专题11 几何模型（1）—三角形中的旋转模型-备战中考数学二轮专题归纳提升

专题11 几何模型（1）—三角形中的旋转模型

【问题引入】

当题中出现等腰三角形的条件但是不好使用时，可以考虑利用旋转构造辅助线，通过构造等腰三角形得到手拉手全等，利用全等转移边角进行解题

旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向

旋转对象：一般是含已知条件或问题相关的边角所在三角形

如何转：确定旋转三角形后，考虑由旋转三角形中的腰旋转至与另一腰重合，整个三角形进行同样的旋转

旋转后的图形分析：1、从新构造的全等三角形进行分析；2、从新得到的等腰三角形进行分析

【题型一：常见旋转模型之邻补模型】

条件构成：有两邻边相等的四边形，且四边形对角互补，且一般等腰三角形顶角为特殊角。∠DAB+∠DCB=180°，AD=AB

常见结论：1、有角平分线；2、有线段和差的倍数关系

解题方法：1、作双垂；2、构造旋转全等

①90°                    

相关结论：1、AC平分∠BCD

          2、

②60°                   

相关结论：1、AC平分∠BCD

          2、

③120°                  

相关结论：1、AC平分∠BCD

          2、

补充说明：对角互补、邻边相等、角平分线三个条件知到其中两个就可求另外第三个，辅助线的构造与三角形全等相同，但是全等判定会有差异，需要根据具体情况判断

【例】如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．

【答案】4+4．

【解析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：

由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，

∵∠BAC＝∠D＝90°，

∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

∴∠ABD+∠ABE＝180°，

∴E，B，M三点共线，

∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，

∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，

∴∠EAM＝∠MAN，

在△AEM和△ANM中，

，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴MN＝ME，

∴MN＝CN+BM，

∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4，

∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4，

故答案为：4+4．

【练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．

【答案】

【解析】

解：

将△OBC绕O点旋转90°，

∵OB=OA

∴点B落在A处，点C落在D处

且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，

在四边形OACB中

∵∠BOA=∠BCA=90°，

∴∠OBC+∠OAC=180°，

∴∠OAD+∠OAC=180°

∴C、A、D三点在同一条直线上，

∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理

CD2=OC2+OD2

即CD2=32+32=18

解得CD=

即BC+AC=.

