2022-2023学年广西玉林市第十一中学等校高二上学期期中联合测试数学试题（解析版）

2022-2023学年广西玉林市第十一中学等校高二上学期期中联合测试数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由直线方程求得斜率，再求直线倾斜角.

【详解】设直线倾斜角为，直线方程化成斜截式为，所以直线斜率，由，得.

故选：A

2．在四面体中，等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用空间向量线性运算法则化简.

【详解】.

故选：C

3．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆的定义，直接求解.

【详解】设点到另一个焦点的距离为，

由椭圆方程可知，，

则，所以.

故选：D

4．当点P在圆上变动时，它与定点的连线PQ的中点的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】相关点法求解PQ的中点的轨迹方程.

【详解】设，PQ的中点M的坐标为，

∵，∴

∴

又∵点P在圆上，

∴，即，

故选：C．

5．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（       ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】直接由点面距离的向量公式就可求出．

【详解】∵，

∴，又平面的一个法向量为，

∴点A到平面的距离为

故选：B

6．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.

【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，

设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

根据弦长公式得最小值为.

故选：B.

【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.

7．当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作曲线与直线的图象，计算出直线与曲线相切时对应的实数的值，数形结合可得结果.

【详解】对方程变形得，即，

所以曲线表示圆的上半圆，

对直线方程变形得，该直线过定点，且斜率为，如下图所示：

当直线与半圆相切时，则有，解得，

当直线过点时，，解得.

由图形可知，当曲线与直线有两个相异的交点时，.

故选：C

8．已知点、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且满足，，则该椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，则，利用勾股定理可求得，再利用椭圆的定义可得出，求出、，利用勾股定理结合离心率公式可求得结果.

【详解】如下图所示：

设，则，因为，则，

由椭圆的定义可得，则，

所以，，则，

由勾股定理可得，则，则，

因此，该椭圆的离心率为.

故选：B.

二、多选题

9．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（    ）

A．的一个方向向量为 B．在轴上的截距等于

C．与直线垂直 D．与直线平行

【答案】ACD

【分析】求出直线方程，由直线方程直接判断D，由直线方程得一法向量，由法向量与方向向量的关系判断A，直线方程中令，解出为横截距，判断B，由两直线垂直的关系判断C．

【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，它与直线平行，D正确；

直线的一个法向量是，而，因此是直线的一个方向向量，A正确；

在直线方程中令得，B错误；

由于，C正确．

故选：ACD．

10．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．当时，曲线C是椭圆

B．当或时，曲线C是双曲线

C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则

D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则

【答案】BC

【分析】根据表示椭圆可求得或，判断A; 表示双曲线可求得或，判断B;根据表示椭圆时焦点的位置可列出相应的不等式组，求得参数范围，判断C,D.

【详解】当曲线C是椭圆时，解得或，故A错误；

当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确；

若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得，故C正确；

若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故D错误．

故选:BC．

11．已知，分别是正方体的棱和的中点，则（    ）

A．与是异面直线

B．与所成角的大小为

C．与平面所成角的正弦值为

D．二面角的余弦值为

【答案】AD

【分析】根据异面直线的判定定理可判断A；建立空间直角坐标系，用向量方法可计算B，C，D是否正确

【详解】根据异面直线的判定定理，及正方体的结构特征，易知：A正确；

以为原点，，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，

设正方体棱长2，则，，，，,

,

所以 ,,

设与所成角的大小为,

则

所以 ，故B错误;

由题意可知,平面的法向量为,,

设与平面所成角为, 则

,故C错误;

,

设平面的一个法向量为，

则，令，得，

设平面的一个法向量为，，

则，令，得，

设二面角为，由题图知为锐角，

则，故D正确．

故选:AD．

12．下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C的左右顶点为，则（    ）

A．双曲线C的方程为

B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线

C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点

D．双曲线C上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3

【答案】ABD

【分析】由题意可得，代入双曲线方程可求出，从而可求出双曲线方程，然后逐个分析判断

【详解】由题意可得，

所以，即，解得，

所以双曲线方程为，所以A正确，

双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以B正确，

由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，所以C错误，

由题意得，设为双曲线上任意一点，则，，

所以，

所以双曲线C上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3，所以D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．若直线和直线垂直，则__________．

【答案】

【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求解.

