2022-2023学年广西柳州市六校高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年广西柳州市六校高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．直线的斜率为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【分析】化为斜截式即可求斜率

【详解】直线化为斜截式方程为，

所以直线的斜率为．

故选：A．

2．已知向量，若，则实数的值为（    ）

A．8 B．7 C． D．14

【答案】B

【分析】根据向量垂直，则向量数量积为0，得到，解出即可.

【详解】已知向量，因为，

所以，解得．

故选：B．

3．空间直角坐标系中，已知两点，，则这两点间的距离为（    ）

A． B． C． D．18

【答案】C

【分析】根据空间中两点之间的距离公式求解即可得到.

【详解】在空间直角坐标系中，，，

则这两点间的距离．

故选：C．

4．两条平行直线与间的距离等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用两平行线间的距离公式求解.

【详解】解：两条平行直线与，

由平行直线间距离公式可知所求距离为．

故选：C．

5．平面直角坐标系中点到直线的距离为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用点到直线的距离公式求解即可.

【详解】直线，即，

点到直线的距离为．

故选：B

6．若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据两直线平行可直接构造方程求得结果.

【详解】，，解得：.经检验，符合题意，

故选：D.

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算，直接求解即可.

【详解】已知，则．

故选：．

8．圆与圆的位置关系为（    ）

A．内含 B．外离 C．相交 D．外切

【答案】D

【分析】利用两圆圆心的距离与两圆半径的大小关系即可判断.

【详解】解：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，

两圆圆心之间的距离，

两圆外切.

故选：D.

二、多选题

9．已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则斜率

B．若斜率，则

C．若倾斜角，则

D．若，则倾斜角

【答案】BCD

【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．

【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误.

B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.

C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.

D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.

故选：BCD

10．以下命题正确的是（    ）

A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则

B．直线l的方向向量，平面的法向量，则

C．两个不同平面，的法向量分别为，，则

D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则

【答案】CD

【解析】根据空间直线的方向向量数量积的值是否为零判定两直线是否垂直，即可判断A；根据空间直线的方向向量与平面的法向量是否共线判定B；根据两平面法向量是否平行可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积为零，即可求得的值，可判断D.

【详解】A:，，，

则不垂直，直线与不垂直，故A不正确；

B:若，则，

∴存在实数，使得,无解，故B错误；

C:，∴，

与共线，，故C正确；

D:点，，，

，.

向量是平面的法向量，，

即，解得，故D正确.

故选：CD.

【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题.

必须熟练掌握的知识和技能：

（1）空间两直线垂直的充分必要条件是其方向向量垂直；

（2）线面垂直的充分必要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行；

（3）两个不同平面平行的充分必要条件是其法向量共线.

11．已知方程，下列叙述正确的是（    ）

A．方程表示的是圆.

B．当时，方程表示过原点的圆.

C．方程表示的圆的圆心在轴上.

D．方程表示的圆的圆心在轴上.

【答案】BC

【分析】将方程整理为，当时，方程不表示圆，知A错误；当时，可知原点坐标满足圆的方程，知B正确；根据方程表示圆时圆心的坐标可知CD正误.

【详解】由得：；

对于A，若，即，则方程不表示圆，A错误；

对于B，当时，方程为，则方程表示以为圆心，半径为的圆，此圆经过原点，B正确；

对于CD，若方程表示圆，则该圆圆心为，半径为，则圆心在轴上，不在轴上，C正确，D错误.

故选：BC.

12．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点F为的中点，如图建系，则下列说法正确的有（    ）

A． B．向量与所成角的余弦值为

C．平面的一个法向量是 D．点D到直线的距离为

【答案】BCD

【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解.

【详解】，，，，所以，所以，故，A错误；

，B正确；

设，则，，而，所以平面的一个法向量是，C正确；

，，则，所以，故点D到直线的距离为，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．若，则__________．

【答案】

【分析】根据空间向量模的公式即可得到答案.

【详解】因为，则．

故答案为:．

14．已知，，则线段中点的坐标为________．

【答案】

【分析】利用中点坐标公式求解.

【详解】设中点坐标为，

则，，，

∴中点坐标为．

故答案为：

15．在直三棱柱中，若，则=____________.(用表示)

【答案】

【分析】连接根据直三棱柱的结构特征及空间向量减法的几何意义可得，结合已知即可求表达式.

