专题08 隐圆问题（1）-备战中考数学二轮专题归纳提升

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专题08 隐圆问题（1）【问题导入】最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——隐圆问题．以下是几种常见的隐圆模型，我们将从以下7种模型对“隐圆问题”进行详细讲解【题型一：定点定长型】【例1——到定点距离相等的点】如图,菱形ABCD中,∠BAD=120º,对角线BD=,BD与AC交于点O,P是同一平面的内一个动点,PC=4,若点P到直线BD的距离为2,则∠BPC的度数为______________【答案】15º,60º或75º【解析】解：∵PC=4，C是定点，∴P的运动轨迹是一个圆∵四边形ABCD是菱形，BD=，∠BAD=120º∴BC=CD=AB=AD=AC=4∴P的轨迹如图所示∵点P到直线BD的距离为2又AO=CO=2所以P的所有情况为：∴∠BP1C=60°，∠BP2C=15°，∠BP3C=75°综上，∠BPC的度数为：15º,60º或75º 【练1】在矩形ABCD中,已知AB=2cm,BC=3cm,现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为_____cm2.【答案】6π【解析】解：因为FE=2，P为EF的中点，木棒EF紧贴着矩形的边滑动∴在EF的移动过长中，P到四个定点的距离都是1∴P点的运动路径如下图所示∴围城图形的面积为：S=2×3-π×12=6π 【例2——圆上的点到定点的距离】点P为平面内的一点，已知点P到⊙O的最短距离是5cm，最长距离是9 cm，求⊙O的直径为_______ cm 【答案】4或14 cm【解析】解：①如图所示，当点P在圆内时，PA为最短距离，PB为最长距离，此时直径AB=PA+PB=14 cm②点P在圆外时，PA为最短距离，PB为最长距离，此时直径AB=PB-PA=4 cm综上，圆的直径为4或14 cm 【练】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________。【答案】4【解析】解：∵OA=OB，∠APB=90°∴PO=∴当OP最短时，AB有最小值连接CO，此时CO有最小值，此时OP也最小∵OC=5，∴OP=5-3=2∴AB=4∴AB的最小值为4 【例3——圆上的点到直线的距离】如图,在Rt△ABC=90º,∠C=90º,AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是_____.【答案】1.2【解析】解：∵CF=FP=2，F为定点，所以P点的运动轨迹是以F为圆心，2为半径的圆当FH⊥AB时，点P到AB的距离最小∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°∴△AFM∽△ABC∴∵CF=2，AC=6，BC=8∴AF=4，AB=10∴∴FH=3.2此时P到AB的距离=3.2-2=1.2∴点P到边AB距离的最小值是1.2 【练】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．【答案】【解析】解：∵△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN∴MA’=MA=1∴A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小，过点M作MH⊥CD交CD的延长于点H∵菱形ABCD的边长为2 ，M为AD的中点，∴MD=1∵∠A=60°∴∠HDM==60°∴HD=，HM=∴在Rt△HMC中，CM=此时A’C= 【题型二：直角对直径】【模型】一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．【例1：找直角】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为3，则线段DH长度的最小值是　　．【答案】【解析】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，AB=CD，∠BAD=∠CDA，AE=DF∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝，在Rt△AOD中，OD＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝  【练1】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．【答案】4﹣4【解析】解：如图，取AB的中点O，连接OC，OP，PC．∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∠PBC＝∠PAB，∴∠ABP+∠PAB＝90°，∴∠APB＝90°，∵OA＝OB，∴OP＝AB＝4，OC＝＝4，∵PC≥OC﹣OP，∴PC≥4﹣4，∴PC的最小值为4﹣4， 【例2：找定边】如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为　 　．【答案】﹣2【解析】解：如图，取AC的中点O'，连接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，∴CO'＝AC＝2，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝3，在Rt△BCO′中，BO′＝＝，∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2， 【练2】以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE与F, 线段FG的最小值为　 　．【答案】【解析】解：连接AC，作GI⊥AC，连接AG∵GO⊥AB∴OA=OB∵在Rt△AGO中，AG=2,OG=1∴AG=2OG，AB=2AO=∴∠AGO=60°∵GC=GA∴∠GCA=∠GAC∵∠AGO=∠GCA+∠GAC∴∠GCA=∠GAC=30°∴AC=2AO=，MG=CG=1∵∠AFC=90°∴F点的轨迹是以I为圆心，AC为直径的圆弧上当点F在IG的延长线上，FG最小，最小值=FI-GI=∴线段FG的最小值为 【例3：找定边与直角】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．