【详解】直线和直线垂直，则有，解得.

故答案为：

14．已知圆．若圆C与圆外切，则m的值为__________．

【答案】

【分析】由两圆外切圆心距等于半径之和求解.

【详解】圆化为标准方程为，则圆心，半径.

圆，圆心，半径.

由两圆外切，有，即，解得.

故答案为：-11

15．平面内一点到直线的距离为：．由此类比，空间中一点到平面的距离为__________．

【答案】

【分析】类比可得空间中一点到平面的距离，从而计算可得.

【详解】解：依题意类比可得空间中一点到平面的距离

.

故答案为：

16．二面角为，A，B是棱l上的两点，，分别在半平面内，，，且，，则的长_______________.

【答案】4

【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的性质及运算律计算作答.

【详解】依题意，，且有，而，

所以.

故答案为：4

四、解答题

17．已知，，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）-6

（2）-4

【解析】（1）利用向量共线的坐标表示，即得解；

（2）利用向量加法和向量垂直的坐标表示，即得解；

【详解】解：（1），

∴，

∴.

（2），

∵，

∴，

∴，

∴.

【点睛】本题考查了向量平行，加法，数量积的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

18．已知圆经过点，，且___________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.

①在过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

(1)求圆的方程；

(2)求过点的圆的切线方程.

【答案】(1)；

(2)切线方程为或

【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；

（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论即可

【详解】（1）选①，由可得，所以，

设圆的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为，即

选②，直线恒过，

而圆E恒被直线平分，

所以恒过圆心，因为直线过定点，

所以圆心为，可设圆的标准方程为，

由圆E经过点，得，

则圆E的方程为

选③，设圆E的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为

（2）因为，所以点P在圆E外，

若直线斜率存在，设切线的斜率为，

则切线方程为，即

由圆E的方程为可得圆心，半径为2，

所以圆心到切线的距离，解得，

所以切线方程为；

若直线斜率不存在，直线方程为，圆心到直线的距离为2，满足题意；

综上所述，过点的圆E的切线方程为或

19．如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，，试采用向量法解决下列问题：

(1)求的模长；

(2)求，的夹角.

【答案】(1)；

(2)90°.

【分析】（1）根据空间向量线性的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可；

（2）根据空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）因为E，F，G是中点，所以，

因此，

因为正四面体所有棱长为1，

所以，

所以；

（2）由（1）可知：，

同理，，

所以，的夹角为90°.

20．如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用．

【答案】万元．

【分析】由，结合双曲线的定义可判断点M的轨迹是双曲线的右支，进而根据可求解.

【详解】如图所示，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直坐标系xOy，则，，．连接AM，AC．因为，

所以点M的轨迹是双曲线的右支．

因为，当M，A，C三点共线时等号成立，

又总费用为万元，

所以，所以修建这两条公路的最低总费用为万元．

21．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，.

(1)证明：平面；

(2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.

【答案】(1)证明见解析.

(2)存在；．

【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；

（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出.

【详解】（1）正方形中，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，，且，又，

，又，

，又，，，

平面；

（2）

由（1）知，平面，

以B为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，

设点，，，

，

，

设平面的法向量为，

，

令，

显然，平面的法向量为，

，

即，即

即，解得或（舍），

则存在一点，且.

22．已知椭圆C：过点，且离心率．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）根据题意，列出关于a，b的方程，解方程可得答案；

（2）设直线l的方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，从而求得弦长，求得点P到直线l的距离，根据三角形的面积公式结合基本不等式求得答案.

【详解】（1）∵，∴,

又椭圆C：过点，

∴，∴，,

故所求椭圆方程为;

（2）设l的方程为，，,

联立得,

由，解得,

由韦达定理，得，,

则．

点P到直线l的距离,

∴,

当且仅当，即时等号成立,

∴面积的最大值为2.