【详解】连接则.

故答案为：

16．如果直线与曲线有公共点，那么的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据同角三角函数关系，换元得到点是曲线上的点，其中，因此问题转化为方程在区间上有解，利用变量分离并结合正弦函数的图像与性质，即可算出实数的取值范围.

【详解】解：对于曲线，

设，则，

因此点是曲线上的点，

直线与曲线有公共点，

方程在区间上有解，

即，

可得，

，

即直线与曲线有公共点时，的取值范围是，

故答案为：．

四、解答题

17．已知直线经过点，倾斜角是，直线．求：

(1)直线的一般式方程．

(2)直线与直线的交点坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由倾斜角得到直线斜率，先求出直线点斜式方程，再化为一般式方程.

（2）两直线方程联立方程组，求交点坐标.

【详解】（1）由题意得：直线的斜率，

又直线经过点，所以直线的方程为，

化为一般式方程为：；

（2）由题意，两直线联立方程组，解得，

所以直线与直线的交点坐标为

18．已知圆．

(1)求圆的圆心坐标及半径；

(2)若已知点，求过点的圆的切线方程．

【答案】(1)圆心的坐标为，半径为

(2)或

【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心及半径；

（2）先验证斜率不存在时是否满足要求，再利用待定系数法求斜率存在时的切线方程.

【详解】（1）圆的方程可化为，，

所以圆心的坐标为，半径；

（2）过点的直线的斜率不存在的直线方程为，该直线与圆没有交点，不满足要求；

当过点的直线的斜率存在时，设方程为，

即，因为直线与圆相切，

所以点到直线的距离等于圆的半径1，故，

解得，或，

方程为或，

故过点的圆的切线方程为或．

19．如图，在三棱柱中，平面为线段的中点．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角大小．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，正方形对角线互相垂直，线面垂直判定定理得线面垂直，再由线面垂直性质定理得线线垂直即可；（2）根据空间向量法求线面角即可.

【详解】（1）因为平面，平面，

所以，

因为，平面，

所以平面，

因为平面，

所以．

因为在三棱柱中，，

所以．

又因为，

所以四边形为正方形．连结，则．

又因为平面，

所以平面．

因为平面，

所以；

（2）因为两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系，

可得．

因为为线段上的中点，所以，

所以，

设平面的法向量为，则

，

令，则，

设直线与平面所成角为，则

，

因为，所以，

所以直线与平面所成角的大小为．

20．已知动点到点的距离是到点的距离的两倍．求：

(1)动点的轨迹方程；

(2)若为线段的中点，试求点的轨迹．

【答案】(1)

(2)点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆

【分析】（1）用点到直线的距离公式展开化简关系式即可；

（2）用点坐标表示点M坐标，再代入M的轨迹方程即可得到N的轨迹方程，由此得到点的轨迹.

【详解】（1）设动点，

由题意有，

则，

整理得，

经检验动点的轨迹方程为；

（2）设点，

由题意得，即，

因为在上，

所以：，整理得，

经检验动点的轨迹方程为，

点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆．

21．如图所示的几何体中，四边形是正方形.四边形是梯形，，平面平面，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据，平面，由线面平行的判定定理得到平面，同理可证.平面，然后利用面面平行判定定理证明.

（2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面一个法向量和平面一个法向量，然后由求解.

【详解】（1）∵，平面，

∴平面

∵，平面，平面，

∴.平面

∵，、平面

∴平面/平面

∵平面，

∴平面

（2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，，

设平面一个法向量，，

则，即，

令，则，，

∴

设平面一个法向量，，

则，即，

令，则，，

∴，

∴，

设二面角的平面角为，

则，

故

【点睛】本题主要线面平行，面面平行的判定定理和空间向量法求二面角问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.

22．已知圆，直线.

(1)求证：直线恒过定点；

(2)直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长.

【答案】(1)证明见解析

(2)当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为

【分析】（1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解.

【详解】（1）直线的方程可化为

联立，解得

故直线恒过定点

（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长

设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短

则直线的斜率为

由得直线的斜率为，解得

此时的方程为，即

圆心到直线的距离为

∴最短弦长

故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为