【答案】﹣2【解析】解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，∵BC＝4，∴CF＝2，∵∠ACB＝90°，AC＝10，∴AF＝，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴E点在⊙F上，∵在D的运动过程中，AE≥AF﹣EF，且A、E、F三点共线时等号成立，∴当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF﹣EF＝﹣2． 【练3】如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　  　．【答案】【解析】解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，∴点G的运动轨迹时以M为圆心，BM为半径的圆弧∵正方形的边长为4∴BD=4∴BM=MO=在Rt△AMO中，AM=又MG＝MB＝，∴AG≥AM﹣MG＝，当A，M，G三点共线时，AG最小＝，  【题型三：定边对定角】【模型】在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．【例】如图，等边△ABC边长为，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．【答案】2【解析】解：∵CD＝AE，∴BD＝CE，在△ABD和△BCE中，AB=BC，∠ABD=∠BCE，BD=CE∴△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，∵∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∵，∴，∴∴OP＝2，∴PC的最小值为OC﹣r＝4-2＝2．故答案为：2． 【练1】如图,∠xOy=45º,一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在Ox,Oy上移动,其中AB=10,那么点O到AB的距离的最大值为______．【答案】【解析】解：作△AOB的外接圆⊙M∵AB=10，∠AOB=45°，点O在⊙M上，∴∠AMB=90°∴AM=BM=过点M作MH⊥AB∵AB是⊙M上的一条弦∴当O在MH的反向延长线上时，点O到AB的距离最大此时，最大距离=OM+MH∵AM=，AH=AB=5∴MH=5∴点O到AB的距离的最大值为 【练2】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________． 【答案】4＜BC≤【解析】解：作△ABC的外接圆，如图，∵∠BAC＞∠ABC,AB＝4,当∠BAC＝90°时，BC是直径，此时BC最长，∵∠C＝60°，∴sin∠C＝∴BC=,当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝AB＝4,∵∠BAC＞∠ABC,∴4＜BC≤ 【练3】如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．【答案】【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，∠ABC＝∠BAC＝60°，又∵∠PAB=∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°∴∠APC＝120°∴点P的运动轨迹是，当O，P，B三点共线时，PB最小如图所示，设OB与AC交于点D， 此时PA=PC，OB⊥AC∴AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°∴PD=AD×tan30°=∴BD=AD=∴PB=BD-PD=∴线段PB长度的最小值为 【题型四】定角夹定高】【模型】在一些最值问题中,给定一个角,并且过定角的顶点作对边的垂线为定值时,也存在最值问题,面对这种问题我们借助“隐圆”进行说明:我们称这种问题为:“定角夹定高”模型也成“探照灯”模型. 如右图所示,在△ABC中,∠BAC=α为定值,AD为BC边上的高,且AD=h为定值,则底边BC存在最小值,△ABC的面积存在最小值.1.找出“隐圆”---三角形外接圆；   2.定高过外心(半径+弦心距)≥定高. 【例】如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=4,AD∥BC,∠B=60º,点E、F分别为边BC、CD上两个动点,且∠EAF=60º,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,求出其最小值；若不存在,请说明理由.【答案】【解析】解：将△ADF绕点A顺时针旋转120º,得△ABF´,则∠EAF´=60º,易证△AEF´≌△AEF,作△AEF´的外接圆⊙O,作OH⊥BC于点H,AG⊥BC于点G,则∠F´OH=60º,设⊙O的半径为r,则OH=0.5OF=0.5r.∵OA+OH≥AG， ∴∴∵∴∴∴  【练1】如图,在△ABC中,∠A=60º,BC边上的高为,求BC的最小值.【答案】6【解析】解：作△ABC的外接圆,圆心为O,连接AO,BO,CO,作OE⊥BC∵∠BAC=60°∴∠BOC=120°，∠BOE=60°∴OE=OB，BE=OB∴当半径OB最小时，BE有最小值，即BC有最小值∵AO+OE=OB+OB≥∴OB≥∴OB最小值为∴BC最小值为 【练2】点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上,点F在边CD上,∠EAF=45º,则△AEF面积的最小值为________.【答案】【解析】解：∵正方形的边长为4∴AB=4，∠BAD=∠ABC=90°如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG由旋转的性质可得△ABG≌△ADF∴AG=AF，∠BAG=∠DAF∵∠EAF=45º∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠DAE+∠DAF=45º∴∠EAG=∠EAF=45º在△AEF与△AEG中，AE=AE，∠EAG=∠EAF=45º，AF=AG∴△AEF≌△AEG（SAS）作△AEG的外接圆⊙O，连接OA、OG、OE，过点O作OH⊥EG与点H设OA=OE=OG=r∵∠EAG=45º∴∠EOG=90º∴△OEG是等腰直角三角形∴OH=GH=∵AO+OH≥AB∴∴∵∴的最小值=