精品解析：广西柳州市2022-2023学年高一上学期12月联考数学试题（解析版）

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注意：1．请把答案填写在答题卡上，否则答题无效。
2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。
3．选择题，请用2B铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑。非选择题，请用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，解出集合，根据交集运算即可得出结果.
【详解】由题意知，集合对应的不等式解集为，
即，得，
所以，.
故选：C.
2. 下列函数中，与 是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项分析即得.
【详解】对于A，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于 B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于 C，函数，与函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于 D，函数，与函数的定义域不同，不是同一个函数.
故选：B.
3. 已知，且为第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同角三角函数基本公式计算即可.
【详解】由题意得，所以.
故选：A.
4. 已知、、，且，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断A、B选项的正误，利用不等式的基本性质可判断C、D选项的正误.
【详解】取，，则，，A、B选项错误；
，，由不等式的基本性质可得，C选项正确；
当时，，则，D选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法、特殊值法、函数单调性以及中间值法来判断，考查推理能力，属于基础题.
5. 已知，则函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法求函数解析式即可.
【详解】令由于，则，
所以，，得；
所以，函数的解析式为；
故选：B.
6. 如图，是边长为2的等边三角形，点由点沿线段向点移动，过点作的垂线，设，记位于直线左侧的图形的面积为，那么与的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形面积公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.
【详解】当时，，显然此时函数图象是抛物线的一部分；
当时，，显然此时函数的图象是抛物线的一部分，
综上所述：与的函数关系的图象大致是选项D，
故选：D
7. 按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据）
A. 分钟B. 11分钟C. 分钟D. 22分钟
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据初始值，求，再根据不等式，利用指对互化，求的取值范围.
【详解】当时，，解得：，
所以，当，解得，
所以至少需要11分钟.
故选：B
8. 已知是奇函数，在区间上是增函数，又，那么的解集是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数的性质结合已知条件可得在内也是增函数，，然后分，和三种情况求解即可
【详解】解：是奇函数，，且在内是增函数，
，且在内是增函数，
因为，所以
①当时，原不等式可化为，又在内是增函数，
所以，
②当时，原不等式可化为，又在区间上是增函数，所以
③当时，，与矛盾，所以不是不等式的解，
综上，的解集是或.
故选：D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 与终边相同的角有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据终边相同的角，相差360°的整数倍判断即可.
【详解】与终边相同的角可表示为，
时，为；时，为；时，为；
故选：BCD.
10. 下列大小关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
分析】对A，正确；对B，借助中间量可知正确；对C，由换底公式而，所以C错误；对D，借助中间值1即可比较出结果；
【详解】对于A，因为，而是增函数，所以，即，故A正确；
对于B，根据指数函数为单调递减可知，，
又由幂函数为单调递增可知，
所以，故B正确；
对于C，由换底公式可知，
根据对数函数单调性可知， ,
所以，故C错误；
对于D，由指数函数单调性可知，所以，故D正确；
故选：ABD.
11. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列结论正确的是（ ）
A. 对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个
B. 函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
C. 函数可以是某个圆的“太极函数”
D. 函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形
【答案】AB
【解析】
【分析】选项A，过圆心的直线都可以满足已知条件；选项B，函数关于原点中心对称，是圆心在原点的圆O的“太极函数”； 选项C错误，函数的图象是一三象限的两支曲线，不存在圆可以让函数将其的周长和面积同时等分；选项D可以通过举出两个反例分别进行说明.
【详解】选项A正确，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故A正确；
选项B正确，函数为奇函数，其图象关于原点对称，它可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故是圆心在原点的圆O的“太极函数”，故B正确；
选项C错误，函数的图象是一三象限的两支曲线，不存在圆让函数的图象将其的周长和面积同时等分成两部分，所以函数不可以是某个圆的“太极函数”, 故C错误；
选项D错误，函数的图像是中心对称图形，但不是 “太极函数”；反之，如图，函数是“太极函数”，但其图象不是中心对称图形，故D错误.
故选：AB．
12. 已知函数，若恒成立．则实数的取值可以是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用数形结合思想，结合函数的单调性和图象的平移分类讨论进行求解即可.
【详解】函数图象如下图所示：

当时，，当时，函数单调递减，有，显然不恒成立；
当时，，
可看做是向右平移个单位，
要使恒成立，即图象一直在的非下方，
通过平移可发现，只需，显然选项BC符合，
故选：BC
【点睛】关键点睛：根据函数的单调性运用数形结合思想是解题的关键.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. 函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式有意义，可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【详解】要使函数有意义，则，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
14. 已知函数，则______.
【答案】-1
【解析】
【分析】根据分段函数的定义，可得答案.
【详解】由，则.
故答案为：.
15. 若一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接由根据开口方向与判别式解不等式即可.
【详解】一元二次不等式对一切实数成立，
，解得：
的取值范围是：
故答案为：．
16. 若函数经过点，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】运用代入法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为函数经过点，
所以，因为且，所以，
当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，集合
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】试题分析;（1）将值代入集合中的不等式，确定出，找出的补集，求出补集与的交集即可；
（2）根据为的子集列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的范围．
试题解析;(1)当，，,
.
（2）①当时，满足,有+1，即
②当时，满足，则有，
综上①②的取值范围为
18. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用，将整理化简可得，再将分子分母同时除以，可得，求解方程即可；
（2）将原式除以1，再将1用替换，分子分母同时除以，可得，将（1）中的值代入即可求出结果.
【小问1详解】
解：
，
解得：
【小问2详解】
解：
19. 化简求值（需要写出计算过程）
（1）若，，求的值；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先取对数将表示出来，代入计算即可；（2）直接计算即可.
【小问1详解】
，，得
【小问2详解】
原式
20. 某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．
（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．
哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额）
【答案】（1）3 （2）方案二更合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出结果；
（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.
【小问1详解】
设为前年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得，
由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；
【小问2详解】
方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，平均盈利额为，
当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.
21. 已知定义域为，对任意都有，当时，，．
（1）试判断在上的单调性，并证明；
（2）解不等式：．
【答案】（1）单调递增，证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用赋值法结合单调性的定义判断和证明即可；
（2）根据将不等式整理为，然后根据单调性列不等式，解不等式即可.
【小问1详解】
在R上单调递增，证明如下，
令，，，且，
则，
因为，所以，，即，，
所以在R上单调递增.
【小问2详解】
，
因为在R上单调递增，所以，整理得，解得或，
所以不等式的解集为.
22. 已知函数，（且），的定义域关于原点对称，．
（1）求的值，判断函数的奇偶性并说明理由；
（2）求函数的值域；
（3）若关于的方程有解，求实数的取值范围．
【答案】（1），为奇函数
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据的定义域关于原点对称可得，再求解可得判断即可；
（2）根据指数函数的范围逐步分析即可；
（3）参变分离，令，将题意转换为求在上的值域，再根据基本不等式，结合分式函数的范围求解即可.
【小问1详解】
由题意，的定义域，即的解集关于原点对称，根据二次函数的性质可得与关于原点对称，故.
此时，定义域关于原点对称，，因为.
故，为奇函数.
【小问2详解】
由（1），又，故，解得，故，因为，故，故，即的值域为
【小问3详解】
由（2）的值域为，故关于的方程有解，即在上有解.令，即求在上的值域即可.
因为，当且仅当时取等号，且，，故，故，即的值域为，即实数的取值范围为.