, 的定义域是, 的定义域是, 两个函数对应关系也相同, 所以是同一个函数, 选项B正确;
选项C, 的定义域是, 的定义域是, 定义域不同, 不是同一个函数, 选项C错误;
选项D, 的定义域是, 的定义域是, 定义域不同, 不是同一个函数, 选项D错误.
故选：B.
5．关于x的一元二次不等式的解集为，则（ ）．
A．B．C．2D．8
【答案】D
【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，再结合韦达定理即可求得的值，从而求得的值.
【详解】因为的解集为，所以是方程的两根，
由韦达定理得，解得，
所以.
故选：D.
6．设是定义在上的奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意有，从而可得，进一步可以算出，.
【详解】由题意是定义在上的奇函数，
则由奇函数的性质可得，
解得，
所以，从而.
故选：C.
7．已知，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，利用基本不等式可求得结果.
【详解】，，（当且仅当，时取等号），
的最大值为.
故选：B.
8．已知函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意列出不等式组，从而可求得的取值范围．
【详解】∵函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，
∴，解得.
故选：A
二、多选题
9．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】对于A：由可得，故选项A正确；
对于B：由可得，所以，故选项B不正确；
对于C：当时，由可得，故选项C不正确；
对于D：由可得，所以，所以，故选项D正确；
故选：AD.
10．对于函数，以下结论正确的是（ ）
A．的定义域为RB．值域为R
C．是偶函数D．在上是减函数
【答案】ACD
【分析】根据奇偶性和解析式，画出图象，即可对各选项作出判断．
【详解】，
对于，都有意义，所以的定义域为R，
又，
为偶函数，
当时，，当时，图象与时的图象关于轴对称，作出图象，如图所示，
对于A：的定义域为R，故A正确；
对于B：由函数图象可知，，故B错误；
对于C：为偶函数，故C正确；
对于D：由函数图像可知，当时，为减函数，故D正确；
故选：ACD．
11．已知函数的图像经过点，则（ ）
A．的图像经过点
B．的图像关于原点对称
C．若，则
D．当时，恒成立
【答案】BCD
【分析】把点代入函数解析式，求出未知系数，得到函数解析式后分析单调性奇偶性等性质，验证函数值，逐个判断选项.
【详解】函数的图像经过点，，得，∴函数.
由，故A错误；
函数为奇函数，它的图像关于原点对称，故B正确；
若，函数在上单调递减，则，即，故C正确；
当时，，∴恒成立，故D正确；
故选：BCD
12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（ ）
A．
B．若，则或
C．若，则
D．，使得
【答案】ABD
【分析】根据奇偶性、单调性定义易知偶函数在上单调递减，在上单调递增，且，进而逐项分析各项的正误．
【详解】由①，，得为偶函数，
②，，当时，都有，所以在上单调递减，
故,故A正确；
对于B，由,可得或，解得或，故B正确；
对于C，由，得，
若，则或，解得，故C错误；
对于D，由为上的偶函数，在单调递减，在单调递增，
又因为函数的图象是连续不断的，所以为的最大值，
所以，，使得，故D正确．
故选：ABD
三、填空题
13．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据函数的定义域得到，解得答案.
【详解】由题意可得，解得或.
故答案为：
14．已知函数，则 .
【答案】
【分析】利用换元法计算可得.
【详解】因为，令，则，
所以，
所以，.
故答案为：
15．函数的值域为
【答案】
【分析】根据题意，由二次函数的单调性，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，且，则当时，，当时，，则函数值域为.
故答案为：
16．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据双变量不等式转化为函数最值问题，即，先确定，再 讨论的取值，得的最大值，即可得实数的取值范围.
【详解】解：若对任意的，总存在使得成立，则，
当时，，
当时，，满足，符合题意；
当时，在上单调递减，故，解得；
当时，在上单调递增，故，解得；
综上，的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．已知，，
(1)当a＝1时，求和；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，或
(2)或
【分析】（1）先化简集合，再根据并集和补集的概念直接求解即可；
（2）由，可得，利用集合的包含关系列不等式组求解即可.
【详解】（1）由解得：，故，
当时，，
所以，或.
（2）因为，所以，
当时，，解得，满足；
当时，，解得，
所以实数的取值范围为或.
18．（1）已知，求的最小值.
（2）已知，且，求的最小值.
【答案】（1）最小值为1，（2）最小值为9
【分析】（1）根据基本不等式即可求解，
（2）由乘“1”法，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由于，所以，故，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为1，
（2）由于，所以，
当且仅当等号成立，又，故当时等号成立，故最小值为9.
19．已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求a的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的解析式求得.
（2）根据的解析式列方程，由此求得.
【详解】（1）.
所以.
（2）当时，若，不符合.
当时，若，或（舍去）.
当时，若，不符合.
综上所述，的值为.
20．给定函数，，．，用表示，中的最小者，记为．
(1)请用图象法和解析法表示函数；
(2)根据图象说出函数的单调区间及在每个单调区间上的单调性，并求此时函数的最大值和最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求得的交点坐标，根据的定义，将其写成分段函数即可，再根据常见函数的图象，画图即可；
（2）数形结合，即可求得单调区间，结合函数单调性和区间端点处的函数值，即可求得最值.
【详解】（1）令，即，解得，或．
根据题意，
故其函数图象如下所示：
.
（2）数形结合可知，函数的单调区间是；
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
由，，，知，
当时，取得最大值，最大值为8，
当时，取得最小值，最小值为-1．
21．已知为R上的奇函数，当时，．
(1)求；
(2)求的解析式；
(3)关于x的方程有3个不同的实数根，求实数k的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】（1）（2）由奇函数的性质求解，
（3）作出图象，数形结合求解，
【详解】（1））因为为R上的奇函数，
当时，，所以．
（2）因为为R上的奇函数，所以．
令得：，所以．
任取，则．
所以．
由，所以．
综上所述：．
（3）作出的图象如图所示：
要使有3个根，只需．
所以实数k的范围为．
22．已知函数是定义域为(－2，2)的奇函数，且．
(1)求a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－2，2)上的单调性，并用定义证明；
(3)若函数f(x)满足＞0，求m的取值范围．
【答案】(1)或，.
(2)单调增函数，证明见解析.
(3)
【分析】（1）根据，即可求得结果；
（2）利用单调性的定义，作差、定号，即可判断和证明函数单调性；
（3）根据函数奇偶性以及（2）中所得单调性，结合函数定义域，即可求得的取值范围.
【详解】（1）因为是定义在(－2，2)的奇函数，故可得，则；
因为，故可得，解得或；
综上所述：或，.
（2）是(－2，2)上的单调增函数，证明如下：
由（1）可知：，不妨设，
则，即，
故是上的单调增函数，即证.
（3）＞0等价于，
是奇函数，故可得，
由可知，是单调增函数，故
即，解得或.
又的定义域为，则，且
解得，且.
综上所述：.