中考数学几何模型加强版 模型05 等腰旋转模型

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一、解答题


1．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．





（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．


①求证：AD＝BE；


②求∠AEB的度数．


（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．


2．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A､D､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．


（1）如图1，若点D在BC边上（点D与B､C不重合），


①求证：△ABD≌△ACE；


②求证：


（2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____．


（3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______．





3．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．





（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；


（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；


（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．





4．（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．


（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：


探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．


探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．








5．在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接.





（1）如图，当 在线段上时，求证：.


（2）如图，若点在线段的延长线上，，.则、之间有怎样的数量关系？写出你的理由.


（3）如图，当点在线段上，，，求最大值.


6．（1）问题发现与探究：





如图1，都是等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接BD，则：


（1）线段AE，BD之间的大小关系是_________________； ；


（2）求证：AD=2CM+BD；


如图2，3，在等腰直角三角形ABC中，，过点A作直线，在直线上取点D，，连接BD，BD=1，AC= ，则点C到直线的距离是多少．


7．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．


（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是 ，AP与EC的数量关系是 ．


（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．


（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为，求线段AC的长．








8．（1）如图①，中，，，为边上的一点，将绕点逆时针旋转90°至，作平分交于点，易证明：．若，则以、、为边的三角形的形状是______；


（2）如图②，四边形中，，，若四边形的面积是32，，求的长度；


（3）是以为底的等腰直角三角形，点是所在平面内一点，且满足，，，请画草图并求的度数．








9．点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰，连接BD．在外侧，以BD为斜边作等腰，连接EC．


（1）如图1，当∠DBA30时：


①求证：ACBD；


②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；


（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？如果不变，请你证明EC=EB．








10．如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．





（1）与的数量关系是______．


（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．


11．将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，，连接．


（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是 ；





（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想之间的数量关系，并给予证明；


（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．





12．在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），C是AB中点，连接OC，将△AOC绕点A顺时针旋转，得到△AMN，记旋转角为α，点O，C的对应点分别是M，N．连接BM，P是BM中点，连接OP，PN．


（Ⅰ）如图①．当α＝45°时，求点M的坐标；


（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，求证：OP＝PN且OP⊥PN；


（Ⅲ）当△AOC旋转至点B，M，N共线时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．








13．已知点在双曲线上且，过点A作x轴的垂线，垂足为B


（1）如图1，当时，是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C


①若，直接写出点C的坐标；


②若双曲线经过点C，求t得值；


（2）如图2，将图1中的双曲线沿y轴折叠得到双曲线，将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线上的点处，求m和n的数量关系．





14．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．








15．（2017观成周考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．


（1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．


（2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．








16．如图，在中，，，点是上一动点、连接，过点作，并且始终保持，连接，


（1）求证：；


（2）若平分交于，


①探究线段，，之间的数量关系，并证明；


②若，，求的长，





17．已知如图，射线在的内部，．点分别在射线上，且．连结．


（1）如图1，若，延长到点，使，连接．求证：①≌．


②．





（2）如图2，若，其它条件不变，问题（1）中的线段之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．








18．定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．





（1）已知点、是线段的勾股分割点，若，，求的长；


（2）如图2，在中，，点、在斜边上，，求证：点、是线段的勾股分割点（提示：把绕点逆时针旋转）；


（3）在（2）的问题中，，，求的长．





19．如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．


（1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由；


（2）求证：BM＝DM+DC；


（3）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论．








20．定义：如（图1），点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．


（1）已知点是线段的勾股分割点，若，求的长；


（2）如（图2），在等腰直角中， ，点为边上两点，满足，求证：点是线段的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点逆时针旋转试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．








二、填空题


21．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30 ，DM=10．


（1）在旋转过程中，当A，D，M为同一直角三角形的顶点时，AM的长为____；


（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，BD2的长为_____．





22．如图，折线中，，，将折线绕点按逆时针方向旋转，得到折线，点的对应点落在线段上的点处，点的对应点落在点处，连接，若，则_____°．








23．已知：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，对角线AC、BD相交于点O．过点O作一直角∠MON，直角边OM、ON分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MON，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），OM、ON分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是________(填序号)．


①；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：2；③；④OG•BD=AE2+CF2；⑤在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，．