【练2】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．

【答案】

【解析】解：如图，连接PQ，

由旋转的性质可得，BP=BQ，

又∵∠PBQ=60°，

∴△BPQ是等边三角形，

∴PQ=BP，

在等边三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，

∴∠ABQ=60°-∠ABP

∠CBP=60°-∠ABP

∴∠ABQ=∠CBP

在△ABQ与△CBP中

∴△ABQ≌△CBP(SAS)，

∴AQ=PC，

又∵PA=4，PB=5，PC=3，

∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，

在△APQ中，，25=16+9，

∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，

∴，

故答案为：

【练3】如图，在中，，，点在上，点在上，，连接，，，垂足为．证明：．

【答案】见解析

【解析】证明：如图，延长BA到点F，使AF=DE，连接CF、CD，

∵∠ACB+∠ADE=180°

∴∠CAD+∠CED=360°－180°=180°

∵∠CAD+∠CAF=180°

∴∠CAF=∠CED

∵AC=EC，AF=ED

∴△AFC≌△EDC

∴CF=CD，∠ACF=∠ECD

∴∠FCD=∠ACF+∠ACD=∠ECD+∠ACD=∠ACB=120°

∵CF=CD，CH⊥DF

∴FH=DH=(DE+AD)，∠HCD=∠FCD=60°

∴tan∠HCD=

∴DH=CH

∴DE+AD=2DH=CH

【题型二：旋转与三角形全等的构造】

【例】问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：

△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．

简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝　　°

（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝　　．

拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．

②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．

【答案】（1）135°

（2）PC=13；

拓展延伸①：证明见解析

②：BD=

【解析】解：简单应用：（1）如图2，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将

△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'，

∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，

∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，

根据勾股定理得，PP'CP＝4，

∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'，

∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，

∴∠BPP'＝90°，

∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，

（2）如图3，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，AC＝AB，

将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'，

∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°，

∴△APP'是等边三角形，

∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°，

∵∠APB＝150°，

∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，

根据勾股定理得，BP'13，

∴CP＝13，

拓展廷伸：①如图4，

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，

将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'，

∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∴∠BCD+∠BCD'＝180°，

∴点D'在DC的延长线上，

∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD，

在Rt△DBD'中，DD'BD，

∴BD＝CD+AD；

②如图5，

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，

将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'，

∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，

AB与CD的交点记作G，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝180°，

∵∠AGD＝∠BGC，

∴∠BAD＝∠BCD，

∴∠BAD＝∠BAD'，

∴点D'在AD的延长线上，

∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2，

在Rt△BDD'中，BDDD'．

【练1】如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．

（1）求证：AD＝DE；

（2）求∠DCE的度数；

（3）若BD＝1，求AD，CD的长．

【答案】（1）见解析

（2）90°

（3）

【解析】（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE

∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，

∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，

∵△ABC为等边三角形

∴∠BAC＝60°

∴∠DAE＝60°

∴△ADE为等边三角形，

∴AD＝DE，

（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°

∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，

（3）∵△ADE为等边三角形

∴∠ADE＝60°

∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°

又∵∠DCE＝90°

∴DE＝2CE＝2BD＝2，

∴AD＝DE＝2

在Rt△DCE中，．

【练2】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．

（1）请求出旋转角的度数；

（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；

（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．

【答案】（1）90°

（2）证明见解析

（3）BD

【解析】解：（1）∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE

∴△BCD'≌△ACE

∴AC＝BC，

又∵∠ABC＝45°，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°

∴∠ACB＝90°

故旋转角的度数为90°

（2）AE⊥BD．

理由如下：

在Rt△BCM中，∠BCM＝90°

∴∠MBC+∠BMC＝90°

∵△BCD'≌△ACE

∴∠DBC＝∠EAC

即∠MBC＝∠NAM

又∵∠BMC＝∠AMN

∴∠AMN+∠CAE＝90°

∴∠AND＝90°

∴AE⊥BD

（3）如图，连接DE，

由旋转图形的性质可知

CD＝CE，BD＝AE，旋转角∠DCE＝90°

∴∠EDC＝∠CED＝45°

∵CD＝3，

∴CE＝3

在Rt△DCE中，∠DCE＝90°

∴DE3

∵∠ADC＝45°

∴∠ADE＝∠ADC+∠EDC＝90°

在Rt△ADE中，∠ADE＝90°

∴EA

∴BD

【练3】如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．

下面的证法供你参考：

把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC＝EB，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD

实践探索：

（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：

如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DCAD．

（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．

创新应用：

（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC＝180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．

【答案】（1）证明见解析

（2）BD+DCAD；

（3）猜想：BD+DC＜2AD；证明见解析

【解析】解：（1）证明：把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接ED

则有△ACD≌△ABE，

DC＝EB

∵AD＝AE，∠DAE＝90°

∴△ADE是等腰直角三角形

∴DEAD

在△DBE中，BD+EB＞DE，

即：BD+DCAD；

（2）把△ABD旋转，使AB与AC重合，然后绕AC旋转，得到△ACD′，

则BD＝CD′，

在△CDD′中，CD+CD′＞DD′，

即BD+CD＞DD′，

∵△ADD′是钝角三角形，则DD′AD

当D运动到B的位置时，DD′＝BCAD．

∴BD+DCAD；

（3）猜想1：BD+DC＜2AD

证明：把△ACD绕点A顺时针旋转α，得到△ABE则有△ACD≌△ABE，DC＝EB，∠ACD＝∠ABE

∵∠BAC+∠BDC＝180°

∴∠ABD+∠ACD＝180°

∴∠ABD+∠ABE＝180°

即：E、B、D三点共线．

∵AD＝AE，

∴在△ADE中，AE+AD＞ED，即BD+DC＜2AD．

【题型三：旋转与相似三角形的构造】

【例】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，∴＝，

∵AE＝AD＝BC，

∴＝，∴CF＝2AF，故②正确，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，

∴CN＝NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；

∵△AEF∽△CBF，

∴＝＝，

∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，

∴S△AEF＝S矩形ABCD，

又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，

∴S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；

【练1】如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点，当线段的长最小时，______．

【答案】

【解析】解：连接BD，BF，FD，如图，

∵，

∴，

∵∠FBD+∠DBE=45°，∠EBC+∠DBE=45°，

∴∠FBD=∠EBC，

∴△EBC∽△FBD，

∴∠FDB=∠ECB，，

∴DF=，

由题意知：FM、DF、DM三条线段满足FM+DF≥MD，其中DM、DF的值一定，

∴当M，F，D三点一线时，FM最小，

过点M作MN⊥BD，垂足为G，

∵∠MBN=45°，BM=AB=4，

∴MN=BN=2，

∵MD==4，

∴DG==6，

∴=，

故答案为：．

【练2】如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．

【答案】5

【解析】解：如图，作GB⊥BC于B，取GB=BC，

当点D与点B重合时，则点E与点G重合，

∴∠CBG=90°，

∴CG=BC，∠GCB=45，

∵四边形CDEF是正方形，

∴CE=DC，∠ECD=45，

∴∠BCD+∠DCG =∠GCE+∠DCG =45，

∴∠BCD =∠GCE，且，

∴△CGE∽△CBD，

∴，即GE=BD，

∵BD=5，

∴点E运动的路径长为GE=BD=5．

【练3】在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且．2

（观察猜想）

（1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．

（探究证明）

（2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（拓展应用）

（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积．

【答案】（1），；（2）不成立，理由见解析；（3）2

【解析】

（1）如图①中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，
∴△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=BE2+EC2．
故答案为：BD=EC，EA2=EB2+EC2．
（2）结论：EA2=EC2+2BE2．
理由：如图②中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵=， =，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴=，∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=EC2+BE2，
∴EA2=EC2+2BE2．
（3）如图③中，

∵∠AED=45°，D，E，C共线，
∴∠AEC=135°，
∵△ADB∽△AEC，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADE=∠DBE=90°，
∴∠BDE=∠BED=45°，
∴BD=BE，
∴DE=BD，
∵EC=BD，
∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，
在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，
∴AC=2，
在Rt△ADC中，

∵AD2+DC2=AC2，
∴x2+4x2=40，
∴x=2（负根已经舍弃），
∴AD=DE=2，
∴BD=BE=2，
∴S△BDE=×2×2=2．